| 22 |
Geometrický kontext.
...Koule je prostor dimenze 2. K určení polohy bodu na ní jsou potřeba dva parametry. Je to prostor, který má topologii (podrobnosti o významu slova topologie viz můj komiks Topologikon, vyd. Belin). Koule nemá stejnou topologii, stejný „tvar“ jako torus. Koule má geodetiky. Lze na ni vepsat trajektorii spojující dva body M1 a M2 a změřit uraženou délku s. Tato délka je nezávislá na souřadnicích zvolených k určení polohy bodů, stejně jako geodetické křivky, které pokrývají povrch.
...Spojme střed této koule se všemi jejími body. Získáme nekonečně mnoho polopřímek. Ty lze určit stejným systémem souřadnic jako body, například dvěma úhly q a j.
Výše naše koule.
Byla do ní udělána díra, aby ukázala soubor polohových vektorů.
Nyní kouli odstraňme a ponechme pouze polohové vektory.
...Tyto polopřímky byly zkráceny, ale ve skutečnosti jsou nekonečné. Každá je definována pouze zadáním dvou parametrů, například dvou úhlů. Metrická struktura zmizela. Žádné geodetiky, žádné délky. Co zůstává?
- Každá polopřímka má okolí. Lze vybrat sousední polopřímky, aby ji sevřely do jakéhosi kužele. Uvnitř tohoto kužele lze umístit užší kužel, který polopřímku obsahuje. Jde o záležitost soustředných kružnic nebo ruských panenek, ale se svazky polopřímek. Nejde však o kreslení geodetik na těchto kuželech. Každá z jejich přímek je prostě soubor dvou parametrů, například dvou úhlů.
- Rozlišujeme intuitivní představu diferencovatelnosti. V této „textuře“ není žádná nespojitost.
Vezměme rovinný povrch s geodetiky, délkou atd...
...Ať zvolím jakýkoli systém souřadnic, vždy budu muset určit polohu svých bodů dvěma reálnými čísly (x,y), (r,q) atd...
Tato reálná čísla jsou brána z R2, tj. z množiny dvojic reálných čísel, jako (3,8705 , - 17,56). Každá dvojice bodů vzatá z tohoto prostoru dvojic reálných čísel má okolí. Je to „spojité“.
Tyto „předmetrické“ objekty se nazývají variety (matematici mají zvláštní talent vybírat slova, která pro člověka z ulice nemají žádnou evokační sílu).
...V tomto stadiu lze tedy přeskočit onen krok, který spočívá v uvažování množiny n reálných čísel (prostoru n dimenzí), aniž bychom k ní automaticky připojovali představu délky nebo geodetik.
...Je to trochu, jako bychom uvažovali povrch, jehož body by měly jediné omezení: zachovat kontakt se svými sousedy. Byl by nekonečně elastický a deformovatelný. Podle konvence, pokud znázorníme povrch jeho obrysem (ať už hranicí, nebo zdánlivým obrysem, tento „pohyblivý“ pojem variety vyvoláme prostým odstraněním obrysu:
...Tento obraz ostatně evokuje stín objektu. A stín nemá ani hmotu, ani tvar. Jeho geometrie závisí na objektu, na který se promítá.
Lze si také varietu (anglicky manifold), bez její metriky, představit jako rodinu přímek.
...Zde jsme umístili přímky, které vypadají rovnoběžně. Tyto přímky by měly být... jakkoli, a přitom si zachovat své vztahy blízkosti, sousedství.
...Koneckonců, dobrý obraz variety V2 je balík špaget, které nejprve uvaříme, poté můžeme ohýbat a kroutit všemi směry, ale bez změny uspořádání těstovin navzájem.
Každopádně na varietě lze provést operaci dvoulistého nakrytí, které opatříme metrikami, naznačenou na následujícím obrázku:
Zde dva 2d listy opatřené shodnými (eukleidovskými) metrikami. Ale lze stejně dobře udělat:
...M a M* nazveme sdruženými body. Tvzení, že oba sdružené prostory jsou zkonstruovány jako dvoulisté nakrytí variety, znamená prostě, že mezi oběma listy F a F* existuje vzájemně jednoznačná korespondence, avšak například vzdálenosti mezi dvojicemi homologních bodů (M1,M2) , (M*1, M*2) mohou být různé. Jediným omezením nakonec je, že si okolí bodů rovněž odpovídají a že každé neregulární oblasti jednoho listu odpovídá rovněž neregulární oblast.
...Nacházíme opět onen balík pružných nudlí. Struktura „variety-kostry“ je zde jen proto, aby vytvořila injektivní zobrazení mezi oběma geometrickými objekty. Výše uvedený nákres má zcela rozbít otázky typu „jak jsou listy F a F* vůči sobě uspořádány? Je-li F vesmír, kde je F*?“. Tyto listy jsou prostě sdružené, s korespondencí bod po bodu, a tyto sdružené body lze popsat stejnými souřadnicemi.
Obsah
článku Obsah
Science Domovská
stránka
Předchozí stránka Další
stránka
Počet návštěv této stránky od 1. července 2004
: