| 7 |
Konjugované geometrie.
Nyní můžeme přiřadit tupý posikón a tupý negakón.
Hledící jeden druhému: část sféry a koňské sedlo, s opačnou
úhlovou křivostí + q
a - q. Máme bodovou korespondenci (injektivní zobrazení). Na obrázku (39) byla
vyobrazena dvojice konjugovaných bodů.
Nazýváme konjugované geometrie dvě geometrické struktury
s bodovou vazbou, takové, že lokální hustoty křivosti jsou opačné.
Toto je případ části sféry a příslušného koňského sedla. Totéž platí pro
část posikónu, hledící na část negakónu. Jejich lokální úhlové hustoty křivosti jsou nulové.
(39)
Kladná křivost ve záhybu F je zcela obsažena
v části sféry. Část posikónu je euklidovská plocha,
která je „lokálně plochá“. V druhém záhybu F*, konjugovaném záhybu, je veškerá
(záporná) úhlová křivost obsažena v koňském sedle. Venku je
část negakónu „lokálně plochá“, neobsahuje žádnou křivost.
Všimněte si, že z daného záhybu lze zkonstruovat druhý.
Obecná teorie relativity.
Základní myšlenka je, že lokální obsah „hmoty-energie“
určuje lokální geometrii, tvaruje hypersurface časoprostoru. Všimněte si,
že slovo „hmota-energie“ ukazuje, že jakýkoli obsah určuje
geometrii vesmíru: hmotu a záření. V předchozí
sekci jsme připomněli, že fotony přispívají k (kladné) křivosti.
Dnes je příspěvek kosmického mikrovlnného pozadí zanedbatelný. Příspěvek hmoty
k geometrii je dominantní. Ale v dávné minulosti byla situace obrácena:
v Standardním modelu, když t < 500 000 let.
Hledejme didaktický model, abychom vyobrazili
základní koncepty obecné teorie relativity. Zpracujme stacionární systémy.
Uvažujme rovinnou plochu bez vnitřního napětí. Můžeme změnit její geometrii,
pokud zavedeme lokální napětí. Můžeme zavést kladné nebo záporné napětí
(tenzor napětí). Například pokud zahřeji plastovou fólii, vytvořím puchýř
(efekt kladné křivosti).
Mohu také impregnovat materiál produktem, který
po vyschnutí způsobí lokální natažení (efekt záporné křivosti).
Kotlář ví, jak použít zahřívání a chlazení
k tvarování kovové plochy, například plechu poškozeného při nehodě.
Vezměte jednoduchou kovovou trubku. Zahřejme ji na jedné straně
a ochlaďme na protější straně. Co se stane?
(40)
Napětí ohýbá trubku, jak je znázorněno na obrázku (41).
(41)
Zavedli jsme napětí v kovu. To je
původ slova tenzor v matematice, pevnost materiálu a geometrie.
Specialista na pevnost materiálu bude mluvit v termínech tenzoru napětí. Geometr bude zmiňovat tenzor křivosti. Specialista
na obecnou teorii relativity aplikuje základní princip:
lokální obsah energie-hmoty
<-------> lokální geometrie
Samozřejmě, tento lokální obsah energie-hmoty určuje
lokální geometrii 4d-hypersurface. Ale myšlenka je podobná.
Jak to zapsat? Pomocí toho, co matematici nazývají tenzory.
Je obtížné jít dále v tomto směru, bez
rozvinutí kompletního kurzu diferenciální geometrie. Slavná
Einsteinova rovnice je:
(42)
S = c
T
c je jednoduchá konstanta (nazývaná
Einsteinova konstanta). Závisí na hodnotách dvou dalších konstant:
-
Rychlost světla c.
-
Gravitační konstanta G.
prostřednictvím:
(42bis)
S je geometrický tenzor a zajišťuje
geometrické vlastnosti.
T je další tenzor, který popisuje lokální obsah
vesmíru. V tomto tenzoru najdete hustotu hmoty r
a tlak p. Jsou vyjádřeny jako hustoty energie.
r c2
je hustota energie.
Ale p je také hustota energie. Obvykle se tlak vyjadřuje
v pascalech na metr čtvereční. Ale pascal na metr čtvereční je také
joule na metr krychlový. Tlak je v podstatě objemová hustota energie.
Pole
r (x,y,z) a p
(x,y,z)
pro stacionární systém tvoří vstup problému.
Z těchto skalárních polí můžeme zkonstruovat tenzor T. Pak se otázka stává:
- Jaká geometrie odpovídá takovému tenzorovému poli
T (x,y,z), které splňuje rovnici (42)?
Při daném lokálním obsahu Vesmíru musí teoretik
zkonstruovat lokální geometrii hypersurface časoprostoru. Ale k čemu?
Zde se používá druhá základní hypotéza:
- Všechny objekty, které tvoří náš vesmír, sledují
geodetiky hypersurface časoprostoru.
Objekt může být hvězda, planeta, atom, foton,
elementární částice.
Pocházejí částice z rovnice pole? Vůbec ne. Obecná teorie relativity je zcela ignoruje. Pro specialistu na obecnou
teorii relativity je vesmír kontinuum, nic dalšího. Vstupní funkce
r a p odpovídají
makroskopickému popisu vesmíru. Totéž pro výstup: systém geodetik. Pro teoretika obecné relativity je Vesmír hypersurface,
nic dalšího. Říká:
- Dali mi funkce r (x,y,z)
a p (x,y,z). Zkonstruoval jsem pro vás
příslušnou hypersurface, která podléhá rovnici pole. Určil jsem
všechny možné dráhy: systém geodetik. Ale jsem zcela neschopný pro vás zkonstruovat částice. Omlouvám se. Jděte do jiného oddělení.
Shrnutí: most mezi obecnou relativitou a
světem elementárních částic stále čeká na svého stavitele.
Ale astronom řekne:
- Koho to zajímá? Fotony by měly sledovat
zvláštní geodetiky této hypersurface. Funguje to: mohu pozorovat věci optickými přístroji. Planety by měly také sledovat
jiný druh geodetik. Funguje to také. Mohu vypočítat jejich dráhy, předpovědět precesi perihelu Merkur. Existuje také efekt gravitační čočky.
Má pravdu.
Několik slov o tomto gravitačním efektu. Především,
obraz tupého kuželu je jednoduchý didaktický obraz. Například nemůže
popsat kruhové dráhy planety kolem hvězdy:
(43)
To jednoduše ukazuje limit didaktických obrazů. Ale
můžeme použít tento poslední příklad k ilustraci efektu gravitační čočky, se
dvěma geodetikami:
(44)
Níže je mentální, euklidovská reprezentace prostoru.
Existuje efekt miráže. Místo jednoho objektu pozorovatel vidí dva „gravitační
miráže“.
