a111

Reprezentativní prostor.

V předchozí části jsme viděli, že válec lze položit naplocho. Nyní vezměte kus papíru, plochý list. Je to eukleidovská plocha. Můžete na něj kreslit geodetiky. Nyní ho zmačkejte.
(64)

Kdybyste mohli tento zmačkaný povrch zpevnit a kreslit na něj geodetiky lepicí páskou, narazili byste znovu na stejný systém! Povrch se ve skutečnosti nezměnil. Pokud v takové „plochozemi“ žije nějaký obyvatel, možná si proces mačkání ani neuvědomí. Vše by pro něj zůstalo normální, takový je jeho dnešní život: například sledování geodetik jeho 2D časoprostorového povrchu.

Zmáčknutím listu jste pouze změnili reprezentativní systém, způsob, jakým je 2D povrch vnořen do 3D eukleidovského prostoru.

Jednodušší úpravou je přeměna plochého plechu na vlnitý povrch. Viz obrázek (65)
(65)

Před mnoha lety jsem byl na velkém trhu v Addis Abebě v Etiopii. Kov je tam vzácný. Najdete tam dílny, kde mladí muži přeměňují vlnité železné plechy na ploché desky pomocí jednoduchého kladiva. Kdyby jeden z nich před operací nakreslil geodetiku, zjistili bychom, že systém geodetik by zůstal nezměněn.

Ale abych řekl pravdu, nejsem si jistý, že tento druh chlapce ví, co je geodetika, samozřejmě z matematického hlediska. Každý, kdo plete košíky, přirozeně používá geodetické linie.

Vzpomínám si, že jsem byl instruktorem košíkářství na letním táboře poblíž Burlingtonu a jezera Champlain ve Vermontu... před mnoha lety.

Mějte na paměti, že geometrické objekty mají svou vlastní existenci a vlastnosti, které jsou nezávislé na způsobu, jakým si je představujete v prostoru s vyšším počtem dimenzí. Zmačkaný nebo ne, list je list, tj. eukleidovská plocha.

Předpokládá se, že žijeme ve 4D hypersurface. Mimochodem, všichni máme žít stejně. Ale moje žena Claire, která je velmi okouzlující osoba, je přesvědčena, že žiju v prostoru s vyššími dimenzemi (myslí si, že pěti). To někdy vyvolává určité potíže v komunikaci, když pobývám někde ve své osobní páté dimenzi.

Ale žijí ženy skutečně ve 4D hypersurface? Někdy jsem ohledně toho skeptický, ale to je jiné téma.

Připusťte, že žijete ve 4D hypersurface a sledujete geodetiky tohoto časoprostoru, které sledujete jako vůl svou brázdu.

Nyní předpokládejte, že jste Bůh. Chcete úplnou reprezentaci tohoto 4D hypersurface. Pak potřebujete alespoň jednu další dimenzi. Osobně si myslím, že pokud Bůh existuje, musí žít v desetidimenzionálním hyperworldu. Následné argumenty budou rozvinuty v Geometrické fyzice B a pocházejí z teorie grup.

Má Bůh strukturu grupy?

Prakticky specialista na obecnou relativitu vypočítá řešení polní rovnice (Einsteinovo řešení). Poté zkoumá systém geodetik. Jsou to „přímé 4D linie“. V časoprostoru, když sledujete geodetiky, je obecný řád:

• Jděte rovně! Nezatáčejte vlevo ani vpravo.

Posloucháte, prostě protože nemůžete dělat něco jiného. Zatáčení je v časoprostoru nesmysl. Všechno, každý „jde rovně“.

Ale věci, cesty, trajektorie vypadají pro naše 3D oči zakřivené. Čteme to ve své mentální reprezentaci prostoru. Čelíme stěně Platónovy jeskyně a díváme se na tančící 3D stíny.

Vraťme se k našemu 2D didaktickému obrazu, k tupému kuželu. Má představovat prostor v blízkosti koncentrace hmoty (šedá oblast). Předpokládáme, že odpovídá ustálenému stavu.

Můžeme použít sférické souřadnice (r , q , j) jako prostorové značky (ve 3D). Ve 2D máme pouze dvě: (r , q).

Pak můžeme obrázek promítnout na rovinu a použít stejnou sadu polárních souřadnic. Viz následující obrázek.

