a123

Konjugované křivosti.

Jak můžeme pochopit 3D prostory s lokální kladnou nebo zápornou křivostí?

Začněme s 2D plochami. Uvažujme sféru a připevněme hřebík na nějakém místě na ní, jak je znázorněno na obrázku (125). Připevněme provázek o délce L, který spojuje hřebík s tužkou. Můžeme použít tento provázek k nakreslení kružnice, tzv. rovnoběžky sféry. Rovnoběžka sféry je množina bodů, které leží ve stejné vzdálenosti L od daného bodu S.

Můžeme provést podobné operace (obrázky (125)):

• Na sedle koně

• Na rovině.
  (125)

Na rovinné ploše je obvod 2πL, zatímco obsah kruhu je πL².

Na sféře jsou obvod a obsah kruhu menší. Na sedle koně jsou naopak větší.

Uvažujme sféru a rovnoběžku, která se shoduje s jejím rovníkem. Viz obrázek (126). Hodnoty odpovídají obrázku (126).

(126)

Obsah kruhu je 3,875krát větší než odpovídající (šedá) část sféry. Jeho obvod je 1,57krát delší než délka rovníku.

Podobné testy by ukázaly zápornou křivost sedla koně. Pokud nakreslíme uzavřenou křivku, množinu bodů ve stejné vzdálenosti L od daného bodu, na sedle koně, pak obsah tohoto kruhu se zápornou křivostí je větší než obsah rovinného kruhu πL². Podobně je obvod kruhu se zápornou křivostí větší než obvod rovinného kruhu: 2πL.

Geometrie je věda pro slepé. Geometři se snaží vytvořit testy, které by obyvatelé daného prostoru mohli provádět, aby sami objevili jeho geometrické vlastnosti. Z předchozích obrázků mohou obyvatelé dvourozměrné plochy, kteří nemohou tuto plochu vidět z vnějšího pohledu (protože v ní žijí), prostřednictvím měření plochy a délky zjistit, zda část plochy, na které žijí, má kladnou lokální křivost, zápornou lokální křivost nebo nulovou lokální křivost (euklidovský prostor).

Všimněte si, že existují plochy, jejichž lokální křivost může být kladná, nulová nebo záporná. Příklad: torus.

(126ter)

Podobné metody platí pro 3D prostory. Zvolte bod O, kdesi. Vezměte provázek, „tužku“, a použijte jej k nakreslení množiny bodů ležících v dané vzdálenosti L od uvažovaného bodu. Získáte sféru a můžete změřit její povrch. Pokud byla tato plocha vytvořena v euklidovském 3D prostoru, bude její povrch: 4πL².

Pokud je tento povrch menší, znamená to, že tento 3D prostor není euklidovský. Je to Riemannův 3D prostor s kladnou křivostí. Pokud změříme objem, najdeme jej menší než:

(127)

Situace bude obrácená, pokud máme co do činění s 3D prostorem se zápornou křivostí. Povrch sféry, považované za množinu bodů ležících v dané vzdálenosti L od pevného bodu O, bude větší než 4πL². Objem uvnitř této uzavřené plochy bude větší než (127).

Kosmologie není založena na jednoduchých 3D prostorech, ale na 4D nadplochách (s „hyperbolickou signaturou“), takže takové prezentace jsou omezené. Musíme ji považovat za hrubý didaktický model.

Riemannova skalární křivost n-rozměrného prostoru je somewhat odlišná.

V našem současném kosmologickém modelu předpokládáme, že lokální Riemannova skalární křivost v konjugovaných bodech (M, M) jsou opačné:* (127bis)

R* = -R

Specialista najde podrobnosti v článku:

J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, březen 1998.

Následuje užitečný 2D didaktický obrázek, který odpovídá obrázku 39.

(128)

Nahoře: vyhlazený posikón. Nulová lokální (úhlová) křivost v části posikónu. Konstantní kladná (úhlová) hustota křivosti v (šedé) části sféry.

Dole: „vyhlazený negakón“. Nulová lokální (úhlová) hustota křivosti v části negakónu obklopující sedlo koně. Konstantní záporná (úhlová) hustota křivosti v části sedla koně, obrácené k části sféry.

Křivosti jsou konjugované. Tváří v tvář, s bodovou korespondencí, části posikónu a negakónu s nulovou lokální křivostí.

Tváří v tvář, s bodovou korespondencí, plocha s konstantní kladnou křivostí (část sféry) a plocha se zápornou křivostí (sedlo koně). Hustoty křivosti jsou stejné a opačné. Kruhové okraje jsou propojeny, bod po bodu.

Toto je didaktický obrázek našeho kosmologického modelu. Pro další matematické podrobnosti viz:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, březen 1998.