29. únor 2010

Bez názvu

Může člověk myslet jako krab?

27. únor 2009

Vyjadřujeme se například prostřednictvím jazyka, který má být zrcadlem naší logické struktury. V našem jazyce jsme vytvořili dvouhodnotovou strukturu s ANO a NE, PRAVDA a NEPRAVDA, což vede k tzv. „aristotelesovské myšlení“, podle něhož každé tvrzení (logik říká „výrok“) může být pouze PRAVDA nebo NEPRAVDA. To se nazývá zákon vyloučeného třetího.

Bohužel se zkušenost neodpovídá teorii a naše fráze jsou plné nerozhodnutelných výroků, které nejsou ani pravdivé, ani nepravdivé, například:

Lžu.

Už skoro sto let logici vynakládají obrovské úsilí, aby vytvořili ne-dvouhodnotové logiky. Uveďme příklad trojúhodnotové logiky, tzv. rozmazané logiky, jejíž pravdivostní hodnoty jsou:

Pravda Neurčitá Nepravda

Tato logika se ukázala jako funkční v automatizaci a řízení procesů (v inženýrství).

Byly také podniknuty pokusy o vytvoření čtyřhodnotové logiky, nejznámější má následující pravdivostní hodnoty:

Pokus o rozšíření, který se neukázal plodným.

V jeho díle:

Pro přímou kontakt s autorem:

Oprava: Autor nám sděluje, že v jedné z tabulek v jeho knize je chyba. Jde o tabulku na straně 29, její barevná verze je na straně 135. Nejprve děkuji za zájem o tento díl a za rozhodnutí si knihu zakoupit.

Takové věci se stávají... Je to pěkná chyba! Ve třetím řádku a třetím sloupci místo jedničky je náhodou nula. Oprava bude předána všem do několika dnů.

Navíc znaménka = a \ se nacházejí na úhlopříčkách: tyto dvojité čáry, když se na ně podíváte pod jedním úhlem, vytvoří znaménko =, pod druhým úhlem znaménko \, které je třeba chápat jako „jiné“, tam, kde se nacházejí.

Doufáme, že to vám umožní pokračovat v čtení. Ještě jednou srdečně děkujeme (a omlouváme se také!), a zůstáváme k dispozici, pokud byste náhodou znovu narazili na pochybnost... nebo novou chybu!

Obr. 2.2, nahraďte výše uvedenou tabulkou

Denis Seco de Lucena nás zve na zvláštní cestu, jejíž čtenář může být zcela zasažen. Začněme zkoumáním jazyka – to je postup každého logika. Autor navrhuje zavést tzv. transverzalitu. Z tohoto pohledu by každý výrok mohl být vyjádřen čtyřmi symetrickými formami, tvořenými „dvěma symetrickými dvojicemi“. V jazyce existuje mnoho příkladů, ale „čtvrtý výrok“ je někdy obtížné formulovat, nebo vůbec neodpovídá žádnému existujícímu označení.

Nejprve uveďme příklady, kde tato „transverzalita“ je jasná. Zvažme například pojem pohyb. Existují čtyři způsoby „pohybu“:

Okamžitě se objeví dvojice s jejich symetrií. Zpětný je opakem předního a naopak. Pohybující se je opakem nepohyblivého a naopak.

Pokud se obrátíme k topologii, přidáme čtyři příslovce nebo příslovné spojení:

29. únor 2010: Můj přítel Jacques Legalland navrhuje, aby čtvrtý výrok byl lépe formulován takto:

Pokud se obrátíme k barevným odstínům:

27. únor 2010: Jie navrhuje:

Hrajeme-li s časem:

Příslovce nikdy je časový ekvivalent příslovce „nikde“ (viz výše).

Tento způsob myšlení mi připomíná text Ummitů o logice, který – pokud se dobře pamatuji – uváděl čtyři pravdivostní hodnoty:

Pokud znovu zvažujeme pravdivostní hodnoty klasické čtyřhodnotové logiky:

27. únor 2010: Mělo by být přeformulováno, že čtvrtá hodnota znamená „neodpovídá tomuto typu klasifikace“:

Zvažme reálná čísla. Máme:

Čtvrtý výrok může být:

Přejděme k implikaci:

Vidíme, že se objevují čtyři způsoby „říkat“, které se liší od klasické čtyřhodnotové logiky, o které bylo dříve zmíněno. Symetrie posledních dvou výroků je jiná. Autor navrhuje říkat, že tyto dvojice výroků nebo příslovů jsou „transverzální“.

Způsob, jakým věci prezentujeme, se neliší od toho, který používá autor ve svém díle, které doporučuji k přečtení. Ale okamžitě si řeknete: „Co se tady skrývá?“ Tato otázka vás odvede daleko. Autor, vědec, našel svůj výchozí bod v dopise, který mi přišel v roce 1992 od záhadných korespondentů se jménem „Ummite“, dopis adresovaný z Rijádu, Saúdská Arábie. Pro ty, kdo tuto historii neznají, je vhodné připomenout kontext. Mezi dokumenty přinesenými z Španělska od poloviny sedmdesátých let upozornili autoři těchto textů na nutnost opustit aristotelesovskou logiku a přejít k čtyřhodnotové logice.

Po roky jsem se snažil různými způsoby. V roce 1992 jsem měl Mac Intosh první generace, běžící na 2 MHz, a samozřejmě úplně bez modemů nebo jakéhokoli prostředku pro komunikaci s vnějším světem. V tomto počítači jsem si zaznamenával myšlenky, které znali pouze já. Přitáhl mě Gödelův věta, vzpomněl jsem si, že je založena na aritmetice (manipulaci přirozenými čísly), která byla na konci minulého století axiomatizována matematikem Peanem. Matematik Gauss vytvořil v jeho době to, co dnes nazýváme „Gaussova čísla“, tedy komplexní čísla s celočíselnými hodnotami.

