Obrácení koule
8
prosinec 2004
strana 4
Verze Bernarda Morina
Ke stažení PDF verze článku z roku 1979 od B. Morina a J.P. Petit, který byl zveřejněn v časopise Pour la Science
Obrácení koule
(2,8 MB)
Vycházíme z koule, jejíž šedá strana je směřována ven a růžová strana je uvnitř. V b a c přiblížíme póly k sobě. Pak se plochy navzájem pronikají podle „katastrofy lokte“. Vzniká uzavřená křivka samoprůniku. Dole vpravo tři poloviny řezů pomáhají lépe pochopit dosaženou konfiguraci. V tomto okamžiku koule připomíná něco jako „nafukovací člun“, kruhový, s „pásem“ a „podlahou“ z dvojité stěny.
První krok: „katastrophe lokte“. Vznik uzavřené křivky samoprůniku
Druhá operace: nová katastrophe lokte, vznik druhé uzavřené křivky.
Znovu vznik uzavřené křivky samoprůniku.
Pro tento účel se „nafukovací člun“ ohnul s rotujícím pohybem, což umožnilo přiblížit dvě protilehlé části „páseku“ k sobě. Následující obrázek ukazuje výsledek dvou katastrof vedoucích k vzniku „půlky mandarinky“.
Po vytvoření dvou „půlek mandarinky“
Vlevo jsme provedli řezy v modelu. Uprostřed je zobrazen způsob, jakým se dva válce, jejichž místní řez připomíná řecké písmeno „gamma“, navzájem pronikly. Pamatujme si, že katastrofa vzniku „půlek mandarinky“ probíhala tak, že jsme „kmen“ rozřezali dvěma rovinami tvořícími dvojhran. Každá z těchto válcových struktur s řezem ve tvaru „gamma“ obsahuje jak zaoblený řez, tak i dvojhran. Podívejte se pozorně na obrázek i. V j jsme nakreslili celou křivku samoprůniku. Největší část uzavřené křivky pochází z první „katastrofy lokte“, která převedla kouli na „nafukovací člun“. Po vytvoření dvou půlek mandarinky dostaneme složitější celkový tvar, jehož část je znázorněna v j. V j" vidíme, že tato struktura může být porovnána s připojením dvou „půlek mandarinky“ na dvě nesousedící hrany čtyřstěnu.
Všechno to bude jednou mnohem jednodušší pochopit, až budu schopen vytvořit animace. Technicky to pro mě žádný problém není. Jde jen o čas. Málo lidí dokáže nejen vidět ve trojrozměrném prostoru, tedy přečíst tento kód používající čáry, tečky, barvy, stíny a odrazy, ale také v hlavě spojit transformace, představující pohyb. Doufám, že jednou budu mít čas udělat všechno toto. Poznamenejme na okraj, že bychom mohli použít polyedrické modely, jako jsem to dělal, abych ukázal, jak převést Crosscap na Boyovu plochu. To je budoucnost. Ale tyto modely je třeba vymyslet. Níže najdete optimalizovanou polyedrickou verzi centrálního modelu této transformace vymýšlené Bernardem Morinem (pamatujme, že je slepý!), spolu s návodem, jak si jej sám vyrobit z vystřiženého papíru.
Proč jsem tyto věci nepokračoval dále? Řekl bych: kvůli nedostatku „možností“. Neexistuje žádný matematický časopis, který by přijal takové práce k publikaci. V letech 1975–78 jsme to mohli provést prostřednictvím několika poznámek v Comptes Rendus Akademie des Sciences v Paříži, které pravděpodobně nečetl nikdo. Ale dělalo se to proto, že akademik André Lichnérowicz osobně zajímal o tyto práce. Dnes je již mrtvý. Protože tyto práce byly již v roce 1975 úplně dokončené, bylo by vhodné vytvořit animovaný film z mých kreseb. Protože jsem pracoval v animaci, byl jsem schopen koordinovat takový projekt. Ale bylo nemožné získat finanční podporu od CNRS a nakonec americký matematik Nelson Max, inspirovaný modely postavenými jeho kolegou Charlesem Pughem (stejné verze obrácení koule), s využitím výkonného počítače dokázal vytvořit první film. Ale to není ani první, ani poslední případ, kdy Francouzi, kteří nezískali žádné odrážky svých úsilí, byli předčeni zahraničními kolegy lépe organizovanými a lépe podporovanými.
