| 23 |
Geometrický kontext.
Koule je dvojrozměrný geometrický objekt. K určení bodu na ní potřebujeme dvě veličiny, dvě čísla, dva skaláry.
Koule je plocha, která má topologii. Její topologie se liší od topologie toru.
Obě mají geodetické systémy. Jak bylo uvedeno v předchozí části, můžeme na kouli určit dva odlišné body M1 a M2 a křivku, která je spojuje. Pak můžeme měřit délku podél této zvláštní cesty. Je to veličina invariantní vůči souřadnicím. S2-koule existuje nezávisle na jakémkoli trojrozměrném reprezentujícím prostoru. Ale můžeme si ji představit v našem známém eukleidovském trojrozměrném prostoru, ve kterém údajně žijeme. Pak můžeme této kouli dát střed a spojit s ním všechny její body. Viz obrázek (116). Každý bod odpovídá dvěma úhlům: q a j.
(116)
Udělali jsme do koule díru, abychom ukázali vektory OM, kde O je střed a M bod koule.
Nyní obrázek (117) zachovává vektory a zapomíná kouli.
(117)
Tyto polopřímky jsou nekonečné, ale znázornili jsme je zkrácené, v dané délce odpovídající poloměru R naší koule. Každá přímka odpovídá dvojici ( q , j ).
Metrická struktura zmizela. Žádné geodetiky, žádná délka. Co zbývá?
Každá z těchto polopřímek má sousedy, kteří tvoří její okolí. Každou polopřímku lze znázornit jako uzavřenou v posloupnosti kuželů (obrázek (118)).
(118)
Kolem jakékoli přímky můžeme umístit tolik linií kuželů, kolik chceme. Mezi dva z těchto kuželů vždy můžeme umístit další. To intuitivně naznačuje pojem diferencovatelnosti. V takovém geometrickém objektu není žádná nespojitost.
Nyní zapomeňte na kouli a vezměte rovnou plochu. Je to množina bodů. Ať zvolím jakýkoli souřadnicový systém, mohu body definovat dvěma veličinami: (x,y), (r,q) a tak dále.
Dvojice reálných čísel. Ty se vybírají z R2, tj. z množiny reálných čísel, jako (3,8705 , - 17,56).
Každá dvojice reálných čísel ( x ; y ) má nekonečný počet sousedů ( x + Dx ; y + D y ) .
Tyto „předmetrické“ objekty nazývají matematici varietami.
Je poměrně obtížné myslet na takové „pružné“ médium. V (119) jsme znázornili tuhou rovnou plochu s metrickými vlastnostmi a pod ní stín jejích bodů.
(119)
Stín nemá vlastní tvar ani rozměr. Závisí na stínítku a na vytváření světelných paprsků. Na obrázku (120) naznačujeme relativnost stínu vzhledem k objektu.
(120)
Tyto „rovnoběžné linie“ jsou podobné paprskům, které jsme zavedli, abychom spojili body koule s jejím středem. Zde jsou body roviny „spojeny“ se „zdrojem“, který je v nekonečnu.
Opusťte tuto poslední představu přímek. Uvažujte svazek uvařených špaget (pokud nejsou uvařené, měly by být tuhé a lámavé). Můžeme ho ohnout. Ale uložíme špagetám, aby zůstaly spojené. Jejich sousedství se nesmí změnit.
(121)
Všechno je to velmi hrubé, vím, a ne zcela rigorózní. Jen se snažím čtenáři naznačit, co může být varieta, geometrický objekt bez metriky, kde hlavní vlastností je, že každý bod má sousedy.
Varieta je množina bodů m . Mohu si představit, že každému bodu variety přiřadím dvojici (M1 , M2) bodů, které náležejí skutečným plochám, jež mají metrické vlastnosti, délku a tak dále....
n-rozměrnou varietu nazývám kostrovou varietou a přidružené n-rozměrné plochy prostě vrstvami. Pak sestrojím
dvojvrstvé pokrytí variety.
Na obrázku (122) je dvojvrstvé pokrytí variety m2 (dvourozměrné).
(122)
V (122) jsem znázornil identické, rovnoběžné eukleidovské vrstvy (roviny) se stejnými metrikami. Ale mohu sestrojit obrázek (123):
Body M a M* budeme nazývat konjugované body. Sestrojení těchto dvou vrstev z „kostrové variety“ má určitý význam: ke každému bodu M vrstvy F můžeme přiřadit jeden a pouze jeden konjugovaný bod M*. Jde o zobrazení bod na bod. Pak můžeme na kostrovou varietu zapomenout.
Okolí libovolného bodu vrstvy F odpovídá okolí jeho konjugovaného bodu M*. Viz obrázek (124). To znamená, že každé regulární oblasti F odpovídá konjugovaná regulární oblast, která náleží F*.
(124)
To zejména ukazuje, že konjugované body M a M* jsou popsány stejnou množinou souřadnic.
