f107
| 7 |
|---|
Spojené geometrie.
...Nyní spojíme zahnutý pozice a "zahnutý negapozice", které mají stejné množství zakřivení, ale opačné znaménko: + q a - q. Můžeme je umístit proti sobě (při této příležitosti vytvoříme "bod po bodu aplikaci": vzájemně jednoznačnou, injektivní). Pak existují dvě plochy. Označme je F a F*. Ke každému bodu F odpovídá bod F*.
...Zajistěme, aby kruhové kontury "zahnutých částí", které nesou zakřivení (kladné v jedné ploše, záporné ve druhé), odpovídaly bod po bodu. Toto ilustrujeme promítnutím celého obrázku na rovinu. Dostaneme dvě plochy s spřízněným zakřivením.
...Kónické boční plochy jsou "neozubené", jsou to prvky euklidovských ploch. Řekneme, že v každém bodě těchto ploch je lokální zakřivení nulové. Sférická kapka a sedlo pro koně odpovídají bod po bodu. Jejich zakřivení jsou opačná.
Obecná teorie relativity.
...Výchozím bodem je myšlenka, že geometrie vesmíru je určena jeho obsahem v "energii-hmotě". Je třeba poznamenat, že se používá slovo energie-hmoty a ne jen hmoty, což ukazuje, že každý kosmický obsah ovlivňuje geometrii, včetně záření, fotonů (nebo neutrino). Viděli jsme výše, že foton vytváří malé kladné zakřivení ve vesmíru.
...Nejprve budeme uvažovat stacionárně. Plocha je rovinná a volná, je to plocha, kde je napětí nulové. Můžeme změnit její geometrii tím, že vytvoříme napětí, kladné nebo záporné (znaménko je otázkou konvence). Pokud například zahřejeme plastovou fólii, mohu v ní vytvořit bublinu, tedy oblast s kladným zakřivením.
...Můžu také na povrch listu papíru nanést produkt, který se při vysychání zmenší. Napětí způsobí vznik oblasti s negativním zakřivením.
...Kovář ví, jak pracovat s tímto napětím, aby deformoval plech. Vezměme například ocelovou trubku. Zahřívám jednu stranu, chladím druhou. Co se stane?
Trubka se zakřiví, zahřátá část se roztaží a chladná se zmenší.
...Tímto způsobem jsme vytvořili napětí v kovu. To je původ slova tenzor ve matematice a geometrii. Odborník na odolnost materiálů bude mluvit o tenzoru napětí. Geodet bude mluvit o tenzoru zakřivení.
Malý experiment níže ilustruje myšlenku:
Místní obsah energie -----> místní geometrie
...V obecné teorii relativity se děje totéž. Rozdíl je v tom, že tento místní obsah energie-hmoty určuje geometrii čtyřrozměrné hypersurface, nikoli, jak zde, geometrii dvourozměrné plochy. Ale myšlenka je podobná.
...Matematik pak použije tenzorový zápis. Pro ne-matematika není možné říct víc. Ale Einsteinův tenzor S (použijeme tučné písmo) odpovídá geometrickému aspektu. V Einsteinově rovnici se identifikuje s jiným tenzorem T, který popisuje obsah energie-hmoty, s výjimkou násobící konstanty, "Einsteinovy konstanty c ".
Známá Einsteinova rovnice se tedy zapisuje:
**S **= c T
...Ve tenzoru T vstupuje objemová hustota hmoty r a tlak p (vlastně je tenzor T složitější, ale my se omezíme na tuto běžnou formuli). V stacionární konfiguraci tedy získáme určitou distribuci hustoty a tlaku r (x,y,z), p (x,y,z). S tímto můžeme sestavit tenzor T, který obsahuje všechny údaje o problému. Otázka je tedy: "jaká je geometrie, která bude k tomuto tenzoru T patřit a splňuje výše uvedenou rovnici?"
... Jinými slovy, fyzik, který zná místní obsah vesmíru, chce určit geometrii čtyřrozměrné hypersurface vesmíru.
Když mluvíme o geometrii, mluvíme o geodetikách. Zde vstupuje druhá hypotéza obecné teorie relativity:
Předpokládáme, že objekty, které se pohybují ve vesmíru,
jsou následují geodetiky čtyřrozměrné hypersurface prostoročasu.
Pod objektem rozumíme částice (tzv. elementární částice, fotony, neutrino) ale také planety, hvězdy atd.
Na tomto místě poznámka: kde jsou částice ve všem tomto?
...Odpověď: odborník na obecnou teorii relativity pracuje v makroskopickém měřítku. Funkce vstupu problému, objemová hustota hmoty r a tlak p, odpovídají makroskopickému popisu kosmického obsahu. Stejně je tomu i s výstupem. A geodet přidá:
- Dostal jsem funkce r (x,y,z) a p (x,y,z), postavil jsem pro vás hypersurface, která k nim patří, s jejich rodinami geodetik. Ale nemohu dělat víc. Včetně toho, že nemohu vytvořit částice, atomy atd. Pro to se obraťte na jinou službu...
Jasně: most mezi obecnou teorií relativity a fyzikou částic ještě není postaven.
Ale astronom řekne:
- Je mi jedno. Tato hypotéza, že fotony následují určité geodetiky této hypersurface funguje. Důkaz: mohu provádět pozorování. Pokud předpokládám, že planety, považované za bodové hmoty, také následují geodetiky této hypersurface, mohu sestrojit jejich dráhy. Existují také gravitační čočkové efekty....
Má pravdu.
...Tyto gravitační čočkové efekty řekněme několik slov. Samozřejmě, tato ilustrace kužele s zaobleným vrcholem je jen ilustrativní. Planeta, která obíhá kolem hvězdy, následuje také geodetiku prostoročasu. Ale kruh nakreslený na zaobleném kuželi není geodetika:
To jen ukazuje limity ilustrativních obrázků, ať už jsou geometrické nebo jiné.
...Fotony skutečně následují geodetiky čtyřrozměrné hypersurface. Můžeme použít tuto ilustraci kužele s zaobleným vrcholem k jejímu vysvětlení. Světelné paprsky mohou projít po obou stranách hmotného objektu a pak se shromažďovat k pozorovateli. Pokud projekujeme tyto geodetiky, získáme efekt zrcadlení: pozorovatel bude mít dojem, že je zdroj dva místo jednoho:
../../../bons_commande/bon_global.htm Obsah článku Obsah vědy Domovská stránka
Počet návštěv této stránky od 1. července 2004** :