f122
| 22 |
|---|
Geometrický kontext.
...Koule je prostor dimenze 2. K určení bodu je potřeba dvou parametrů. Je to prostor, který má topologii (pro podrobnější vysvětlení významu slova topologie viz mé komiksy Topologicon, Ed. Belin). Koule nemá stejnou topologii, stejnou „tvar“ jako torus. Koule má geodetiky. Na ní lze vepsat trajektorii spojující dva body M1 a M2 a změřit délku s uraženou dráhu. Tato délka je nezávislá na volbě souřadnic pro určení bodů, stejně jako geodetiky, které plní povrch.
...Spojme střed této koule se všemi jejími body. Získáme nekonečně mnoho polopřímek. Ty lze určit stejným systémem souřadnic jako body, například dvěma úhly q a j.
Nahoře je naše koule. Vytvořili jsme díru, abychom ukázali celý soubor vektorových polopřímek.
Nyní odstranme kouli a zachovejme pouze vektorové polopřímky.
...Tyto polopřímky jsme zkrátili, ale ve skutečnosti jsou nekonečné. Každá je určena pouze dvěma parametry, například dvěma úhly. Metrická struktura zmizela. Žádné geodetiky, žádné délky. Co zůstává?
-
Každá polopřímka má okolí. Můžeme vybrat sousední polopřímky, které ji obklopí do nějakého kužele. Uvnitř tohoto kužele můžeme najít ještě užší kužel obsahující danou polopřímku. Jde o věc kruhů se stejným středem nebo ruských dětských hráček, ale s balíčky polopřímek. Nicméně nejde o kreslení geodetik na tyto kužely. Každá jejich generátora je jednoduše množina dvou parametrů, například dvou úhlů.
-
Je zjevné intuitivní pojetí diferencovatelnosti. V této „textuře“ neexistuje žádná nespojitost.
Vezměme rovinnou plochu s geodetikami, délkami atd...
...Bez ohledu na to, jaký souřadnicový systém si zvolím, budu muset polohu bodů vždy určovat dvěma reálnými čísly (x,y), (r,q) apod...
Tyto reálná čísla pocházejí z R2, tedy z množiny dvojic reálných čísel, např. (3,8705, -17,56). Každá dvojice bodů z tohoto prostoru dvojic reálných čísel má okolí. Je „spojitá“.
Tyto objekty „předmetrické“ se nazývají variety (matematici mají rádi slova, která pro běžného člověka nemají žádný evokační význam).
...V tomto bodě tedy můžeme přeskočit krok spočívající v uvažování množiny n reálných čísel (prostor s n rozměry), aniž bychom automaticky přidávali myšlenku délky nebo geodetik.
...Je to trochu jako kdybychom uvažovali o ploše, jejíž body mají jen jedinou omezení – zachovat kontakt se sousedy. Byla by nekonečně pružná a deformovatelná. Podle dohody, pokud plochu znázorníme jejím obrysem (buď jejím hranicí, nebo zdánlivým obrysem), budeme mluvit o tomto „pohyblivém“ pojmu variety jednoduše odstraněním obrysu:
...Tento obrázek připomíná stín objektu. A stín nemá ani konzistenci, ani tvar. Jeho geometrie závisí na objektu, na který se promítá.
Můžeme si také představit variety (v angličtině manifold) bez metriky jako rodinu přímek.
...Zde jsou přímky, které vypadají rovnoběžné. Tyto přímky by měly být… jakkoli, ale zachovávají své vztahy sousedství, blízkosti.
...Nakonec dobrý obraz variety V2 je balíček špaget, které nejprve uvaříme a pak můžeme ohýbat a kroutit všemi směry, aniž bychom změnili pořadí jednotlivých těstovin.
Nechť je jasné, že na variétě lze provést dvoulistové překrytí, které je vybaveno metrikami, naznačenými na následujícím obrázku:
Zde jsou dva dvourozměrné listy s identickými metrikami (eukleidovskými). Ale můžeme provést i toto:
...Budeme nazývat M a M* sdružené body. Skutečnost, že dva sdružené prostory jsou vytvořeny jako dvoulistové překrytí variety, znamená jednoduše, že mezi oběma listy F a F* existuje bodová korespondence, ale například vzdálenosti mezi dvojicemi odpovídajících bodů (M1,M2), (M1, M2) mohou být různé. Jedina omezení je nakonec, že okolí bodů se navzájem odpovídají a každé nesingulární oblasti jednoho listu odpovídá nesingulární oblast druhého listu.
...Znovu získáváme balíček pružných nudlí z předchozího okamžiku. Struktura „variety-skeletu“ slouží pouze k vytvoření injektivní aplikace mezi dvěma geometrickými objekty. Výkres nahoře má za úkol zcela vyjasnit otázky jako „jak jsou listy F a F* uspořádány vůči sobě? Pokud je F vesmír, kde je F*?“. Tyto listy jsou jednoduše sdružené, s bodovou korespondencí a tyto sdružené body mohou být popsány stejnými souřadnicemi.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Obsah článku Obsah vědy Úvodní stránka
Předchozí stránka Další stránka
Počet návštěv této stránky od 1. července 2004: