| 10 |
Naopak, na površích existují skutečné vnitřní singularity.
Jedná se o skutečné geometrické singularity: (55)
(56)
(57)
A tak dále...
Mimochodem, ohyb je zvláštní oblastí povrchu, kde je
soustředěna lineární křivost. Na obrázku (57), vlevo, máme negativní
lineární křivost. Vpravo pozitivní lineární křivost.
V každém dílčím obrázku jsme použili dvě části sféry.
Celý objekt má stejnou topologii jako sféra, což znamená, že jeho celková
úhlová křivost je 4p.
Předpokládejme, že objekt vlevo byl vytvořen ze dvou částí
sfér, z nichž každá obsahuje úhlovou křivost 3p.
3p +
3p = 6p
To je příliš mnoho. Potom (negativní) lineární křivost
musí tuto hodnotu kompenzovat, aby byla získána požadovaná konečná hodnota 4p:
Závěrem, náš ohyb obsahuje negativní křivost:
- 2p.
Tato křivost je rovnoměrně rozložena podél kruhové křivky, podél ohybu.
Vraťme se k obrázkům (57). Na nich jsou zobrazeny trojúhelníky,
sestavené z geodetických čar. Ale tak, jak můžete přejít ohyb bez problémů
pomocí (úzké) lepící pásky. Víte, jak vypočítat, předpovědět součet tří
úhlů trojúhelníku. Stačí porovnat obsah trojúhelníku s obsahem sféry. Nadbytek křivosti je:
(58)
Ale musíte zohlednit (negativní nebo pozitivní)
křivost obsaženou v části ohybu, v oblouku mn. Ta je:
(59)
Předpokládejme, že jakási čočka, vpravo na obrázku (57), je
sestavena ze dvou částí sféry, z nichž každá obsahuje úhlovou křivost p.
Proto, pokud zapomeneme na ohyb, tato soustava dvou částí sféry
obsahuje úhlovou křivost 2p. Ale tato čočka má sféroidální topologii. Příspěvek
úhlové křivosti musí být 2p.
Potom:
2p +
2p = 4p
( celková křivost sféry )
Můžete také předpovědět součet tohoto podivného trojúhelníku,
tvořeného třemi geodetickými čarami. Oblouk mn obsahuje lineární úhlovou křivost:
(60)
Při měření množství úhlové křivosti obsažené
v ohybu, uvnitř trojúhelníku, lze určit odchylku od euklidovského součtu,
který je p.
Vidíte, že s těmito problémy křivosti na površích
si lze relativně snadno poradit.
Povrch může mít kuželové body nebo linie ohybu. Jedná se
o vnitřní singularity, nikoli o umělé singularity způsobené volbou souřadnic.
Všimněte si, že ohyb lze vyhladit. Potom získáme „arašíd“:
(61)
To je podobné vyhlazení bodového vrcholu
kuželu (soustředěná úhlová křivost), transformující objekt do tupého kuželu
(úhlová křivost rozprostřená na části sféry).
Předpokládejme, že dvě části sféry, nahoře na obrázku (61),
reprezentují 2/3 sféry, z nichž každá, tj. křivost
(62)
Šedá část „arašídu“ obsahuje negativní křivost.
Přesně:
(63)
