Μία νέα αξιωματική των ομάδων

Μια νέα αξιωματική των ομάδων **

...Ο Souriau κατοικεί σε ένα διαμέρισμα στην παλιά Αξ. Η πόρτα που βγαίνει στο δρόμο είναι υπέροχη. Στον εσωτερικό χώρο βρίσκεται σταθμευμένο ένα αρκετά περίεργο μέσο: ένας φορτηγός, παλιός, που ανήκει στην κάτοικο, μια νεαρή γυναίκα, αρχαιολόγος, νομίζω. Ο φορτηγός είναι προσκολλημένος στον τοίχο. Αρκεί να βρεθούν δύο φορείς, να βάλουμε τα δύο μακριά ξύλινα κομμάτια στα δαχτυλίδια και να καθίσουμε για να κάνουμε μια βόλτα. Οι ανοίγματα είναι γυάλινα: τα πλευρικά γυαλιά μπορούν να κατεβάσουν, όχι με έναν τροχό, αλλά με τη βοήθεια δέσμεων δέρματος, όπως συνέβαινε στα σαλόνια των σιδηροδρόμων της παιδικής μου ηλικίας.

...Πόσο όμορφο να φαντάζεσαι. Αντιλαμβάνομαι ότι δεν έχω ποτέ απολαύσει την εμπειρία ενός φορτηγού. Είμαι πεπεισμένος, σε αυτή την εποχή ανεργίας, ότι άτομα θα μπορούσαν να κερδίσουν τη ζωή τους φέρνοντας σε λειτουργία την πρώτη συνεχή γραμμή φορτηγών στην παλιά Αξ. Αρκεί να κατασκευάσει κανείς ένα μέσο που να μιμείται τα παλιά φορτηγά. Δεν πρέπει να είναι δύσκολο. Μετά, να αγοράσει δύο βαμμένα ρούχα, δύο κομψές μαλλιές και προχωράμε. Διαδρομή: ο Κόρσο Μιραμπώ. Αυτό θα ήταν αρκετό. Μετά, αρκεί να φανταστούμε, να έχουμε λίγη φαντασία.

...Ο Jean-Marie ζει μόνος του με το γάτο του, το Pioum, στο μεγάλο διαμέρισμά του, γεμάτο χρυσαφί, πανέλλη. Το Pioum είναι απολύτως ευχάριστο. Παρ' όλα αυτά, δεν έχω μεγάλη προτίμηση για γάτες. Αλλά αυτή η γάτα είναι εξαιρετικά φιλική και ευχάριστη.

Συνήθως εργαζόμαστε στην κουζίνα, ένας όροφος πιο πάνω. Μια μικρή δωμάτιο, κάτω από τη στέγη, όπου η στενότητα συγκρίνεται με το μέγεθος των δωματίων κάτω. Κάθε φορά που ο Jean-Marie προσπαθεί να με πείσει να πιω το αγαπημένο του ποτό: το Fernet-Branca, βασισμένο στο καρδάμο, που βρίσκω απλώς αποπροσανατολιστικό, αλλά το οποίο προσδίδει όλες τις ιδιότητες.

...Όταν κάνει μια βόλτα στην πόλη, παίρνει μαζί του το GPS, που δεν το αφήνει ποτέ. Είναι απολύτως εντυπωσιακό να βλέπεις να σε καθοδηγείται από δορυφόρους που βρίσκονται σε τέσσερα χιλιάδες χιλιόμετρα από το δρόμο που περνάς. Για καλύτερη λήψη, ο Souriau τείνει να περπατά στον άξονα του δρόμου, με τα μάτια του κολλημένα στην οθόνη. Είναι αποτελεσματικό, φαίνεται, αλλά όμως εξαιρετικά επικίνδυνο.

...Βρίσκω ότι τα περνάμε καλά, μαζί. Ένα βράδυ του Δεκέμβρη, πήγα να τον επισκεφτώ, και αυτό δημιούργησε την ακόλουθη συζήτηση.

