| 11 |
Možné problémy způsobené volbou souřadnicového systému.
...Budeme se zabývat riziky plynoucími z aplikování souřadnicového systému na geometrické řešení, z vyjadřování tohoto řešení v daném souřadnicovém systému: je třeba, aby tento systém byl vhodný. Když se podíváme na výše uvedené řešení, za předpokladu, že tato geometrie je řešením polové rovnice, použití souřadnicového systému (r, q) předpokládalo, že topologie je „lokálně sférická“, ve dvou dimenzích, samozřejmě. To znamená, že uvnitř jakéhokoli kružnice „se středem v tomto hypotetickém geometrickém středu“ bylo vždy možné vepsat menší kružnici, až se tato kružnice stala bodem. Matematicky bychom řekli, že každá kružnice o poloměru r vymezuje „kontraktilní buňku“.
...Ve 3D, lokálně, by vesmír byl „jako ruské matryošky“. Uvnitř sféry by bylo vždy možné vepsat sféru s menším povrchem. Ve 3D jde o lokálně sférickou topologii.
Může tomu být jinak?
Ano, pokud je topologie povrchu „lokálně toroidální“. Ve 2D to vypadá takto:
...Poznámka: Objekt na obrázku výše je povrch ve smyslu, že jsou potřeba dva parametry k určení polohy bodu na něm. V tomto smyslu je křivka „povrch o jedné dimenzi“. Když geometř mluví o kružnici, používá výraz „sféra S1“, tedy „sféra o jediné dimenzi“: stačí jediný parametr, abscisa, k určení bodu na křivce, jednorozměrném objektu. Sféra S2, „obyčejná“ sféra, a kružnice, sféra S1, mají něco společného: jsou to „uzavřené“ objekty (koncept převzatý z topologie).
...Tento počet veličin sloužících k definování polohy bodu v prostoru je přesně definicí dimenze tohoto prostoru. Tak se bude časoprostor (x,y,z,t) považovat za hypersurface o čtyřech dimenzích, protože jsou potřeba čtyři veličiny k definování bodu, nazývaného „událost“.
Konec této poznámky o konceptu dimenze.
...Je třeba si uvědomit jednu věc. Geometr, který konstruuje konkrétní řešení polové rovnice, je slepý, nemůže vidět geometrický objekt, který získává. Může ho pouze prozkoumávat prostřednictvím svých geodetik, popisujících je v konkrétním souřadnicovém systému. Polární souřadnice z předchozího textu odpovídaly průniku povrchu rodinou souosých válců:
a rodinou rovin procházejících společnou osou těchto válců.
Ve 3D by šlo o průnik prostoru rodinou soustředných sfér.
...Ale co se stane, když prořízneme povrch, který má tento druh tubulárního mostu, rodinou soustředných válců? Dokud válcové plochy protínají povrch, je vše v pořádku. Ale když jejich obvod stane menší než obvod „hrdelní kružnice“, tyto řezy se stanou ... imaginárními křivkami. Nechť p je obvod hrdelní kružnice. Přiřaďme mu délku Rg tak, že p = 2πRg.
...Je zřejmé, že žádný válec z rodiny takový, že r < Rg, neprotíná povrch. Když se geometř bude zajímat o tvar geodetik povrchu pro r < Rg, najde imaginární geometrické objekty.
...Když hledáme průnik dvou bodů s přímkou, odpovídající například x = x0, najdeme dvě reálné hodnoty pro y, když přímka skutečně protíná kružnici. V opačném případě jsou tyto hodnoty čistě imaginární.
...Pokud člověk, který prozkoumává povrch ve tmě, bez toho, aby vnímal jeho tvar, a neví, že jeho topologie je lokálně toroidální, může být velmi zmaten. Povrch lze identifikovat pomocí dvou rodin křivek:
...Každá křivka je definována parametrem. Bod M, v průniku těchto dvou křivek, je dobře definován dvěma veličinami (a,b), dvěma hodnotami křivek procházejících M.
...První rodina se skládá z kružnic, které nejsou geodetikami povrchu (kromě hrdelní kružnice), druhá se skládá z geodetik, s hyperbolickým tvarem, kolmých na tyto kružnice. Hyperbolické křivky připomínají klesající trajektorie, které umožňují přechod z jedné vrstvy na druhou. Lze samozřejmě mít stejnou situaci pro 3D prostor, lokálně hypertoroidální. Kružnice budou nahrazeny rodinou sfér, mezi nimiž najdeme hrdelní sféru, s minimálním povrchem. Linii tvořící trajektorie kolmé na tuto rodinu sfér jsou klesající trajektorie umožňující projít tímto hypertoroidálním tunelem a znovu se objevit v jiné 3D vrstvě (nebo listu).
...Tato poznámka není bezdůvodná. Budeme se k ní vracet, když budeme zkoumat model černé díry. V tomto modelu, když vstoupíme „dovnitř sféry horizontu“, hmotnost částice se stává... čistě imaginární (to a mnoho dalších věcí). Máme pak právo se ptát, zda jsme stále v hypersurface časoprostoru. Je volba konkrétního souřadnicového systému (t, r, q, j), který implikuje topologii lokálně hypersférickou (existenci radiální souřadnice r, schopné nabývat hodnot menších než poloměr sféry horizontu, Schwarzschildovy sféry), relevantní?
Známý astrofyzik napsal, před několika lety:
- Nyní víme mnohem více o vnitřku černých děr.
Ale mají černé díry, pokud existují, vnitřek, nebo odpovídají lokálně hypertoroidální topologii?
...Vidíme, co může vyvolat volba souřadnicového systému. Geometrické řešení existuje. Má geodetiky. Ale toto vše umíme „číst“ pouze projekcí do našeho mentálního prostoru reprezentace: euklidovského časoprostoru, který není ani relativistický. Vybrat souřadnicový systém znamená vybrat systém čtení, systém projekce.
...Jako postavy z Platóna, můžeme pouze pozorovat stíny na „euklidovském ekranu“. Je ještě třeba vybrat správný objektiv „systému projekce“.
...
Obsah článku Obsah Vědy Domovská stránka
Předchozí stránka Další stránka
Zpět na Průvodce Vědami Počet návštěv této stránky od 1. července 2004: