Otočení toru
- prosince 2004
stránka 6
Netriviální otočení toru
J.P.Petit:
Příspěvky Akademie věd.
svazek 293, setkání 5. října 1981, série 1 str. 269-272
Omezím se na představení dalších obrázků, bez komentáře.
Netriviální otočení toru. První část transformace
Netriviální otočení toru. Druhá část transformace
Když se dostaneme k obrázku
v
vidíme, že je pak snadné spojit šedou a růžovou strukturu, aby se tento objekt stal dvoulistým pokrýváním Kleinovy lahve.
Otočení se pak provádí výměnou listů. Níže je stejný obrázek s barevným kódováním.
Dvoulisté pokrývání Kleinovy lahve s barevným kódováním
( tento obrázek není součástí mého ročního zprávy pro CNRS. Naleznete jej v Topologiconu )
Různé skupiny torů.
To, co dokázal Stephen Smale v roce 1957, bylo, že existuje jen jedna skupina vložení koule a že všechny mohou být spojeny homotopií. Tvořily skupinu, jejíž neutrální prvek spočíval v tom, že objekt zůstal v původním stavu. Zajímalo se, zda by to mohlo být i pro tor. Matematici Ioan James a Emery Thomas ukázali, že vložení toru se rozdělují na čtyři kontinenty, mezi nimiž nelze přejít pomocí pravidelné homotopie.
Čtyři skupiny torů
„Standardní tor“, nakreslený uprostřed stránky, patří do stejné skupiny jako objekt zobrazený v
b
. To jsem ukázal v mé verzi otočení toru, kterou jsem vymyslel v roce 1980. Skupina uvedená v b představuje tor, který prošel otočením o 360°. Podobá se standardnímu toru, ale oba se definují na základě svého mapovacího systému, pomocí dvou skupin křivek. U standardního toru se používají dva sady kruhů, které lze považovat za poledníky a rovnoběžky. Na toru b bychom měli doplnit sadu kruhů přilepených na něj druhou sadou, která se otáčí v opačném směru. To, co lze ukázat, je, že je nemožné pomocí pravidelné homotopie přivést síť tohoto toru b do shody sítí standardního toru (poledníky a rovnoběžky). V tomto smyslu jsou to různé objekty. Všechny tyto objekty samozřejmě mohou být konfigurovány jako dvoulisté pokrývání Kleinovy lahve.
Síla nástrojů geometra je
schopnost předpovědět, co je možné a co není. Převést standardní tor na tor na obrázku
b
: ano. Přejít od
c
k
d
: ne.
To ušetří čas a hlavně podnítí k hledání věcí, které nejsou zřejmé, jako je otočení koule. Tak je to ve všech vědách. Někdy lidé minou plodné postupy po letech nebo dokonce stoletích, protože si myslí, že jsou nemožné. Věnoval jsem několik let života vytvoření teorie potlačování rázových vln kolem objektu pohybujícího se rychlostí nadzvukovou v plyně, pomocí Laplaceova síly pole, „MHD“. Student dokonce napsal svou disertaci na toto téma pod mé vedení a my jsme tyto práce publikovali v různých recenzovaných časopisech a vědeckých konferencích. Téma začíná být znovu aktuální, až třicet let po tom. Předpokládá se, že Američané mají hypersonické letouny schopné létat rychlostí Mach 10 bez vytváření rázových vln (a zejména bez trpění obrovskými tepelnými zátěžemi spojenými s kompresem vzduchu za těmito „bangy“. Je to známý mýtus o „Aurorě“, letadle, které létá ve výšce, kde se vyskytují polární záře, mezi 80 a 150 km výšky. Aurora je také předzvěst budoucích raket, které budou využívat vzduch a budou mnohem levnější než rakety CNES. Ve Francii bylo nemožné zahájit takové výzkumy (měl jsem tyto myšlenky v roce 1975), protože lidé, zejména v CNRS, je považovali za naprosto nerealistické. Výsledkem je třicet let zpoždění ve srovnání s USA, které podle mého názoru jsou naprosto nezískatelné.
Hazardní hra
Pro úplnost je třeba zmínit verze otočení koule, které mají za cíl hazardní hru. Byl to objekt, který byl běžný, když jsem byl mladý, ale dnes už se téměř nesetkáváme s ním. První, kdo nakreslil tyto sekvence, byl Georges Francis. Posledních několik let pracuji na polyedrické verzi těchto verzí, která již dávala docela hezký centrální model. Ale abych vám to ukázal, bude třeba, abych si to znovu najal. Rychle, doufám, protože je to jeden z nejzajímavějších objektů, které jsem kdy vytvořil.
Předchozí stránka
Další stránka