• Θα σου μιλήσω για ομάδες. Θυμάσαι τα αξιώματα;

• Ναι, υπάρχουν έξι. Είναι:

1 - Υπάρχουν στοιχεία a, b, c... που ανήκουν σε ένα σύνολο E

2 - Υπάρχει μια εσωτερική πράξη, συμβολιζόμενη με o ("κύκλο"), που επιτρέπει τη σύνθεση δύο στοιχείων ενός συνόλου.

a ανήκει στο σύνολο E

b ανήκει στο σύνολο E

a o b ανήκει στο σύνολο E

3 - Αυτή η πράξη είναι προσεταιριστική:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο e, τέτοιο ώστε:

a o e = e o a = a

5 - Κάθε στοιχείο a του συνόλου διαθέτει αντίστροφο, συμβολιζόμενο με a-1, τέτοιο ώστε:

a-1 o a = a o a-1 = e

Αυτά είναι πέντε;

• Τελικά, πέντε, τέσσερα, ή ένα. Δεν υπάρχει απόλυτος κανόνας για την αρίθμηση των αξιωμάτων. Μπορούμε εξίσου καλά να συγκεντρώσουμε τα αξιώματα 1 και 2 σε ένα μόνο:

• Υπάρχουν στοιχεία a, b, c, κ.λπ., που ανήκουν σε ένα σύνολο E, εφοδιασμένο με μια εσωτερική πράξη που ικανοποιεί:

a ανήκει στο σύνολο E

b ανήκει στο σύνολο E

a o b ανήκει στο σύνολο E

Είναι ισοδύναμο.

• Καλά, πέντε, τέσσερα, δεν έχει σημασία. Πού θέλεις να φτάσεις;

• Θα καταργήσω αυτά που είχες ονομάσει αξιώματα 4 και 5, που ορίζουν το ουδέτερο στοιχείο και το αντίστροφο, αντικαθιστώντας τα με το αξίωμα του σαντουίτσ. Συνολικά, τα αξιώματα είναι:

1 - Υπάρχουν στοιχεία a, b, c... που ανήκουν σε ένα σύνολο E

2 - Υπάρχει μια εσωτερική πράξη, συμβολιζόμενη με o ("κύκλο"), που επιτρέπει τη σύνθεση δύο στοιχείων ενός συνόλου.

a ανήκει στο σύνολο E

b ανήκει στο σύνολο E

a o b ανήκει στο σύνολο E

3 - Αυτή η πράξη είναι προσεταιριστική:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Έστω τρία στοιχεία a, b, c, που ανήκουν στο σύνολο E.

Έστω η εξίσωση:

a o y o b = c

Η εξίσωση διαθέτει μοναδική λύση.

Αυτό που το ονομάζω αξίωμα του σαντουίτσ, όπου το "κρέας" y είναι φράγμενο μεταξύ των στοιχείων a και b, ενώ το c είναι η ολόκληρη συνδυασμένη μορφή. Το αξίωμα σημαίνει:

Πάντα μπορούμε να βγάλουμε το κρέας από ένα σαντουίτσ.
*

Και λέω ότι αυτά τα αξιώματα ορίζουν τις ομάδες, είναι ισοδύναμα με τα προηγούμενα.

• Η μοναδική λύση y ανήκει στο σύνολο E, καθώς η πράξη είναι εσωτερική και προσεταιριστική.

• Φυσικά, αυτό είναι φυσικό.

• Αλλά είναι ακόμη καλύτερο να το πούμε. Δεν ξέρω πώς θα το κάνεις για να ανακαλύψεις τα δύο αξιώματα που αναφέρονται στο ουδέτερο στοιχείο και στην ύπαρξη του αντιστρόφου, αλλά τουλάχιστον καταλαβαίνω πώς έφτασες σ' αυτή τη σκέψη.

• Σκέφτηκα "γιατί χρειάζεται αυτό;"

• Ακριβώς. Γιατί χρειάζεται να διαθέτεις ένα ουδέτερο στοιχείο; Με αυτό τον τρόπο σημαίνει "αν έχω ένα σύνολο E και ένα ουδέτερο στοιχείο, μπορώ να συνθέσω όλα τα στοιχεία αυτού του συνόλου με αυτό και να πάρω το ίδιο αποτέλεσμα". Μου φαίνεται απολύτως ανέφικτο. Το ίδιο για το αντίστροφο; Όταν κάνουμε υπολογισμούς στις ομάδες, σε ένα πράγμα οποιοδήποτε, πάντα τα καταφέρνουμε, με πολλαπλασιασμούς δεξιά ή αριστερά με στοιχεία ή τα αντίστροφά τους για να εμφανίσουμε a o a-1 ή a-1 o a, που αντικαθιστούνται με e, και μετά b o e ή e o b, που αντικαθιστούνται με b. Το αξίωμά σου του σαντουίτσ είναι "λειτουργικό".

• Αν θέλεις. Προχωράμε στα θεωρήματα που προκύπτουν από το αξίωμα του σαντουίτσ. Το πρώτο είναι:

I - Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο που, συνθέτοντας με τον εαυτό του, δίνει τον εαυτό του:

e = e o e

II - Αυτό το ουδέτερο στοιχείο είναι μοναδικό.

Απόδειξη:

Ξεκινώντας από το αξίωμα του σαντουίτσ. Η εξίσωση

a o y o b = c

έχει μοναδική λύση y.

Αυτό ισχύει και αν b = c = a, άρα

a o y o a = a

έχει μοναδική λύση. Πολλαπλασιάζουμε δεξιά με y:

a o y o a o y = a o y

Ονομάζουμε a o y = e

...Είναι ένα στοιχείο του συνόλου, καθώς τα a και y ανήκουν στο σύνολο και η πράξη είναι εσωτερική. Άρα υπάρχει ένα στοιχείο του συνόλου τέτοιο ώστε:

e o e = e

...Το θεώρημα I αποδείχθηκε. Προχωράμε στη μοναδικότητα, στο θεώρημα II. Αν δεν υπήρχε μοναδικότητα, θα υπήρχε ένα άλλο στοιχείο του συνόλου, ονομάστε το f, που θα ικανοποιούσε:

f o f = f

Έχουμε:

e o e = e

Πολλαπλασιάζουμε δεξιά με f:

e o e o f = e o f

Ξανα-πολλαπλασιάζουμε δεξιά με e:

e o e o f o e = e o f o e

Χρησιμοποιούμε την προσεταιριστικότητα:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Αυτά είναι δύο σαντουίτσ. Ονομάζουμε τα:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Σύμφωνα με το αξίωμα του σαντουίτσ, μπορούμε να "βγάλουμε το κρέας", δηλαδή να υπολογίσουμε τις εκφράσεις ( e o f ) και f, οι οποίες θα είναι ίσες, καθώς p = q. Άρα:

( e o f ) = f

...Ξανακάνουμε από την πρόταση που αναφέρεται στο δεύτερο στοιχείο f:

f o f = f

...Πολλαπλασιάζουμε δεξιά με e, δύο φορές αριστερά:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Χρησιμοποιούμε την προσεταιριστικότητα:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Χρησιμοποιώντας για δεύτερη φορά το αξίωμα του σαντουίτσ, συμπεραίνουμε ότι:

e o f = e

Άρα:

e = f

Θεώρημα III: Αν πάρω αυτό το στοιχείο e "ίδιο με το τετράγωνό του", τότε προκύπτει ότι

a o e = a

Απόδειξη:

Χρησιμοποιούμε πάντα το αξίωμα του σαντουίτσ. Ξεκινάμε από τον ορισμό του e:

e o e = e

Πολλαπλασιάζουμε δεξιά σειρά με a και με e:

e o e o a o e = e o a o e

Εφαρμόζουμε την προσεταιριστικότητα.

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Άρα:

e o a = a

Ξανα-ξεκινώντας από:

e o e = e

και πολλαπλασιάζοντας αριστερά σειρά με a και e:

e o a o e o e = e o a o e

και εφαρμόζοντας την προσεταιριστικότητα.

e o ( a o e ) o e = e o a o e

άρα:

a o e = a

Το θεώρημα III αποδείχθηκε.

Προχωράμε στο θεώρημα IV

(ύπαρξη αντιστρόφου, συμβολιζόμενη με a-1).

Δήλωση: Έστω ένα στοιχείο του συνόλου. Υπάρχει ένα και μόνο ένα στοιχείο, λύση της εξίσωσης:

a o y o a = a

Θα ονομάσουμε αυτό το στοιχείο a-1 και θα το ονομάσουμε αντίστροφο του a. Αυτό το στοιχείο ικανοποιεί τις ιδιότητες:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

Απόδειξη.