Přejdeme k třetí fázi, která je nej Obtížnější pochopit.
Příprava dvou „katastrof kalhot“
Na obrázku k je dobře vidět dva konce „nohou kalhot“, jejich detail je uveden v předním plánu k'. Bílá šipka ukazuje průchod „mezi nohama“. Tato transformace je opravdu obtížná pochopit. Přidal jsem obrázek m, abych byl lépe pochopen. V l jsem pomocí čárkovaných čar znázornil křivku samoprůniku, která je celá zobrazena v l'. Jedno průchodu (ten, kterým prochází bílá šipka) se uzavře. Tento pohyb uzavření souvisí s výstupem části křivky samoprůniku na dvou místech. Tyto části křivky přijdou do kontaktu, každá na jedné z čar patřících k „půlkám mandarinky“. Když se kontakt uskuteční, dojde k „chirurgii“. Obtížnost spočívá v tom, že po prohlédnutí čtyř základních katastrof na předchozí straně je třeba být schopen je přenést pod všemi úhly, až do otočení krku. V n je znázorněn kritický okamžik, kdy dochází k „chirurgii“ („střední situace“ transformace), kdy se změní způsob spojení konců křivky. Víme, že tato katastrofa „kalhot“ „uzavře jeden průchod a otevře jiný“. Počáteční průchod je znázorněn bílou šipkou. Ale existuje také jiný, který bychom viděli z téhož úhlu, kdybychom model otočili o 180° kolem svislé osy. Tyto šipky tvoří jednu. Před provedením těchto katastrof je stále možné se pohybovat v tomto „nafukovacím člunu“ založeném. Když tyto katastrofy začnou působit, tento průchod již nebude možný. Naopak se vytvoří dva jiné průchody. Ale kde? Jaké části prostoru jsou zasaženy? Tyto průchody spojí vnitřek půlek mandarinky s vnějším světem. V l' vidíte tyto půlky mandarinky. Přejdeme k další fázi.
Uzavření průchodu. K dvojí kritické situaci
V e n o jsou znázorněny dvě katastrofy „kalhot“ ve dvou různých stádiích. Jeden z průchodů je úplně uzavřen. Jsme v kritické situaci, právě předtím, než se změní způsob spojení oblouků křivky. Vpravo (detail na obrázku o') průchod je pouze uzavírá. Proto má křivka samoprůniku o" různý vzhled vpravo a vlevo. Na obrázcích p, p' a p" je kritická situace („střední situace“ transformace) dosažena z obou stran. Na následující desce byly chirurgie již provedeny. Trubky, které jsme viděli na obrázku p" a spojující „půlky mandarinky“ s vnějším světem, jsou nyní vytvořeny:
Obě „katastrofy kalhot“ vykonaly svůj účinek. Průchody (bílé šipky) jsou otevřené.
Nyní se věci budou dále rozvíjet prací na dolní části modelu, jejíž detail je uveden v r. Podívejme se pozorně na tuto část povrchu. Vidíme dvě části parabolických válců, které se protínají ve dvou navzájem kolmých směrech. Na spodní části r je viditelný průchod směřující k čtenáři. Budeme uvažovat o posunu těchto dvou válců jeden vůči druhému. To by mělo vést k uzavření tohoto průchodu a otevření jiného, který by šel ve směru kolmém („zprava doleva“). Zde rozpoznáváme novou „katastrofu kalhot“. Pokud tento svislý posun částí parabolických válců proběhne, opět se dostaneme do kritické situace s přechodem způsobu spojení ploch. Ve skutečnosti však kvůli úspornosti zastavíme „proces“ právě v kritickém bodě, ve „střední situaci“, kdy se průchod směřující k čtenáři uzavře a průchod ve kolmém směru ještě nebyl otevřen. Udělejme to.
