a107
| 7 |
|---|
Konjugované geometrie.****
Nyní můžeme spojit tupý posikon a tupý negakon. Tváří v tvář: část sféry a koňské sedlo, s opačnou úhlovou křivostí + q a - q. Máme vzájemně jednoznačné přiřazení bodů (injektivní zobrazení). Na obrázku (39) byl znázorněn pár konjugovaných bodů.
Nazýváme konjugovanými geometriemi dvě geometrické struktury spojené bod po bodu tak, že lokální hustoty křivosti jsou opačné. To je případ části sféry a odpovídajícího koňského sedla. Totéž platí pro část posikonu proti části negakonu. Jejich lokální hustoty úhlové křivosti jsou nulové. (39)
Kladná křivost ve záhybu F je zcela obsažena v části sféry. Část posikonu je eukleidovská plocha, která je „lokálně plochá". V druhém záhybu F*, konjugovaném záhybu, je veškerá (záporná) úhlová křivost obsažena v koňském sedle. Vně je část negakonu „lokálně plochá", neobsahuje žádnou křivost.
Všimněte si, že z jednoho daného záhybu lze sestrojit druhý.
Obecná relativita.
Základní myšlenkou je, že lokální obsah „hmoty-energie" určuje lokální geometrii, formuje hypersurface časoprostoru. Všimněte si složeného slova „hmota-energie", které ukazuje, že jakýkoli obsah určuje geometrii vesmíru: hmota a záření. V předchozí části jsme zmínili skutečnost, že fotony přispívají ke (kladné) křivosti. Dnes je příspěvek kosmického pozadí zanedbatelný. Příspěvek hmoty ke geometrii je dominantní. Ale v dávné minulosti byla situace obrácená: ve Standardním modelu, když t < 500 000 let.
Prozkoumejme didaktický model, abychom pochopili základní pojmy obecné relativity. Zabývejme se systémy ve stacionárním stavu. Uvažujme rovnou plochu bez vnitřního napětí. Můžeme změnit její geometrii zavedením lokálních napětí. Můžeme zavést kladné nebo záporné napětí (tenzor napětí). Například když zahřeji plastovou fólii, vytvořím puchýř (efekt kladné křivosti).
Mohu také materiál napustit přípravkem, který po vyschnutí způsobí lokální prodloužení (efekt záporné křivosti).
Klempíř ví, jak použít zahřívání a ochlazování k tvarování kovového povrchu, například plechovky, která prošla havárií.
Vezměme jednoduchou kovovou trubku. Zahřejme ji na jedné straně a ochlaďme na druhé. Co se stane?
(40)
Napětí trubku ohne, jak ukazuje obrázek (41).
(41)
Zavedli jsme do kovu napětí. Odtud pochází slovo tenzor v matematice, nauce o pružnosti a geometrii. Odborník na pružnost bude mluvit o tenzoru napětí. Geometr se bude dovolávat tenzoru křivosti. Odborník na obecnou relativitu použije základní princip:
lokální obsah hmoty-energie <-------> lokální geometrie
Tento lokální obsah hmoty-energie samozřejmě určuje lokální geometrii čtyřrozměrné hypersurface. Ale myšlenka je podobná.
Jak to zapsat? Pomocí toho, co matematici nazývají tenzory.
Je obtížné jít v tomto směru dál, aniž bychom rozvinuli celý kurz diferenciální geometrie. Slavná Einsteinova rovnice je: (42)
S = c T
c je jednoduchá konstanta (nazývaná Einsteinova konstanta). Závisí na hodnotách dvou dalších konstant:
-
Rychlosti světla c.
-
Gravitační konstanty G.
prostřednictvím:
(42bis)
S je geometrický tenzor a přebírá geometrické charakteristiky.
T je další tenzor, který popisuje lokální obsah vesmíru. V tomto tenzoru najdete hustotu hmoty r a tlak p. Jsou vyjádřeny jako hustoty energie. r c² je hustota energie.
Ale p je také hustota energie. Obvykle se tlak vyjadřuje v pascalech na metr čtvereční. Ale pascal na metr čtvereční je také joule na metr krychlový. Tlak je v podstatě objemová hustota energie. Pole
r (x,y,z) a p (x,y,z)
pro systém ve stacionárním stavu tvoří vstup problému. Z těchto skalárních polí můžeme sestrojit tenzor T. Pak se otázka stává:
- Jaká geometrie odpovídá takovému tenzorovému poli T (x,y,z), které splňuje rovnici (42)?
Vzhledem k lokálnímu obsahu vesmíru musí teoretik sestrojit lokální geometrii hypersurface časoprostoru. Ale k čemu?
Zde se používá druhá základní hypotéza:
- Všechny objekty, které tvoří náš vesmír, sledují geodetiky hypersurface časoprostoru.
Objektem může být hvězda, planeta, atom, foton, elementární částice.
Pocházejí částice z rovnice pole? Vůbec ne. Obecná relativita je zcela ignoruje. Pro odborníka na obecnou relativitu je vesmír kontinuum, nic jiného. Vstupní funkce r a p odpovídají makroskopickému popisu vesmíru. Totéž pro výstup: systém geodetik. Pro teoretika obecné relativity je vesmír hypersurface, nic jiného. Říká:
- Dal jste mi funkce r (x,y,z) a p (x,y,z). Sestrojil jsem pro vás odpovídající hypersurface, která splňuje rovnici pole. Určil jsem všechny možné dráhy: systém geodetik. Ale jsem zcela neschopen pro vás sestrojit částice. Promiňte. Jděte do jiného oddělení.
Shrnutí: most mezi obecnou relativitou a světem elementárních částic stále čeká na svého stavitele.
Ale astronom řekne:
- Koho to zajímá? Fotony mají sledovat zvláštní geodetiky této hypersurface. Funguje to: mohu pozorovat jevy optickými přístroji. Planety mají také sledovat jiný druh geodetik. To také funguje. Mohu vypočítat jejich dráhy, předpovědět precesi perihélia Merkuru. Existuje také gravitační čočkový efekt.
Má pravdu.
Několik slov k tomuto gravitačnímu efektu. Nejprve je tento obraz tupého kužele jednoduchým didaktickým obrazem. Například nemůže popsat kruhové dráhy planety kolem hvězdy: (43)
To jednoduše ukazuje limit didaktických obrazů. Ale můžeme použít tento příklad k ilustraci gravitačního čočkového efektu, se dvěma geodetikami:
(44)
Níže je mentální, eukleidovské znázornění prostoru. Existuje efekt fata morgány. Místo jediného objektu vidí pozorovatel dvě „gravitační fata morgány".