ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Πολυεδρική αναπαράσταση ενός κορυφαίου σημείου, υπολογισμός της συγκεντρωμένης καμπυλότητας.
Πολυεδρικές αναπαραστάσεις διαφόρων επιφανειών.
Μετάθεση των κορυφαίων σημείων μιας Cross cap.
Μετασχηματισμός μιας «δεξιάς» επιφάνειας Boy σε «αριστερή» επιφάνεια Boy, μέσω της επιφάνειας Steiner-Romaine.
Αντιστροφή «δεξιά-αριστερά» μιας επιφάνειας Boy.
**Jean-Pierre Petit ** **Ερευνητής στο CNRS ** 1988–1999 ---
Περίληψη:
Παρουσιάζονται ορισμένα στοιχεία που επιτρέπουν την αναπαράσταση σημείων συγκεντρωμένης καμπυλότητας: «ποσικών», «νεγακών» και τα αντίστοιχα πολυεδρικά τους: «ποσικοί» και «νεγακοί», που επιτρέπουν τη δημιουργία πολυεδρικών αναπαραστάσεων διαφόρων επιφανειών και την επανακαθορισμό της συνολικής καμπυλότητάς τους. Έτσι, η πολυεδρική αναπαράσταση της επιφάνειας Steiner-Romaine αποτελείται από τέσσερα κύβους που ενώνονται κατά μήκος των ακμών τους, γεγονός που την καθιστά πιο κατανοητή. Μια πολυεδρική αναπαράσταση της επιφάνειας Boy είχε ήδη δοθεί στο Topologicon, 1985, Εκδόσεις Belin, σελίδες 48 και 49, υπό μορφή αποκοπής, που πρέπει να κατασκευαστεί. Στη σελίδα 46 εμφανίζονταν επίσης πολυεδρικές αναπαραστάσεις του τόρου και της μπουκαλιάς Klein. Παρουσιάζονται πολυεδρικές αναπαραστάσεις της Cross-Cap. Η συνολική καμπυλότητα των διαφόρων εμφυτεύσεων του επίπεδου προβολικού στο R³: επιφάνεια Boy, Cross-Cap, επιφάνεια Steiner-Romaine, είναι 2π. Η πολυεδρική αναπαράσταση των κορυφαίων σημείων, που θεωρούνται ως σημεία συγκεντρωμένης καμπυλότητας, επιτρέπει τον υπολογισμό της με πολύ απλό τρόπο. Η Cross-Cap, η επιφάνεια Steiner-Romaine και η επιφάνεια Boy παρουσιάζονται ως «οι διάφορες όψεις» ενός μοναδικού αντικειμένου: του προβολικού επιπέδου. Εφόσον αυτό δεν είναι προφανές στην πρώτη ματιά, κατασκευάζονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί που επιτρέπουν τη μετάβαση από τη μία στην άλλη. Ξεκινώντας από τη Cross-Cap, τη μετασχηματίζουμε σε επιφάνεια Steiner-Romaine προσθέτοντας δύο επιπλέον κορυφαία σημεία (δηλαδή εφαρμόζουμε, με αυτή την κατεύθυνση, τη γενική μεταβολή «δημιουργία-κατάργηση κορυφαίων σημείων»), και στη συνέχεια μετασχηματίζουμε την επιφάνεια Steiner σε επιφάνεια Boy με σύγκλιση ζευγών κορυφαίων σημείων. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η κανονική εμφύτευση της σφαίρας μπορεί να μετασχηματιστεί στην αντίθετη εμφύτευσή της (αναστροφή της σφαίρας), δείχνουμε ότι τα δύο κορυφαία σημεία μιας Cross-Cap μπορούν να ανταλλαγούν μέσω μιας σειράς εμφυτεύσεων, ο μετασχηματισμός αυτός δείχνοντας ότι τα δύο σημεία είναι ισοδύναμα.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ:
Ο αναγνώστης θα βρει εδώ γενικά στοιχεία που εμφανίζονται επίσης στην εισαγωγή του GEOMETRICAL PHYSICS A (ορισμός των ποσικών, νεγακών κ.λπ.). Αν θέλει να παραλείψει αυτό το κεφάλαιο, μπορεί απλώς να [κάνει κλικ εδώ](#POSICOINS ΚΑΙ NEGACOINS).