Nová katastrophe kalhot, zahájená v L, zastavená vpravo ve kritickém bodě.
V L provedeme „tlak“ na válec, který má růžovou stranu venku, a posuneme jej nahoru. V c' vidíme dopad tohoto pohybu na celkový samoprůnik: oblouky křivky začínají přiblížit. Když bude kritická situace dosažena, tato část celku bude připomínat „bicí lžíci“, znázorněnou na obrázku. Vpravo, obrázky t, t', t": je kritická situace dosažena, tedy „střední okamžik katastrofy“. V t" má celkový samoprůnik vzhled, jehož spodní část odpovídá naší bicí lžíci. Obrázek t' znázorňuje malý čtyřstěnový objem. V t''' je znázorněno protínání čtyř ploch.
Jděte si dát aspirin.
V této verzi obrácení koule by měly být všechny transformace a katastrofy provedeny do konce. Ale nyní blokujeme tu, kterou jsme právě zmínili ve střední konfiguraci, „kritické“. Poté začneme novou katastrofu, kterou ještě nevyužili:
tu, která obrací čtyřstěn.
Opět se však zastavíme ve střední situaci, kdy je tento čtyřstěn zmenšen na bod. Pojďme na to!
Poslední katastrofa, zastavená ve střední fázi: když je čtyřstěn zmenšen na čtyřnásobný bod Q
V t''' je evokována konfigurace čtyř ploch, jejichž samoprůnik obsahuje objem připomínající čtyřstěn. V u" byl tento čtyřstěn zmenšen na bod (čtyřnásobný, protože se protínají čtyři plochy). Vlevo je tvořen „model s čtyřmi ušima Morina“. Přední plán ukazuje samoprůnik s „bicí lžící“ dole a čtyřmi závěsy nahoře připomínajícími „krátké uši zajíce“. Pokud trochu deformujeme povrch, aniž bychom prováděli nové katastrofy, dostaneme vpravo „centrální model s čtyřmi ušima Morina“. Tento model má čtyřnásobnou symetrii. Pokud bychom provedli otočení o 90° kolem svislé osy symetrie, dostali bychom stejný obrázek, ale s vyměněnými barvami. Šedá se stane růžovou a naopak. Můžeme tedy říci, že práce je dokončena. Skutečně, pokud bychom chtěli nakreslit úplnou homotopii, stačilo by pomocí animace otočit tento centrální model o 90°. Poté bychom mohli znovu použít všechny kresby, které jsme vytvořili, zpětně s vyměněnými barvami. Nakonec bychom dostali ponoření koule, jejíž růžová strana je venku. Ale matematika je škola lenosti nebo úspory, podle toho, jak na ni pohlížíte. Protože nás práce dovedla k objektu s čtyřnásobnou symetrií, můžeme se zastavit a říci, že operace byla úspěšně dokončena.
Na následující desce jsem se snažil popsat centrální otevřený model Morina co nejpřesněji. Existuje model s „uzavřenými ušima“, který jsem popsán v jiném článku Akademie, ale na to se teď nebudu vracet.
Podrobný popis centrálního modelu Morina s čtyřmi ušima
Později jsem našel polyedrickou reprezentaci centrálního modelu s čtyřmi ušima. Ve skutečnosti tento model nemá „hore“ ani „dole“. Pro pohodlnost kresby a animace (tyto obrázky jsem získal pomocí počítačového programu, který jsem vyvinul, před začátkem osmdesátých let) následující animovaný GIF ukazuje tento model s čtyřnásobným bodem směrem nahoru. Viditelný je také čtyřnásobný bod:
Moje polyedrická verze modelu s čtyřmi ušima
Jak postavit tento model pomocí vystřihování
Prvky vystřihování (k vytisknutí a následnému kopírování na čtyři stránky silného papíru ve dvou barvách)
V původní animaci byl objekt „zrcadlově“ otočen ve srovnání s výše uvedeným pohledem. Takže „zhora“ měl tvar gama kříže, celkový tvar mohl připomínat něco jako „kultura pro nacistický stranu“. Raději jsem objekt obrátil, abych nevyvolal špatné myšlenky u architektů z extrémní pravice.
Klikněte sem
pro podrobné pokyny, jak si tento objekt sám postavit. Nakonec několik pohledů na tento objekt.
Ukonce tohoto příběhu o obrácení koule si dovolím vyprávění úžasné, ale naprosto pravdivé anekdoty. V době, kdy tyto transformace znali jen velmi málo lidí, měcen nabídl milion dolarů osobě, která by dokázala vytvořit dostatečně vysvětlivé modely. V Berkeley se nad tím pracoval matematik Charles Pugh a úspěšně ho dokončil. S penězi si mohl koupit dům. Tyto modely, vyrobené z drátěného pletiva a každý o průměru dobrých dvou metrů (Pugh měl úžasnou zručnost při řezání a spojování okrajů svých konstrukcí, což umožňovalo samoprůnik), během let zdobily strop kavárny matematického oddělení v Berkeley. Jedné noci byly však ukradeny a nikdy nebyly nalezeny. Nikdo nevěděl, kdo to udělal. Komerčně by bylo těžší je prodat než Mona Lízu z Louvre. Možná nějaký milovník má je někde v skrýši a každý večer se těší, že může dolů jít a říct si: „Já jsem jediný, kdo je může vidět.“
Existuje také druhá anekdota, která se týká Boyovy plochy, kterou jsem poprvé lokalizoval v místě meridiánů, identifikující je s rodinou elips. Tento výzkum byl proveden zcela empiricky na kovovém modelu, který jsem vyrobil. Syn matematika Jean-Marie Souriau, Jérôme, tehdy studoval fyziku. Pomocí mikropočítače Apple II svého otce dokázal vytvořit první parametrickou reprezentaci tohoto objektu ve tvaru:
X = X (alfa, mu)
Y = Y (alfa, mu)
Z = Z (alfa, mu)
Nemohu zařadit písmo Symbol do Dreamweaveru, které by mi umožnilo vložit řecká písmena do stránky HTML.
&&& Pokud by někdo mohl vysvětlit, jak na to......
Deset řádků programu BASIC nám umožnily poprvé v roce 1981 zobrazit na obrazovce „drátové“ obrázky Boyovy plochy. Pokud najdete nějaké počítačové modely tohoto objektu na webových stránkách, vždy byly vytvořeny na základě mého článku publikovaného v Akademii věd (svazek 293, schůze 5. října 1981, série 1, str. 269–272). Protože práce je podepsána J.P. Petit a J. Souriau, čtenáři (kterých je málo) si myslí, že J. Souriau je známý matematik. Ve skutečnosti jde o jeho syna Jérôma, který nikdy neukončil bakalářské studium fyziky a raději pracoval jako informatik. Je snadné pochopit, že počítačové modely, které vytvořil polytechnik Colonna na École Polytechnique, jsou založeny na těchto rovnicích, které jsme objevili my s Jérômou. Byly by potřeba zlepšeny a kvůli nedokončenosti práce má plocha tři neestetické záhyby v blízkosti pólu. Zde je program umožňující vytvoření těchto „drátových“ reprezentací.
Program, extrahovaný z Topologiconu:
Poslední anekdota je ještě úžasnější. Před dvaceti lety jsem se účastnil podmořské expedice na jižním pobřeží Bahamů s potápěčem Jacquesem Mayolem. Cílem bylo objevit „zachycenou pyramidu“, jejíž existence byla zmíněna Charlesem Berlitzem v jeho slavném díle „Trojúhelník Bermud“ – mezinárodním bestselleru. Přesněji řečeno, měla být umístěna na jižní straně útesu Cay Sal Bank, uprostřed mezi Floridou a Kubou, oblast plná mořských velryb, dosti nebezpečná. Ale při výzkumu někdy musíte riskovat.