(66)

Jak bylo řečeno výše, povrch tupého kuželu je hrubý didaktický model naznačující zvláštní řešení Einsteinovy polní rovnice

(67)

S = c T

které v roce 1917 sestrojil Schwarzschild. Je to brilantní a chytrá práce. Jen abych řekl, že v té době Albert nebyl osamělý génius ztracený na pustém ostrově. Mnoho lidí si myslí, že velký německý matematik Hilbert vynalezl „Einsteinovu rovnici“. Někteří jiní naznačovali, že paní Einsteinová mohla účinně přispět ke stavbě speciální relativity, která přirozeně vychází z prací Poincarého a Lorentze (když se podíváte na Einsteinovy práce, uvidíte, že jen zřídka zmiňuje jiné lidi).

Schwarzschildovo řešení je milníkem obecné relativity. Používá se k výpočtu relativistických trajektorií planet kolem Slunce, což dokazuje precesi Merkurova perihelia.

Každý by okamžitě řekl:

• Proč to Schwarzschild nevypočítal sám?

Měl k tomu velmi dobrý důvod: byl mrtvý.

Schwarzschild byl vlastenec a trval na tom, že v roce 1917 půjde na frontu. Tam byl zasažen plynem a později zemřel. Einstein pokračoval v práci, která se stala „Einsteinovou teorií“.

Bylo to řešení ustáleného stavu. Později se Einstein pokusil sestavit model vesmíru, kde by zakřivení mohlo být ztotožněno s obsahem energie-hmoty. Ale v té době nikdo nevěděl, že vesmír není ustálený. Albert se pokusil sestavit model ustáleného stavu, ale věci nebyly tak dobré. Pak navštívil Elie Cartana, velkého francouzského matematika, který doporučil přidat do polní rovnice konstantu, což Einstein udělal.

Potom ruský pilot kluzáků jménem Friedmann vynalezl neustálené řešení. Přibližně ve stejné době Edwin Hubble objevil rudý posuv a neustálené rysy vesmíru. Einstein byl velmi zklamaný a řekl:

• Kdybych byl věděl, že vesmír není ustálený, našel bych řešení před Friedmannem!

Kdyby, říkávali Lakedaimonští.

Ale ten příběh tam neskončil. Zpočátku Friedmann sestavil cyklické řešení, jedno ze tří, která tvoří „Friedmannovy modely“.

Einstein několik let mlčel. Potom, po Friedmannově smrti, publikoval „Einstein-de Sitterův model“, „parabolické Friedmannovo řešení“.

Později mladý polský výzkumník jménem Kaluza předložil článek „profesoru Einsteinovi“, který ho odmítl publikovat více než rok. Kaluza si stěžoval Einsteinovi, který odpověděl:

• Měl byste se na tuto teorii podívat blíže. Jsem skeptický.....

O mnoho let později se Kaluzova myšlenka (přidání páté dimenze k časoprostoru) stala výchozím bodem pokročilých prací (včetně přístupu superstrun). Viz Geometrická fyzika B.

No, Albert nebyl takový sportovec......

Vraťme se k 3D modelu ustáleného stavu odpovídajícímu geometrii časoprostoru kolem Slunce. Výpočet dává geodetiky umístěné v rovinách. Pokud je účinek zakřivení mírný a rychlost malá vzhledem k rychlosti světla c , jejich projekce v reprezentativním eukleidovském časoprostoru odpovídá kvazikeplerovským drahám a Keplerovým zákonům. Můžeme zapomenout na čas a znázornit tyto geodetiky v rovinách pomocí polárních souřadnic.

r = f (q).

V Schwarzschildově řešení jsou ve skutečnosti dvě propojená „metrická řešení“, jak je naznačeno na obrázku (68). Uvnitř „masivního tělesa“ se předpokládá, že hustota hmoty r je konstantní. Tam je tenzor energie-hmoty T nenulový. Ale venku jsou r a T nulové.

(68)

Toto je složená geometrie. Ve 3D vykazuje hustota hmoty prudkou diskontinuitu na povrchu (předpokládá se koule) „koncentrace hmoty“. To je podobné diskontinuitě hustoty úhlového zakřivení na povrchu (nenulová v šedé oblasti, nulová venku. Hranice se stává S1 sférou, tj. ... kružnicí).

Ve 4D lze matematické propojení sestavit tak, aby byla zajištěna spojitost geodetických linií. To je podobné spojovací části koule-části posikónu.

Když se hmota stane významnou (což nelze popsat naším hrubým 2D didaktickým modelem), uzavřené dráhy již nejsou eliptické.

Viz obrázek (69). Tento nákres odpovídá trajektorii kosmické lodi kolem neutronové hvězdy.

Trajektorie Merkuru kolem Slunce je podobná, ale precese perihelia eliptických drah je 0,15 ° za století.

(69)

Někdy zahrneme vzorce a program, který umožní si s tímto problémem hrát. Není to příliš obtížné.

Nějaké matematické informace na konci této stránky a na další, pokud chcete, můžete jít přímo na stránku 13