Zpozoroval jsem, že klasicky se tato Gaussova čísla považují za dvojice přirozených čísel (a, b) a nikdy nebyla pokusena jiná axiomatizace pro jejich konstrukci, než rozhodnutí dát „dvě čísla“.

Několik dní po uložení těchto myšlenek na pevný disk jsem byl překvapen příchozím dopisem z Saúdské Arábie, který zmínil přesně tytéž myšlenky.

Obsah tohoto dopisu

Je zřejmé, že Denis, který je vědec, našel v tomto záhadném dopise výchozí bod pro desetiletou cestu, o které se zmínil ve svém nedávno vydaném knize. Vzhledem k exotickému, řekněme dokonce i kontroverznímu původu zdroje, pochopíme, proč se rozhodl publikovat pod pseudonymem.

Nejste si možná vědomi knihy Jules Verne: Cesta do středu Země, kde hrdinové hrají s záhadným zprávou, kterou zanechal Aarne Saknudsen. Kombinací jejích prvků nakonec objeví cestu ke středu Země. Takže se můžete připravit na něco podobného v knize Denise.

Není to první pokus, ale dosud všechny pokusy selhaly, i když někdy vypadaly velmi lákavě. Přemýšlím například o pokusu Kanadce Normana Mohlanta na webu ummo.science. Matematik by řekl: „Můžeme vytvořit algebry do nekonečna“ a hrát s nimi jako s legem. Vytvořit nové díly lega je ale jiná záležitost.

Kde je „plus“ v práci Denise?

Začíná tím, že v stopách uvedených v dopise z Rijádu najde cestu ke zvláštním matematickým objektům, které vytvořil irský matematik Hamilton v roce 1843: kvaternionům. Obvykle se objevují v knihách ve formě rozšíření komplexních čísel:

Q = a + b i + c j + d k

s

i² = -1

j² = -1

k² = -1

i j = k

i j² = k j

i j = - j i

(antikomutativita)

j k = i

j k = - k j

k i = j

k i = - i k

Součiny jsou antikomutativní.

Když Hamilton objevil kvaterniony a objevil jejich obrovské vlastnosti, byl tak nadšen, že si řekl:

• Tohle musí mít určitě nějaké fyzikální využití, ale kde?

Nemohl si představit, že tento vztah bude spojen s příchodem kvantové mechaniky. Například matice Pauli jsou kvaterniony.

Autor ukazuje, jak čistě geometrické úvahy, vycházející z obsahu dopisu, vedou k geometrické konstrukci kvaternionů (přes „komplexní rovinu se dvěma kolmými stranami“). Kniha se jmenuje „Tajemství dopisu z Rijádu“. Toto tajemství je zde představeno. V dopise je řeč o slavném Fermatově větě, která říká, že rovnice s celočíselnými hodnotami

an = bn + cn

má řešení pouze pro n ≤ 2.

Matematik Lagrange je autorem podobné věty, kterou si Fermat dříve formuloval jako hypotézu: každé celé číslo je součtem čtyř čtverců.

N (libovolné celé číslo) = a² + b² + c² + d²

Nulou musí být zahrnuta mezi tato čísla, takže například:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

Pozdější důkaz používající kvaterniony využívá indukci.

Rád bych, aby Denis našel důkaz Lagrangovy věty pomocí kvaternionů a umístil ho na svůj web.

Mějme kvaternion:

Q = (a, b, c, d)

Definujeme jeho sdružené číslo jako:

sdružené Q = Q (a, -b, -c, -d)

Denis formuluje hypotézu, že Fermatova věta ve formulaci, kterou předložil, je podprodukt kvaternionického zápisu, podle kterého rovnice:

(Q1Q1)ⁿ = (Q2Q2)ⁿ + (Q3Q3)ⁿ

kde kvaterniony mají celočíselné složky, má řešení pouze pro n ≤ 2.

27. únor 2010: Všiml jsem si, že tyto dvě formulace jsou ekvivalentní, protože modul kvaternionu (a, b, c, d) je a² + b² + c² + d². To je podle Lagrangovy věty celé číslo.

Tato poznámka může odrazit běžného čtenáře. Ve skutečnosti zůstává celý díl velmi přístupný. Množství příkladů transverzality tvoří hru s jazykem, která je velmi zábavná a stimulující, a čtenář si může užít hledání dalších příkladů. Geometrické schémata jsou také velmi přehledné.

Tato kniha se zdá být první dlaždicí větší stavbě, otevřením k jinému způsobu myšlení.

Koupit knihu (18 eur, včetně dopravy, 144 stran):

http://quadrilogie.com

2. březen 2009: Čtenář, pan Christian Pedro, nám poskytl PDF s důkazem Lagrangovy věty o čtyřech čtvercích.

Theorem o čtyřech čtvercích Lagrange

Další poznámka: Součin modulů dvou kvaternionů je roven modulu jejich součinu. Důkaz patří matematikovi Eulerovi (1750).

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =

(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² + (a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

To znamená, že modul součinu dvou kvaternionů:

A = (a₁, a₂, a₃, a₄) B = (b₁, b₂, b₃, b₄)

je modul kvaternionu:

C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄, a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃, a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃, a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)

Pan Pedro je skeptický, zda přístup založený na kvaternionech může vést k relativně jednoduchému důkazu (ve srovnání s důk