f108

Invariance při změně souřadnic.

...To je klíčový koncept obecné relativity, který není snadné představit. Řekli jsme, že hledat „kosmologické řešení“, stacionární nebo nestacionární, znamená konstruovat čtyřrozměrnou hypersféru, která je „řešením polní rovnice“.

...Vezměme si například plechový objekt, který má topologii koule. To je „plechová koule“. I zde si lze snadno představit, že bychom tento povrch mohli deformovat zahříváním a ochlazováním na určitých místech. Například zahříváním v jednom bodě a ochlazováním v protilehlé oblasti bychom tuto kouli přeměnili ve vejce. Vejce je objekt, který má topologii koule, ale je to povrch s proměnnou křivostí.

...Zahříváním na jednom místě a ochlazováním na jiném vytvoříme v kovu napětí. Samozřejmě, protože je tento materiál vodivý, kdybychom přestali zahřívat a ochlazovat, teplota by se vyrovnala a objekt by se vrátil do kulového tvaru. Důležité je, že se nám podaří vytvořit stacionární situaci s nehomogenním teplotním polem. Toto pole vyvolává napětí a tato napětí bychom mohli zhmotnit ve formě matematického objektu T zvaného tenzor.

Něco popisuje geometrii objektu. Tomu se říká metrika. Právě z tohoto druhého matematického objektu lze:

• Vypočítat geometrický tenzor S

• Vypočítat geodetiky povrchu.

Geometrii tohoto povrchu by bylo možné vypočítat z rovnice analogické Einsteinově rovnici, ve stylu:

S = a T

kde a je konstanta. Pokud bychom a priori znali teplotní pole v plechu, tedy tenzor napětí, mohli bychom z něj odvodit jeho geometrii. Nejlepší způsob, jak tuto geometrii „číst“, by pak byl rozbor systému geodetik. Známe geodetiky koule (její „velké kružnice“). Geodetiky vejce jsou odlišné.

...K popisu těchto geodetik budeme muset definovat souřadnicový systém na povrchu. Pro kouli můžeme vzít klasický systém azimut-zenit.

...V tomto konkrétním souřadnicovém systému by geodetiky koule odpovídaly určitým rovnicím.

Na této kouli křivky q = konst. představují rodinu geodetik procházejících dvěma body. Naproti tomu křivky j = konst. (rovnoběžky) nejsou geodetikami povrchu.

...Bylo by také možné definovat analogický souřadnicový systém a napsat rovnice geodetik povrchu „vejce“. Ale hned si všimneme jedné podstatné věci: geodetiky povrchu jsou nezávislé na souřadnicích, které k jejich popisu zvolíme, stejně jako body koule nebo vejce existují nezávisle na souřadnicovém systému použitém k jejich určení.

...Stejně tak v rovině lze body znázornit v kartézských nebo polárních souřadnicích. Přímky v rovině jsou geodetiky.

Přímku lze popsat ve dvou souřadnicových systémech:

...Jde o stejnou geodetiku se dvěma zcela odlišnými popisy. Přímky v rovině existují nezávisle na způsobu, jakým je popisujeme, na volbě použitých souřadnic. A lze si jich představit... nekonečně mnoho.

...Co je tedy intrinsické? Odpověď: délka s měřená na přímce (nebo podél libovolného křivočarého obrysu). Mezi dvěma body M1 a M2 na povrchu je trajektorie minimální délky geodetika.

...Stejně tak vzdálenost oddělující dva body na geodetice objektů „koule“ nebo „vejce“ je také veličinou nezávislou na zvoleném souřadnicovém systému. Vezmeme-li dva body M1 a M2 na povrchu a nakreslíme geodetický oblouk, který je spojuje, délka s měřená podél tohoto oblouku bude stejná bez ohledu na souřadnicový systém použitý k určení bodů.

...Totéž platí pro čtyřrozměrnou hypersféru, kterou nazýváme „vesmír“. Má svůj systém geodetik, rovněž invariantních při změně souřadnic. Nežijeme v prostoru (x, y, z, t) s polohovými souřadnicemi a časovou souřadnicí, ale v čtyřrozměrné hypersféře, kterou lze zcela popsat její sítí geodetik. Na těchto geodetikách existuje délka s, která je rovněž invariantní při změně souřadnic. Body této hypersféry již nejsou body prostoru, ale body časoprostorové hypersféry. Nazýváme je události. Dvě odlišné události jsou tedy odděleny něčím, čemu říkáme s. Ale co to tedy je?

Je to vlastní čas.

...Geodetická trajektorie v této časoprostorové hypersféře odděluje dvě události M1 a M2. Vše, co mohu říci, je, že kdybych k uskutečnění této cesty v časoprostoru použil vozidlo, na mých palubních hodinách by uplynul časový úsek s.

Volba souřadnic spočívá v určení bodů časoprostoru prostorovými souřadnicemi (x, y, z) a časovou souřadnicí t. Ale protože je tato volba libovolná, tento prostor a tento čas nemají intrinsickou existenci. Jsou to jen způsoby, jak povrch „číst“, jak jej procházet. Jediné omezení: v závislosti na přijatém předpokladu se lze pohybovat pouze po geodetikách a na nich je jediná spolehlivá věc, které se lze zachytit, „uplynulý vlastní čas“ s, a nikoli tento čas t, pouhý systém chronologického značení (chronological marker).

Pro každou volbu souřadnicového systému jiný systém čtení událostí, jevů.

...Fyzici tedy hledali formalismus, který by byl nezávislý na volbě souřadnic. To je podstata tenzorového formalismu. K tomuto tématu nelze říci více, aniž bychom zabředli do poměrně složitých technických podrobností.

Problém singularit.

Na kouli zavádí volba klasických úhlových souřadnic dvě polární singularity.

Není možné zmapovat kouli, aniž bychom zavedli tento druh polárních singularit.

...Poznamenejme, že kouli lze zmapovat s jedinou singularitou. Na kouli vytvoříme první rodinu křivek (kružnic) jejím řezem rovinami, jak je naznačeno níže:

Pak druhou rodinu:

Mimo tuto jedinou singularitu žádný problém. Kdybychom se na tuto kouli podívali z druhé strany, viděli bychom toto:

...Mimo jedinou singularitu S určujeme body bez obtíží. Ale hodnoty parametrů a a b definujících tuto singularitu sítě S jsou.... libovolné...

...Přesto koule není geometricky, intrinsicky singulární. Otáčejte kulečníkovou koulí všemi směry nebo vejcem, nenajdete na něm žádný singulární bod.

Tyto singularity tedy byly vytvořeny volbou souřadnic.

Obsah článku Obsah Science Domovská stránka

Předchozí stránka Následující stránka

Zpět na Průvodce vědou Počet návštěv této stránky od 1. července 2004: