| 7 |
Sdružené geometrie.
...Přiřadíme tedy tupý posikón a „tupý negakón“, které obsahují stejná množství křivosti, ale opačného znaménka: + q a - q. Můžeme je postavit proti sobě (a přitom vytvořit „zobrazení bod na bod“: vzájemně jednoznačné, injektivní). Vzniknou tak dvě plochy. Nazvěme je F a F*. Každému bodu F odpovídá bod F*.
...Zařiďme, aby si obrysy kruhových „tupých částí“, nesoucích křivost (kladnou v jedné ploše, zápornou v druhé), odpovídaly bod na bod. Ilustrujeme to promítnutím všeho na rovinu. Získáme dvě plochy se sdruženými křivostmi.
...Kónické boky jsou „nekřivé“, jsou to prvky eukleidovských ploch. Řekneme, že v každém bodě těchto ploch je místní křivost nulová. Kulová úsečka a sedlo se navzájem odpovídají bod na bod. Jejich křivosti jsou opačné.
Obecná relativita.
...Výchozím bodem je myšlenka, že geometrie kosmu je určena jeho obsahem „energie-hmoty“. Všimněme si, že se používá výraz energie-hmota, a ne jen hmota, což dobře ukazuje, že každý kosmický obsah má vliv na geometrii, včetně záření, fotonů (nebo neutrin). Výše jsme viděli, že foton vytváří v prostoru mini-křivost kladnou.
...Nejprve budeme uvažovat stacionárně. Volná rovná plocha je plocha, kde je napětí nulové. Její geometrii můžeme měnit tím, že v ní vytvoříme napětí, kladná nebo záporná (znaménko je otázkou konvencí). Když například zahřeji plastovou fólii, mohu na ní vytvořit puchýř, tedy oblast s kladnou křivostí.
...Mohu také na povrch listu papíru nanést přípravek, který se při schnutí smrští. Napětí vytvoří oblast se zápornou křivostí.
...Klempíř-tvarovač umí s těmito napětími pracovat, aby deformoval plech. Vezměme například kovovou trubku. Z jedné strany zahřeji, z druhé ochladím. Co se stane?
Trubka se ohne, zahřátá část se roztáhne a ochlazená část se smrští.
...Tím jsme v kovu vytvořili napětí. To je původ slova tenzor v matematice a v geometrii. Specialista na pevnost materiálů bude mluvit o tenzoru napětí. Geometr bude mluvit o tenzoru křivosti.
Malý pokus výše ilustruje myšlenku:
Místní obsah energie -----> místní geometrie
...V obecné relativitě se postupuje stejně. Rozdíl je v tom, že tento místní obsah energie-hmoty určuje geometrii čtyřrozměrné hyperplochy, a ne jako zde geometrii dvourozměrné plochy. Ale myšlenka je podobná.
...Matematik pak použije tenzorový zápis. Pro nematematika zde nelze říci o mnoho více. Ale Einsteinův tenzor S (budeme používat tučná písmena) odpovídá geometrickému aspektu. V Einsteinově rovnici se ztotožňuje s jiným tenzorem T, který popisuje obsah energie-hmoty, až na multiplikativní konstantu, „Einsteinovu konstantu c“.
Slavná Einsteinova rovnice se tedy píše:
S = c T
...V tenzoru T vystupuje objemová hmotnost r a tlak p (ve skutečnosti je nejobecnější tenzor T složitější, ale spokojíme se s tímto obvyklým výrazem). Ve stacionární konfiguraci si tedy zadáme určité rozložení hustoty a tlaku r (x,y,z), p (x,y,z). S tím umíme sestrojit tenzor T, který tak obsahuje všechna data úlohy. Otázka pak zní: „Jaká geometrie k tomuto tenzoru T patří, aby splňovala rovnici výše?“
...Jinými slovy, fyzik, který zná místní obsah vesmíru, se snaží určit geometrii hyperplochy vesmíru.
Kdo říká geometrie, říká geodetiky. Zde vstupuje druhá hypotéza obecné relativity:
Předpokládáme, že objekty pohybující se ve vesmíru
se pohybují po geodetikách hyperplochy časoprostoru.
Objektem se rozumějí částice (tzv. elementární částice, fotony, neutrina), ale také planety, hvězdy atd....
V tomto stadiu poznámka: kde jsou v celé této věci částice?
...Odpověď: specialista na obecnou relativitu se zabývá makroskopickým. Vstupní funkce úlohy, objemová hmotnost r a tlak p, odpovídají makroskopickému popisu kosmického obsahu. Totéž platí pro „výstup“. A geometr dodá:
- Dal jste mi funkce r (x,y,z) a p (x,y,z), sestrojil jsem vám hyperplochu, která k tomu patřila, s jejími rodinami geodetik. Ale víc udělat nemohu. Zejména vám neumím vyrobit částice, atomy atd. Pro to se obraťte na jiné oddělení...
Jasně řečeno: most mezi obecnou relativitou a fyzikou částic ještě není postaven.
Ale astronom zvolá:
- Co na tom. Tato hypotéza, podle níž se fotony pohybují po určitých geodetikách této hyperplochy, funguje. Důkaz: mohu provádět pozorování. Pokud předpokládám, že planety, ztotožněné s bodovými hmotami, se rovněž pohybují po geodetikách této hyperplochy, mohu sestrojit jejich trajektorie. Jsou tu také efekty gravitační čočky....
Má pravdu.
...K těmto efektům gravitační čočky řekněme několik slov. Tento obraz tupého kužele je samozřejmě jen didaktický obraz. Planeta, která obíhá po kružnici kolem hvězdy, se také pohybuje po geodetice časoprostoru. Avšak kružnice nakreslená na tupém kuželi není geodetika:
To prostě ukazuje meze didaktických obrazů, i když jsou geometrické.
...Fotony se skutečně pohybují po geodetikách hyperplochy časoprostoru. K ilustraci lze použít tento obraz tupého kužele. Světelné paprsky mohou procházet po obou stranách hmotného objektu a poté se sbíhat k pozorovateli. Promítneme-li tyto geodetiky, získáme efekt fata morgány: pozorovatel bude mít dojem, že existují dva zdroje místo jednoho:
Obsah článku Obsah Science Domovská stránka
Předchozí stránka Další stránka
Počet návštěv této stránky od 1. července 2004: