| 4 |
Didaktický obraz nebeského tělesa (hvězda, planeta, husté vejce)
Hvězda jako Slunce je koncentrace hmoty. Kolem: prázdnota, nebo část prostoru, která je „téměř prázdná“, protože obsahuje velmi zředěný plyn a fotony. Ve 2D je odpovídající didaktický obraz tupý (pozitivní) kužel:
(18)
Můžete ho sestavit ze dvou komponent. Část koule a část (pozitivního) kužele, slepené dohromady. Část koule je plocha s konstantní hustotou křivosti. Část kužele je rovná plocha, plocha s nulovou lokální hustotou křivosti. Tento poslední příklad je eukleidovská plocha. Část koule je neeukleidovská plocha (riemannovská plocha).
Toto je 2D didaktický obraz objektu s konstantní hustotou r, obklopeného prázdnotou.
Jak upevnit oba prvky k sobě, aby byla zajištěna spojitost tečné roviny? Je to jednoduché. Vaše část kužele pochází z kužele, jehož řez odpovídal úhlu q. Vaše část koule má být sestavena z elementárních mini-pozikuželů, takže obsahuje určité „množství úhlové křivosti“ q. Pokud jsou oba úhly stejné, tečná rovina bude spojitá.
Ale jak změřit množství křivosti obsažené v dané části koule?
Celková křivost.
Můžeme sestavit plochu spojováním elementárních pozikuželů. Můžeme ji uspořádat tak, abychom dostali plochu s konstantní hustotou křivosti. Pak víme, že plocha je část koule. Pokud budeme přidávat stále více elementárních (pozitivních) kuželů, tato koule bude úplná. Obsahuje určité množství úhlové křivosti. Všechny koule obsahují stejné. Celková úhlová křivost pingpongového míčku a celková úhlová křivost Země jsou stejné, i když mají velmi rozdílnou hmotnost.
Mimochodem, celková křivost vejce je stejná, protože mají stejnou topologii. Slepicím se v zásadě daří snášet vejce se sférickou topologií. Osobně jsem nikdy neviděl vejce s toroidní topologií. To by odpovídalo nějakému podivnému hadovi, bez hlavy ani ocasu, nebo něčemu takovému.
Vraťme se k pingpongovým míčkům, normálním koulím. Pokud má tato plocha konstantní lokální úhlovou hustotu, znamená to, že množství úhlové křivosti (součet elementárních úhlů Dq) bude úměrné ploše. Viz obrázek 19. Tato plocha může být ohraničena jakýmkoli druhem hranice. Ale můžeme použít geodetiky koule. Označme S plochu koule a s šedou plochu uvnitř trojúhelníku.
(19)
Výše jsme viděli, že (pozitivní) odchylka od eukleidovského součtu (180°) pro trojúhelník nakreslený na ploše závisí na počtu vrcholů kuželů, které byly uvnitř. Součet byl 180° plus všechny úhly odpovídající těmto uzavřeným vrcholům.
Naopak, pokud změřím odchylku od eukleidovského součtu, mohu změřit množství křivosti obsažené uvnitř trojúhelníku.
Geodetika koule se nazývá velká kružnice koule. Viz obrázek (20). Poledníky, rovník, jsou velké kružnice koule.
(20)
Můžeme rozřezat naši kouli na osm částí o stejné ploše. Viz obrázek (21). Dostaneme osm trojúhelníků, jejichž všechny úhly mají hodnotu 90°. Pak je odchylka od eukleidovského součtu 90°. Každý z těchto trojúhelníků obsahuje úhlovou křivost rovnou 90°. Závěrem je celková křivost, celková úhlová křivost koule 8 x 90° = 720° = 4 p.
(21)
Každý šedý trojúhelník obsahuje p/2.
Baví vás zakřivené plochy, geometrie riemannovských ploch?
Pokud se vrátíme zpět k našemu tupému kuželu, vidíme, že úhlová křivost je obsažena uvnitř kruhové hranice, v oblasti s konstantní hustotou křivosti. Bok kužele, stěna, není omezená plocha. Můžete ji prodloužit do nekonečna, pokud chcete. Množství úhlové křivosti nezávisí na obvodu hranice, na ploše části koule. Tato poslední může být zmenšena. Viz obrázek (22). Dokonce zredukována na jediný bod, kde bude obsahovat stejné množství úhlové křivosti. Proto říkáme, že kuželový bod byl bodem koncentrované křivosti. Naopak můžeme sestavit hladké plochy ze souboru kuželových bodů.
Hmota je složena z atomů. Atomy lze považovat za bodové objekty. Jsou to „body koncentrované křivosti“ ve 3D prostoru.
Vzduch, který dýcháte, je médium s konstantní hustotou. Je složen z molekul, atomů. Je to soubor bodů koncentrované křivosti, spojených eukleidovskými částmi prostoru. To si ztotožňujete s médiem konstantní křivosti.
Až příště budete dýchat, myslete na to. .
(22)
