a106
| 6 |
|---|
Negakóny.
Nyní sestrojme to, co nazveme „negakón“. Abychom sestrojili posikón, odebrali jsme z roviny sektor. Zde jeden přidáme, odpovídající úhlu q:
(30)
Na tomto povrchu můžeme pomocí naší lepicí pásky kreslit geodetické čáry a vytvořit z nich tři trojúhelník. Pokud změříte součet úhlů, zjistíte, že je roven 180° – q. Řekneme, že definuje koncentraci záporné křivosti.
Doma máte předměty se zápornou křivostí. Například některá sedadla: (30 bis)
Vezmeme-li disk, dostaneme obrázek (31):
(31)
Samozřejmě pokud trojúhelník tvořený třemi geodetikami neobsahuje vrchol S, který nese veškerou (zápornou) úhlovou křivost, bude součet eukleidovský: 180°.
Koňské sedlo.
** **Můžete sestrojit velké množství elementárních negakónů
s úhlem – Dq a spojit je. Můžete to udělat tak, abyste dosáhli téměř konstantní vzdálenosti mezi dvěma sousedními vrcholy. Pak byste získali povrch s konstantní hustotou záporné křivosti: koňské sedlo. Ale tento povrch se nikdy neuzavře.
Obecně to geometr nazývá povrch s konstantní zápornou křivostí. (32)
„Tupý negakón“.
V předchozí části jsme pomocí povrchu s konstantní hustotou kladné křivosti (část koule) a části posikónu sestrojili tupý posikón.
Podobně můžeme sestrojit to, co nazveme tupý negakón. Musíme spojit koňské sedlo s částí negakónu podél jejich společné kruhové hrany. Aby byla zajištěna spojitost tečné roviny, musí se (záporná) křivost obsažená v koňském sedle rovnat záporné křivosti zapojené do konstrukce negakónu.
Sestrojit požadovanou část negakónu je relativně snadné! (33)
Pozn.: Stejně jako posikón může i negakón sloužit jako tisková matrice. Je však obtížné si představit, jak válet negakón po rovné rovině. Proto je jednodušší válet rovinu po matrici se zápornou křivostí.
Gutenberg vynalezl tiskařskou techniku. Na rovinu se vyryje reliéfní vzor. Poté se na něj nanese barva a přitiskne se na rovinu.
Později byla tisková matrice přeměněna na válec pro tisk novin (rotační tisk).
Ale nikdo, pokud vím, nepoužil kuželový lis.
V každém případě je důležité uvést oba povrchy do kontaktu, ať už jakkoli. Buď pohybujete matricí, nebo válíte papír (rovný povrch).
Jak ukazuje obrázek (34), můžete použít kuželovou matrici k tisku něčeho na rovinu. Některé kuželové noviny, položené naplocho. (34)
Není definitivně jisté, že to někdy někdo nepoužije. Předpokládejme, že chcete vyrábět šaty se zvláštním vzorem odpovídajícím kuželové symetrii. Předpokládejme, že jich musíte vyrobit tisíce. Mohli byste vzor vyryt do kuželové matrice a pak ji použít k tisku na látku. Zákazník by si ji mohl koupit a vyrobit „kuželové šaty“ s jistotou, že získaný vzor bude všude správný.
Na obrázku (35) je to, co získáte tiskem s matricí se zápornou křivostí. Vpravo je negakón položený naplocho. (35)
Na obrázku (36) je ukázáno, jak spojit koňské sedlo s částí negakónu.
Mimochodem, můžete se ptát:
- Jak mohu změřit zápornou úhlovou křivost obsaženou ve svém koňském sedle?
V některých místech v Texasu, poblíž matematických kateder, je při koupi koňského sedla odpovídající úhlová křivost uvedena na přiloženém účtu. Pokud ne, porovnáním obvodu hrany nebo plochy s eukleidovskou hodnotou vypočtenou z poloměru tohoto disku záporné křivosti můžete odpovídající úhlovou křivost odvodit. Považujte to za plodné cvičení. (36)
(37)
Nyní můžeme použít naši lepicí pásku, nakreslit geodetiky a promítnout je na rovinu, jak ukazuje obrázek (38).
(38)
Jako obvykle tento rovinný průmět odkazuje na náš „mentální svět“, na stěnu Platónovy jeskyně. Vzhled promítnuté geodetiky by pro nás znamenal, že na naše referenční objekty působí nějaká odpudivá síla, například odpudivá gravitační síla. Ve skutečnosti by to vše mělo vyplývat z podkladové geometrie.