Αν σχεδιάσουμε σε ένα επίπεδο ένα τρίγωνο από ευθύγραμμα τμήματα, το άθροισμα των γωνιών στις κορυφές είναι π. Αυτές οι γραμμές του επιπέδου μπορούν να προκύψουν διαφορετικά: συγκολλώντας στην επιφάνεια λωρίδες από ένα γενικό ταινία κόλλας, χωρίς να προκαλέσουμε πτυχές. Ονομάζουμε τέτοιες διαδρομές στο επίπεδο γεωδαισιακές. Μπορούμε να σχεδιάσουμε γεωδαισιακές καμπύλες σε οποιαδήποτε επιφάνεια με αυτό τον τρόπο, π.χ. στην πτέρυγα ενός αυτοκινήτου ή στο καπό του.
Σχήμα 1: Ένα τρίγωνο που θεωρείται ως σύνολο τριών γεωδαισιακών του επιπέδου
ΠΟΣΙΚΟΙ ΚΑΙ ΝΕΓΑΚΟΙ
Κάνουμε μια κοπή σε ένα επίπεδο και ενώνουμε τις δύο πλευρές, και σχεδιάζουμε ένα τρίγωνο με την ταινία κόλλας μας, αποτελούμενο από τρεις γεωδαισιακές αυτού του κώνου.
Σχήμα 2: Κατασκευή ενός ποσικών.
Αν χωρίσουμε τις δύο πλευρές της επιφάνειας κατά μήκος της προηγούμενης κοπής (σχήμα 3), θα διαπιστώσουμε εύκολα, χρησιμοποιώντας γωνιόμετρο, ότι το άθροισμα των γωνιών Α, Β και Γ είναι ίσο με π πλέον τη γωνία της κοπής α. Αυτή η απόκλιση από το ευκλείδειο άθροισμα την ονομάζουμε καμπυλότητα και λέμε ότι το τρίγωνο «περιέχει» μια συγκεκριμένη ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας α. Αυτή η απόκλιση θα είναι η ίδια για κάθε τρίγωνο, αν αυτό περιέχει την κορυφή του κώνου. Αν δεν την περιέχει, το άθροισμα θα είναι π. Θα λέμε ότι η καμπυλότητα συγκεντρώνεται στην κορυφή Μ του κώνου, η οποία είναι τότε ένα «σημείο συγκεντρωμένης καμπυλότητας». Εφόσον το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο από το ευκλείδειο άθροισμα, θα λέμε ότι αυτή η καμπυλότητα είναι θετική. Έτσι, ένα επίπεδο θα ήταν, σε αυτή την οπτική, μια επιφάνεια με μηδενική καμπυλότητα.
Σχήμα 3: Το ποσικών στραμμένο.
Η καμπυλότητα αυτή είναι προσθετική. Αν συγκολλήσετε μερικούς από αυτούς τους κώνους, αντίστοιχα γωνιών α, β, γ, μπορείτε να σχεδιάσετε διάφορα τρίγωνα από τόξα γεωδαισιακών. Αν το τρίγωνο περικλείει τρία σημεία που αντιστοιχούν σε καμπυλότητες ίσες με α, β, γ, τότε το άθροισμα των γωνιών στις κορυφές θα είναι: π + α + β + γ.
Μπορούμε να θεωρήσουμε μια επιφάνεια με θετική καμπυλότητα ως σφαίρα ως συναρμολόγηση απείρων «ποσικών». Αντί να έχουμε καμπυλότητα συγκεντρωμένη σε διάφορα σημεία, θα έχουμε καμπυλότητα ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλη την επιφάνεια. Θα λέμε ότι η σφαίρα είναι μια επιφάνεια «με σταθερή καμπυλότητα» (ή με «σταθερή πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας»).
Σχήμα 4: Ένα τρίγωνο αποτελούμενο από τρία τόξα γεωδαισιακών.