Nenašli jsme žádnou pyramidu, stejně jako žádné máslo na špici. Byli jsme dopraveni na místo svého účelu bohatým italským finančníkem na krásném jachtu dlouhém třicet metrů, vybaveném výkonnými motory. Protože nebyla pyramidu, začal jsem mluvit s tímto miliardářem o geometrii a zdůraznil jsem mu, že kdyby podpořil vytvoření matematických ploch, našel by způsob, jak utratit své peníze ještě méně užitečně než tím, že pozve dívky z Lido v Paříži na večeři. Muž, jehož jméno tajím, ale jeho pravé jméno je Carlo, souhlasil s financováním několika modelů, které byly „dokončeny“ plastikem zručnějším než já v manipulaci s měděným drátem. Nakonec chtěl tento finančník nechat vyrobit modely z zlatého drátu, aby je umístil do svého salonu.
Jednoho dne byl kontakt náhle přerušen. Nakonec jsem se pokusil ho kontaktovat v jeho kanceláři v Miláně. Ale zjistil jsem, že byl uvězněn, protože byl identifikován jako druhý nejvyšší člověk v italské „Loge P2“. O několik měsíců později se dostal z vězení, koupil si soudce. Bohužel se ital nepozději odvrátil od matematiky. Na okraj to nám umožnilo pochopit skutečný účel expedice na Bahamy. Ve skutečnosti byl jeho krásný jacht použit k přepravě peněz z Itálie do Nassau na Bahamách, pravděpodobně pocházející z drogového obchodu. Když jsme se zastavili v tomto přístavu, majitel lodi, náš host, zmizel v skrýši, kterou si v lodi vybudoval, a objevil se až tehdy, když policie přístavu dokončila své prohlídky a ověřila totožnosti osob na palubě, a vrátila se na břeh. Pak se vydal ke svému bankovnímu účtu v Nassau s aktovkou, jejíž obsah byl zjevně těžký, pravděpodobně plný hotovosti. V té době jsme se ptali, jak budeme moci nezabít nás štěstím v Cay Sal Bank, ani jsme v tu chvíli nepřikládali důležitost tomuto detailu, který mi až později přišel na mysl.
Když jsem se vrátil do Francie, udělal jsem chybu a řekl jsem řediteli matematického oddělení Palais de la Découverte v Paříži, umístěného v Grand Palais, že model, který jsem mu navrhl k vystavení (a který byl skutečně vystaven přibližně dvacet let), byl vyroben z peněz pocházejících z drogového obchodu. Pro opatrnost se rozhodl nevystavovat vedle objektu žádnou informaci, ani dokonce jméno jeho vynálezce nebo mé. Ten objekt tak trůnil ve středu „sálu pi“ po dvě desetiletí zcela záhadně.
Dříve se mluvilo o kletbě spojené s objevením hrobky Tutanchamona. Nevím, zda existuje „kletba Boyovy plochy“. Ale to, co je naprosto pravdivé, je, že její vynálezce zmizel záhadně a tento objekt, jako Falcón Maltais ve filmu s Humphreym Bogartem, zůstal spojen s příběhy týkajícími se sicilské mafie. Zajímalo by mě, zda jeho odstranění a umístění do skrýše v budově nebylo jednoduše opatřením pro zajištění bezpečnosti ze strany správy muzea.
Sklady Palais de la Découverte, nedostupné veřejnosti, jsou podobné podzemnímu hrobce fáraóna v Egyptské údolí králů. Možná někdy za roky, když druhá světová válka atomizovala Paříž, nějaký průzkumník náhodou objeví tento objekt, který může způsobit nové oběti – kdo ví?
Předchozí strana
Další strana
