f108
| 8 |
|---|
Invariance vzhledem ke změně souřadnic.
...To je klíčový koncept obecné teorie relativity, který není snadné vysvětlit. Řekli jsme, že hledání "kosmologického řešení", stacionárního nebo nestacionárního, znamená vytvořit čtyřrozměrnou hypervrchol, která je "řešením pole rovnice".
...Například vezměme objekt z plechu, který má topologii koule. Je to "koule z plechu". Opět je jasné, že můžeme tuto plochu deformovat zahříváním a ochlazováním na určitých místech. Například zahřátím v jednom bodě a ochlazením protilehlé oblasti bychom tuto kouli přeměnili na vejce. Vejce je objekt, který má topologii koule, ale je plocha s proměnlivou křivostí.
...Zahřátím na jednom místě a ochlazením na jiném vzniknou napětí ve slitině. Samozřejmě, protože je tento materiál vodivý, pokud přestaneme zahřívat a ochlazovat, teplota se vyrovná a objekt získá zpět svou kulatou formu. Co je důležité, je, že jsme schopni vytvořit stacionární situaci s polem nehomogenní teploty. Toto pole vytváří napětí a můžeme tyto napětí vyjádřit jako matematický objekt T, nazývaný tenzor.
Něco popisuje geometrii objektu. Nazývá se to metrika. Na základě tohoto druhého matematického objektu můžeme:
- Vypočítat geometrický tenzor S - Vypočítat geodetiky plochy.
Geometrie této plochy může být vypočtena z rovnice podobné Einsteinově rovnici, ve tvaru:
S = a T
kde a je konstanta. Známe-li předem pole teploty v plechu, tedy tenzor napětí, můžeme odvodit jeho geometrii. Nejlepší způsob, jak "přečíst" tuto geometrii, je analyzovat systém geodetik. Známe geodetiky koule (její "velké kruhy"). Geodetiky vejce jsou jiné.
...Pro popis těchto geodetik budeme potřebovat definovat systém souřadnic na ploše. Pro kouli můžeme použít klasický systém azimutálního směru.
...V tomto speciálním systému souřadnic by geodetiky koule odpovídaly určitým rovnicím.
Na této kouli křivky q = Cte představují rodinu geodetik procházejících dvěma body. Na druhé straně křivky j = Cte (rovnoběžky) nejsou geodetikami plochy.
...Můžeme také definovat podobný systém souřadnic a napsat rovnice geodetik plochy "vejce". Ale okamžitě si všimneme důležité věci: geodetiky plochy jsou nezávislé na souřadnicích, které zvolíme pro jejich popis, stejně jako body koule nebo vejce existují nezávisle na systému souřadnic, který používáme k jejich určení.
...Stejně jako na rovině můžeme reprezentovat body v kartézských nebo polárních souřadnicích. Přímky na rovině jsou geodetiky.
Přímka může být popsána ve dvou souřadnicových systémech:
...Jde o stejnou geodetiku s úplně jiným popisem. Přímky na rovině existují nezávisle na tom, jak je popisujeme, nebo jaké souřadnice používáme. A můžeme si představit... nekonečně mnoho.
...Takže co je vlastně intrinzické? Odpověď: délka s měřená na přímce (nebo podél libovolné křivé dráhy). Mezi dvěma body M1 a M2 na ploše je trajektorie nejkratší délky geodetikou.
...Stejně je vzdálenost mezi dvěma body na geodetice objektu "koule" nebo "vejce" také veličina, která je nezávislá na zvoleném souřadnicovém systému. Pokud vezmeme dva body M1 a M2 na ploše a nakreslíme geodetický oblouk, který je spojuje, délka s měřená podél tohoto oblouku bude stejná, bez ohledu na to, jaký souřadnicový systém použijeme k určení bodů.
...Také pro čtyřrozměrnou hypervrchol, kterému říkáme "univerzum", platí to samé. Má svůj systém geodetik, které jsou také invariantní vzhledem ke změně souřadnic. Nebydlíme ve vesmíru (x, y, z, t) s pozicí souřadnicemi a časovou souřadnicí, ale ve čtyřrozměrné hypervrchol, která může být plně popsána svým sítí geodetik. Na těchto geodetikách existuje délka s, která je také invariantní vzhledem ke změně souřadnic. Body této hypervrchol již nejsou body prostoru, ale body hypervrchol časoprostoru. Nazývají se události. Dvě různé události jsou tedy odděleny něčím, co se nazývá s. Ale co to vlastně je?
To je vlastní čas .
...Geodetická trajektorie v této hypervrchol časoprostoru odděluje dvě události M1 a M2. Můžu říct jen to, že pokud bych použil vozidlo k provádění tohoto cesty v časoprostoru, uplynul by čas s na mé palubní hodinkách.
Výběr souřadnic spočívá v určení bodů časoprostoru pomocí prostorových souřadnic (x, y, z) a časové souřadnice t. Ale protože tento výběr je libovolný, prostor a čas nemají vlastní existenci. Jsou jen způsoby, jak "přečíst" plochu, jak ji prozkoumat. Jediné omezení: podle předpokladu můžeme se pohybovat jen podél geodetik a na těchto geodetikách je jediná důvěryhodná věc, na kterou se můžeme spolehnout, je "uplynulý vlastní čas" s, a ne tento čas t, jednoduchý systém pro určování času (chronologický marker).
Pro každý výběr souřadnic se jedná o jiný systém pro čtení událostí, jevů.
...Fyzici tedy hledali formální systém, který je nezávislý na výběru souřadnic. To je podstata tenzorového formálního systému. Na tuto otázku nelze říct více, jinak bychom se dostali do relativně složitých technických detailů.
Problém singulárních bodů.
Na kouli způsobuje klasický výběr úhlových souřadnic dvě polární singularity.
Nemožné je vytvořit mapu koule bez zavedení tohoto druhu polárních singulárních bodů.
...Zajímavé je, že můžeme kouli nakreslit s jedinou singulárním bodem. Vytvoříme na kouli první rodinu křivek (kružnic) přeříznutím rovinami, jak je znázorněno níže:
Potom druhou rodinu:
Kromě této jediné singularity nejsou žádné problémy. Pokud bychom se koule podívali z druhé strany, viděli bychom toto:
...Kromě jediné singularity S můžeme určit body bez potíží. Ale hodnoty parametrů a a b definující tuto singulární síť S jsou .... něco nesmyslného...
...Přesto koule není geometricky, intrinzicky singulární. Otočte si kouli nebo vejce všemi směry, neobjevíte žádný singulární bod.
Tyto singularity tedy byly vytvořeny výběrem souřadnic.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Souhrn článku Souhrn vědy Domovská stránka
Minulá stránka Následující stránka
**
Počet návštěv této stránky od 1. července 2004** :