Στη σφαίρα, οι γεωδαισιακές είναι «μεγάλοι κύκλοι». Ο ισημερινός και οι μεσημβρινοί είναι μεγάλοι κύκλοι, είναι τόξα γεωδαισιακών της σφαίρας. Αλλά δεν θα καταφέρετε να δημιουργήσετε ένα παράλληλο με ταινία κόλλας. Τα παράλληλα δεν είναι γεωδαισιακές της σφαίρας. Το άθροισμα των γωνιών στις κορυφές ενός τριγώνου που σχεδιάζεται σε μια σφαίρα εξαρτάται από την αναλογία μεταξύ της επιφάνειας του τριγώνου και της επιφάνειας της σφαίρας. Το άθροισμα των γωνιών ενός πολύ μικρού τριγώνου θα είναι πολύ κοντά στο π.
Ένα τρίγωνο με επιφάνεια ένα ογδόη της επιφάνειας της σφαίρας θα είχε άθροισμα
A + B + C = 2π
Ένας μεγάλος κύκλος της σφαίρας μπορεί να θεωρηθεί ως «τρίγωνο», εφόσον τοποθετήσουμε τις τρεις κορυφές... παντού σε αυτόν τον κύκλο. Το άθροισμα A + B + C θα είναι 3π. Περιέχει το μισό της επιφάνειας της σφαίρας.
Ποια είναι η μέγιστη απόκλιση; Δεν μπορούμε να πούμε «επεκτείνουμε» το τρίγωνο πέρα από αυτόν τον μεγάλο κύκλο, εφόσον πέρα από αυτόν η μήκη των γεωδαισιακών τόξων που αποτελούν τις πλευρές του θα μειωθούν και θα τείνουν στο μηδέν.
Όταν έχουμε περικλείσει ολόκληρη την επιφάνεια της σφαίρας, παίρνουμε
A + B + C = 5π = π + 4π
Θα λέμε ότι η συνολική καμπυλότητα της σφαίρας είναι 4π.
Σχήμα 5: Άθροισμα γωνιών. Τρίγωνο από τόξα γεωδαισιακών της σφαίρας.
Η ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται σε ένα τρίγωνο αντιστοιχεί σε μια απλή τριγωνική κανόνα:
Τώρα θα δημιουργήσουμε ένα «νεγακών», εισαγάγοντας μια γωνία α σε ένα επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.
Σχήμα 6: Ένα «νεγακών»
Όταν αφαιρέσουμε το γωνιακό τμήμα, παίρνουμε το εξής:
Σχήμα 7: Το νεγακών στραμμένο.
Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι A + B + C = π - α
Θα λέμε ότι αυτή η επιφάνεια είναι ένας νεγακών με ένα σημείο συγκεντρωμένης καμπυλότητας, αρνητική. Αυτή η καμπυλότητα είναι επίσης προσθετική. Με συναρμολόγηση μιας επιφάνειας με διαδοχική ενοποίηση μικρών ποσικών και μικρών νεγακών μπορούμε να δημιουργήσουμε μια επιφάνεια όπου η τοπική τιμή της καμπυλότητας να είναι οποιαδήποτε.
Το σχήμα 7 είναι μια επιφάνεια με διανεμημένη αρνητική καμπυλότητα. Θα λέμε επίσης ότι αυτή η επιφάνεια έχει σε κάθε σημείο μια πυκνότητα καμπυλότητας (γωνιακή). Η αρνητική απόκλιση από την ευκλείδεια τιμή του αθροίσματος των γωνιών εξαρτάται επίσης από την επιφάνεια του τριγώνου. Όσο μικρότερη είναι αυτή, τόσο πιο κοντά θα είναι το άθροισμα στο π.
Σχήμα 7: Επιφάνεια με αρνητική πυκνότητα καμπυλότητας (γωνιακή).
Το σχήμα 8 δείχνει ένα παράδειγμα ενοποίησης τριών περιοχών, με πυκνότητα καμπυλότητας θετική, αρνητική και μηδενική.
Σχήμα 8: Επιφάνεια με μεταβλητή πυκνότητα καμπυλότητας. Μηδενική στη γραμμική περιοχή, θετική στη σφαιρική κοίλη, αρνητική στο συνδετικό (σκιασμένο).
Αν σχεδιάσουμε γεωδαισιακές, παίρνουμε το εξής:
Σχήμα 9: Επίπεδη προβολή, με γεωδαισιακές.
