| 8 |
Formalismus nezávislý na souřadnicích.
Toto je další klíčové slovo obecné teorie relativity. Řekli jsme, že práce kosmologa je ekvivalentní práci, která spočívá v předpovědi tvaru materiálu v důsledku vnitřního napětí.
Vezměte objekt, jehož topologie je topologie sféry. Je to sféra z kovu. Zde opět bychom ji mohli tvarovat pomocí proudů horkého a studeného vzduchu.
(45)
Tyto proudy vytvářejí napětí v kovu, které mění jeho tvar. Samozřejmě, jak se teplo šíří v kovu, pokud zastavíme zahřívání a ochlazování, teplota sféry se vrátí k uniformitě a její vzhled se znovu stane pravidelným.
Vytváříme napětí v materiálu, které mění jeho geometrii.
Toto pole napětí lze popsat matematickým objektem nazvaným tenzor T.
Geometrii objektu lze vypočítat z polní rovnice podobné Einsteinově rovnici.
(46)
S = a T
kde a je konstanta a S geometrický tenzor, který popisuje geometrické vlastnosti.
Nejlepší způsob, jak „číst“ řešení, by bylo vypočítat geodetický systém. Známe geodetiky sféry, ale geodetiky vejce jsou odlišné. K vyjádření těchto geodetik potřebujeme souřadnicový systém. Pro sféru můžeme použít systém (q,j):
(47)
V tomto specifickém systému souřadnic lze geodetiku sféry vyjádřit ve specifické formě. Například křivky:
q = konstanta (meridiány)
jsou geodetiky. Ale křivky
j = konstanta (rovníky)
nejsou geodetickými křivkami tohoto povrchu.
Mohli bychom definovat podobný systém souřadnic na povrchu „vejce“. Ale něco je zřejmé: Geodetický systém existuje nezávisle na svém matematickém vyjádření (v daném, specifickém systému souřadnic).
Geodetický systém je nezávislý na souřadnicích.
Další příklad je mnohem jednodušší. Uvažujme geodetiky rovinné plochy. Jsou to přímky. Tyto přímky můžeme popsat v kartézských souřadnicích:
(48)
Tuto rodinu geodetik můžeme také popsat v polárních souřadnicích. Potom jsou rovnice zcela odlišné, ale odkazují na stejnou rodinu přímek. Tyto přímky, geodetiky rovinné plochy, existují nezávisle na zvolených souřadnicích. Jsou to objekty nezávislé na souřadnicích.
Rovnice nejsou vnitřní atribut.
Je něco, co se nemění, když přejdeme z jednoho systému souřadnic do druhého?
Ano: geodetická dráha mezi dvěma body M1 a M2 se nemění. Totéž platí pro jakoukoli čáru nakreslenou na povrchu. Povrch, body, křivka, která je spojuje, existují nezávisle na zvolených souřadnicích. Totéž platí pro délku dráhy mezi M1 a M2. To platí také pro geodetický oblouk, který je specifickou čarou spojující dva body:
(49)
Mimochodem, tato geodetická dráha je také extrémální dráhou (například nejkratší, jak je zde ukázáno).
Totéž platí pro nadplochu časoprostoru, která má svůj systém geodetik, také nezávislý na souřadnicích. Na této nadploše existuje délka s, která patří k objektu a je nezávislá na zvoleném systému souřadnic.
Obtížný bod je, že prostor a čas nejsou nezávislé veličiny. nežijeme v 3D prostoru s body (x, y, z). Patříme do 4D nadplochy, která je plně popsána jejím systémem geodetik. Uvažujme dva různé body této nadplochy M1 a M2.
Také body lze popsat v daném systému čtyř souřadnic:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1)
M2 ---> (x2, y2, z2, t2)
Tyto body se nazývají události. Můžeme vypočítat geodetickou křivku, která je spojuje, pokud nějaká existuje. Takové události nejsou totožné. Mezi nimi můžeme změřit vzdálenost s, která je nezávislá na souřadnicích. Tato délka se nazývá:
vlastní čas s
Předpokládejme, že vy a já používáme kosmickou loď k cestě z bodu M1 do jiného bodu M2, umístěného v časoprostoru.
s je měření času na našich palubních hodinách.
Budete argumentovat:
- Ale prostor existuje, ne?
- Buďte opatrní. Tato definice toho, co nazýváme prostorem a „absolutním časem“, odpovídá libovolné volbě. Jsou to pouze nějaké pohodlné způsoby, jak „číst“ povrch, jako když jsme napsali rovnici přímek na rovinné ploše ve dvou různých rovnicích. Jediná věc, která se nemění, která je nezávislá na souřadnicích, je interval vlastního času Δt mezi dvěma událostmi spojenými dalším objektem nezávislým na souřadnicích: geodetickou čarou. Takzvaný „absolutní čas“ t není nic jiného než somewhat libovolný chronologický marker.
Změnou vašeho souřadnicového systému měníte čtení událostí. V dokumentech, které prezentujeme na tomto webu, uvidíte, že to je skutečný problém.
Každopádně, rozumíte, proč fyzici a matematici zvolili formalismus nezávislý na souřadnicích, založený na tenzorech.
Rovnice v tenzorové formě jsou nezávislé na souřadnicích.
To je duch obecné teorie relativity. Ale, kromě použití sofistikovaného hardwaru, je obtížné vám o tom říct více.
