| 3 |
(pozitivní) křivost.
Když na rovinu nakreslíme pomocí naší lepicí pásky trojúhelník, součet hodnot jeho úhlů je 180°. To je eukleidovský povrch. Řekneme, že neobsahuje žádnou křivost. Je to skutečně plochý povrch. Součet úhlů našeho trojúhelníku je eukleidovský součet. Když jsme trojúhelník nakreslili na náš kužel, náš „posikón“, a když byl vrchol S mimo něj, součet byl stále 180°. Naopak, když byl vrchol uvnitř, součet byl 180° plus úhel q (střih, kterým jsme dokázali sestrojit náš posikón, viz obrázek (8)).
Tento vrchol je zvláštním bodem povrchu, kuželovým, a řekneme, že obsahuje určitou (pozitivní) koncentrovanou křivost. Je to bod koncentrované (pozitivní) křivosti.
Nyní můžeme provést dva střihy odpovídající úhlům q1 a q2. Viz obrázek (13). Pak dostaneme podivný povrch se dvěma kuželovými body S1 a S2. Viz obrázek (14).
(13)
(14)
Nyní můžete nakreslit tolik geodetických trojúhelníků, kolik chcete, odpovídajících různým případům.
-
Pokud neobsahují žádný kuželový vrchol, součet úhlů je 180°.
-
Pokud obsahují vrchol S1, součet je 180° plus q1.
-
Pokud obsahují oba vrcholy, q1 a q2, součet je 180° + q1 + q2
(15)
Představte si nyní, že můžete vyrobit velké množství drobných posikónů a slepit je dohromady, jak je znázorněno na obrázku (16). Každý drobný posikón odpovídá elementárnímu úhlu Dq. Tyto minikužely můžete uspořádat pravidelným způsobem. Mám na mysli: vzdálenost mezi vrcholem a vrcholy sousedních minikuželů by byla téměř všude konstantní.
(16)
Pokud se vaše minikužely budou zmenšovat, stejně jako jejich přidružený elementární úhel Dq, vytvoříte část pravidelného povrchu s konstantní hustotou křivosti.
Koule je povrch s konstantní lokální hustotou křivosti. Jednodušeji řečeno, koule je povrch s konstantní křivostí.
Pokud své minikužely uspořádáte jinak, můžete vytvořit povrch s proměnnou lokální hustotou křivosti. Například vejce. Slepičí vejce je povrch s proměnnou lokální hustotou křivosti. Ale pingpongový míček je povrch s konstantní hustotou křivosti. Právě proto slepice rozpozná své vejce a rozezná je od pingpongového míčku. Kreslí geodetiky lepicí páskou a tak dále...
Ve skutečnosti slepice geodetiky na objektu fyzicky neznázorňuje. Dělá to mentálně.
(17)
V obecné relativitě se hustota hmoty r ztotožňuje s lokální křivostí.
Hřištěm obecné relativity samozřejmě není 2D povrch. Můžete si představit 3D hyperpovrch. Můžete si představit 3D hyperkouli. Ale kdo si dokáže představit 4D hyperpovrch?
Mimochodem, 4D křivost 4D hyperpovrchu zvaného „vesmír“ má zvláštní rysy, které zde nebudeme zkoumat. To ukazuje, že didaktické modely jsou omezené. Ale jsou dobré k podnícení představivosti a k otevření mysli vůči poněkud odlišným světům.