Στο επιλεγμένο παράδειγμα, η ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται στη σφαιρική κοίλη είναι ίση και αντίθετη με αυτή του συνδετικού (υποθέτουμε ότι ο εφαπτόμενος επίπεδος μεταβάλλεται συνεχώς). Μαρτυρία το σχήμα 10, παρακάτω:
Σχήμα 10: Το γεωδαισιακό τρίγωνο, σχεδιασμένο στη γραμμική περιοχή, περιέχει όλη την καμπυλότητα που περιέχει. Εφόσον το άθροισμα των τριών γωνιών είναι π, είναι εγγεγραμμένο σε μια ευκλείδεια επιφάνεια (επίπεδο). Συνεπώς, οι «συνολικές καμπυλότητες» που περιέχονται στη σφαιρική κοίλη και στο σκιασμένο συνδετικό είναι ίσες και αντίθετες.
Κάποιες επιφάνειες, όπως το κύλινδρο, φαίνονται να έχουν κάποια καμπυλότητα. Αλλά αν σχεδιάσετε σε αυτόν ένα τρίγωνο με τόξα γεωδαισιακών και στη συνέχεια το επιπλέξετε (όπως τα ποσικών και τα νεγακών, ο κύλινδρος είναι «αναπτυσσόμενος»), θα διαπιστώσετε ότι το άθροισμα είναι 180°. Ο κύλινδρος, σε αυτή την έννοια της καμπυλότητας, είναι «επίπεδος».
Σχήμα 11: Ένας κύλινδρος στον οποίο έχει σχεδιαστεί ένα γεωδαισιακό τρίγωνο, και η επίπεδη ανάπτυξή του.
Μια πτύχη δεν εισάγει κανένα αποτέλεσμα καμπυλότητας, και μπορείτε να το επαληθεύσετε επίσης με την ταινία κόλλας σας.
**Σχήμα 12: Μια γεωδαισιακή που διασχίζει μια πτύχη. Η πτύχη δεν αλλάζει την επίπεδη ανάπτυξή της: **Δεν περιέχει καμπυλότητα.
ΠΟΣΙΚΟΙ ΚΑΙ ΝΕΓΑΚΟΙ.
Τα «γωνίες» είναι σημεία συγκέντρωσης καμπυλότητας. Οι ακμές δεν περιέχουν καμπυλότητα. Τα σχήματα 6 και 7 δείχνουν πώς να δημιουργήσουμε ένα ποσικό αντίστοιχο με συγκεντρωμένη καμπυλότητα +π/2 και ένα νεγακό με συγκεντρωμένη καμπυλότητα -π/2.
Σχήμα 13: Δημιουργία ενός ποσικού +π/2
Σχήμα 14: Δημιουργία ενός ποσικού +π/4
Σχήμα 15: Δημιουργία ενός νεγακού -π/2.
Με οκτώ ποσικούς μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν κύβο, ο οποίος είναι μία από τις πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας.
Σχήμα 15: Ο κύβος, πολυεδρική αναπαράσταση της σφαίρας
**Επανακαθορίζουμε τη συνολική καμπυλότητα της σφαίρας: 4 π
Με οκτώ ποσικούς και οκτώ νεγακούς μπορούμε να δημιουργήσουμε μια πολυεδρική αναπαράσταση του τόρου και να επανακαθορίσουμε τη συνολική καμπυλότητά του: μηδέν.
Σχήμα 16: Πολυεδρική αναπαράσταση του τόρου.
ΚΟΡΥΦΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ
Η Cross-Cap είναι ένας από τους πολλαπλούς τρόπους με τους οποίους το προβολικό επίπεδο εμφανίζεται στο R³. Δεν μπορεί να εμφυτευθεί εκεί. Η Cross-Cap διαθέτει ένα σύνολο αυτο-διασταυρώσεων που παρουσιάζεται ως ευθύγραμμο τμήμα, με τα άκρα του να αντιστοιχούν σε αυτά που ονομάζονται κορυφαία σημεία.
Τα σχήματα 17, 18 και 19 δείχνουν πώς μπορεί να δημιουργηθεί ένα κορυφαίο σημείο σε περιοχές με θετική, αρνητική ή μηδενική καμπυλότητα.
Σχήμα 17: Δημιουργία ενός κορυφαίου σημείου σε περιοχή με θετική καμπυλότητα.
Σχήμα 18: Δημιουργία ενός κορυφαίου σημείου σε περιοχή με αρνητική καμπυλότητα.
Σχήμα 19: Δημιουργία ενός κορυφαίου σημείου σε περιοχή με μηδενική καμπυλότητα (κύλινδρος).
Το σχήμα 20 δείχνει μια πολυεδρική αναπαράσταση του κορυφαίου σημείου, την οποία θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια.
Σχήμα 20: Πολυεδρική αναπαράσταση ενός κορυφαίου σημείου
Η CROSS-CAP
Τα σχήματα 21a και 22b είναι δύο πολυεδρικές αναπαραστάσεις της Cross-Cap, εύκολες να κατανοηθούν.
Σχήμα 21a και 21b: Πολυεδρικές αναπαραστάσεις της Cross-Cap.
Γνωρίζουμε ότι η συνολική καμπυλότητα της Cross-Cap είναι ίση με 2π. Πώς μπορούμε να την ανακτήσουμε από μια πολυεδρική αναπαράσταση;
Το σχήμα 22 επιτρέπει τον υπολογισμό της συγκεντρωμένης καμπυλότητας σε ένα κορυφαίο σημείο όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 20.
Σχήμα 22: Συγκεντρωμένη καμπυλότητα σε ένα κορυφαίο σημείο.
Ο δρόμος που φαίνεται περιλαμβάνει έξι ορθές γωνίες. Οι διακοπές 2, 5, 7 και 10 εκτελούνται σε ακμές και δεν περιέχουν καμπυλότητα. Ο δρόμος 1-2-3 εκτελείται κατά μήκος γεωδαισιακής της επιφάνειας. Η συγκεντρωμένη καμπυλότητα σε αυτό το ειδικό κορυφαίο σημείο, όπου οι φάσεις διασταυρώνονται με ορθές γωνίες, είναι ίση με -π. Αν αναφερθούμε τώρα στο σχήμα 21a και προσθέσουμε τις καμπυλότητες, βρίσκουμε -2π. Υπάρχουν επίσης:
Δώδεκα ποσικοί +π/2
Τέσσερα νεγακοί -π/2
Δύο κορυφαία σημεία -π
Σύνολο 2π
Τα σχήματα 21a και 21b δείχνουν την ταυτότητα των δύο κορυφαίων σημείων C1 και C2.
Σχήμα 23: Συναρμολόγηση δύο πολυεδρικών Cross-Cap.
Σχήμα 24: Τελική συναρμολόγηση.
Μετά από όλα αυτά, είμαστε σε θέση να κατανοήσουμε καλά τη γεωμετρική δομή μιας Cross-Cap.
Σχήμα 25: Η Cross-Cap και η συναρμολόγηση των δύο κορυφαίων σημείων. Το κορυφαίο σημείο C1 δημιουργήθηκε σε περιοχή με τοπική (ή πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας) θετική καμπυλότητα (βλ. σχήμα 16), το C2 σε περιοχή με τοπική αρνητική καμπυλότητα (βλ. σχήμα 17).
Η ίδια, χωρίς αυτά τα λεπτομέρειες:
Σχήμα 14: Η Cross-Cap και τα δύο κορυφαία σημεία.
ΜΕΤΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΚΟΡΥΦΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ CROSS-CAP.
Υπάρχει μια συμμετρία μεταξύ αυτών των δύο σημείων, που δεν είναι αμέσως προφανής.
Παράπονο:
Για να μην κάνω μεγάλη ιστορία, έθεσα αυτό το πρόβλημα μετά τη συμμετοχή μου σε ένα συνέδριο για τη λακανική ψυχανάλυση, στην Aix-en-Provence, κατόπιν πρόσκλησης του οργανωτικού συμβουλίου. Ερωτώμενοι για το τι κάνει η λακανική ψυχανάλυση σε μια παρουσίαση γεωμετρίας. Ο Lacan, τώρα αποθανόντας, είχε διατυπώσει στο παρελθόν θεωρίες αρκετά αδιαφανείς για τη δομή του μας νου, η οποία θεωρούσε ότι οργανώνεται γύρω από ένα «μικρό α», πραγματικό «κέντρο οργάνωσης της γλώσσας». Για τον Lacan, όλα είναι γλώσσα (εξαιτίας της διάσημης φράσης του: «το σεξουαλικό πράγμα δεν υπάρχει»). Τώρα που έχει πεθάνει, τα λόγια του διασκορπίζονται λίγο. Αλλά ενώ ήταν ζωντανός, οι διαλέξεις του στην Εθνική Σχολή Καλών Τεχνών κάνανε κύκλο στο όλο Παρίσι των επιστημόνων. Οι φήμες του κινηματογράφου ήθελαν να τον δουν. Άγγιζαν για να ακούσουν τις απόρρητες του λέξεις. Μία από τις μαθήτριές του, Jeanne Granier-Deferre, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ήταν μία από τις πιστές (ο λακανισμός ήταν σχεδόν δομημένος ως μια εκκλησία με τον Lacan ως γουρού, που ακόμα και φορούσε το ίδιο ρούχο, βλ. κάποια τηλεοπτικά έγγραφα), είχε δημοσιεύσει ένα βιβλίο με τίτλο «Η τοπολογία σύμφωνα με τον Jacques Lacan» (...). Ο Lacan είχε αναζητήσει μια μονόπλευρη επιφάνεια για να μοντελοποιήσει τη γεωμετρική-γλωσσική δομή της «ψυχής» μας. Γιατί μονόπλευρη; Για να απεικονίσει αυτό που ονομάζει εναντιοσημία, το διπλό νόημα.
Η ιδέα δεν είναι καθόλου ανόητη. Μαρτυρία η διάσημη φράση του Lacan:
Ένας άνθρωπος είναι ένας άνθρωπος.
όπου τα πέντε χαρακτήρες που αποτελούν τη λέξη «άνθρωπος» δεν έχουν το ίδιο νόημα στα δύο μέρη της φράσης. Αριστερά, η λέξη «άνθρωπος» αναφέρεται στον άρρενα του είδους του ανθρώπου. Δεξιά: η λέξη αναφέρεται στα πολιτισμικά του χαρακτηριστικά (αρρενωπότητα, συμπεριφορά, κ.λπ.). Σύμφωνα με τον Lacan, η γλώσσα μας χρησιμοποιεί συνεχώς το διπλό νόημα, σε μια δυαδικότητα σημαίνον-σημαινόμενο, πράγμα που δεν είναι και τόσο ανόητο. Θα μπορούσαμε να εκτείνουμε στις ιδέες του φερμένου Jacques, αλλά θα μας οδηγούσε πολύ μακριά. Θα του αφιερώσω ένα φάκελο, που θα τον ονομάσω πιθανότατα: «JPP στον Jacques Lacan», γεμάτο με ευχάριστες αφηγήσεις. Πράγματι, ο Lacan αντέδρασε αμέσως όταν εμφανίστηκε το άρθρο μας για την αναστροφή της σφαίρας, στον Ιανουάριο του 1979 στο Pour la Science. Κάλεσε πρώτα τον τυφλό Morin, συγγραφέα, ο οποίος, ευαίσθητος στη ψυχανάλυση (και σε πολλά άλλα), τον έστειλε στα λόγια. Για περιέργεια, μετέβη στη rue de Lille, στο Παρίσι, στον Lacan, δηλαδή στο αγιοτόπο της εκκλησίας. Η αφήγηση των συναντήσεων αυτών στο μέλλον στο φάκελο.
Ότι ο Lacan επέλεξε τη μονόπλευρη για να μοντελοποιήσει τη γλώσσα, καλά. Για παράδειγμα, αν πάρετε τη λέξη «ΜΟΤ» και θεωρήσετε την εικόνα της σε κάθετο κάθετο, την εναντιομορφή της, αυτό δίνει «TOM», που δεν έχει τίποτα να κάνει. Αλλά τα πράγματα γίνονται πιο περίπλοκα με το «μικρό α» (σύμφωνα με τον Lacan, ένα «φαλλικό λεξιλόγιο»). Όλη η γλώσσα του ανθρώπου θα οργανωθεί γύρω από αυτό. Από όπου μια άλλη διάσημη φράση του Lacan:
Ο άνθρωπος δεν είναι ένας μικρός που μιλά, αλλά ένας που μιλιέται.
Σύμφωνα με τον Lacan, ο άνθρωπος δεν είναι παρά μια μηχανή παραγωγής γλώσσας, ακόμα και όταν κάνει