Η ύπαρξη και μοναδικότητα αυτού του στοιχείου είναι απλή συνέπεια του αξιώματος του σαντουίτσ, όταν διατυπώνεται έτσι:

Όταν τα κομμάτια ψωμιού είναι ίδια μεταξύ τους και ίδια με το σαντουίτσ, τότε το κρέας είναι το αντίστροφο του κομματιού ψωμιού (ή του σαντουίτσ).

a o y o a = a

Μπορούμε να εφαρμόσουμε την προσεταιριστικότητα με δύο τρόπους:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Επειδή γνωρίζουμε ότι:

e o a = a

a o e = a

Άρα η λύση y ικανοποιεί:

a o y = e

y o a = e

Αποδεικνύουμε ότι αυτή η λύση είναι μοναδική. Αν δεν ήταν, θα υπήρχε άλλη:

a o z = e

z o a = e

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση αριστερά με y.

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

αλλά y o a = e, άρα:

z = y

Ονομάζουμε αυτή τη λύση a-1, λύση της μοναδικής εξίσωσης:

a o a-1 o a = a

Έτσι ο νέος συνολικός συνολικός ορισμός οδηγεί στις ίδιες ιδιότητες που, κατά τη συνηθισμένη αξιωματική, ορίζουν τις ομάδες.

Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε τις ομάδες με αυτό το νέο σύνολο αξιωμάτων:

Ορισμός μιας ομάδας.

1 - Υπάρχουν στοιχεία a, b, c... που ανήκουν σε ένα σύνολο E

2 - Υπάρχει μια εσωτερική πράξη, συμβολιζόμενη με o ("κύκλο"), που επιτρέπει τη σύνθεση δύο στοιχείων ενός συνόλου.

a ανήκει στο σύνολο E

b ανήκει στο σύνολο E

a o b ανήκει στο σύνολο E

3 - Αυτή η πράξη είναι προσεταιριστική:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Έστω τρία στοιχεία a, b, c, που ανήκουν στο σύνολο E.

Έστω η εξίσωση:

a o y o b = c

Η εξίσωση διαθέτει μοναδική λύση.

Αν τα στοιχεία του συνόλου E, εφοδιασμένα με την εσωτερική πράξη σύνθεσης, ικανοποιούν αυτά τα τέσσερα αξιώματα, λέω ότι σχηματίζουν μια ομάδα.

Θεώρημα: Το ουδέτερο στοιχείο είναι το ίδιο το αντίστροφό του. Αυτός ο νέος ορισμός του ουδέτερου στοιχείου, με μία μόνο εξίσωση, προκαλεί μια διαφορετική απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

e o e = e

Αυτός είναι ο ορισμός του συγκεκριμένου στοιχείου e. Όμως το αξίωμα του σαντουίτσ κάνει να αυτή η εξίσωση ταυτίζεται με την ιδιότητα (και όχι τον ορισμό) του αντιστρόφου.

Άλλο θεώρημα: Το αντίστροφο του αντιστρόφου είναι ίσο με το ίδιο το στοιχείο:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

Το a είναι το αντίστροφο του a-1. Από όπου προκύπτει η ιδιότητα.

Αποδεικνύουμε ότι:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

Υπολογίζουμε:

a o b o b-1 o a-1 και b-1 o a-1 o a o b

Αποδεικνύουμε ότι αυτές οι δύο ποσότητες είναι ίσες με e.

a o ( b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

Το ίδιο για την άλλη έκφραση.

• Αυτή είναι μια διαφορετική προσέγγιση της έννοιας της ομάδας.

• Η οντολογία των ομάδων.

• Αν θέλεις.

• Αλλά κάτι μου λέει ότι αυτό το πράγμα θα αποδειχθεί γονιμό.

• Τώρα, ξεχάστε όλα, ακόμη και το αξίωμα του σαντουίτσ. Θεωρήστε ένα σύνολο E εφοδιασμένο με μια εσωτερική πράξη o, προσεταιριστική. Υποθέστε ότι σε αυτό το σύνολο υπάρχει ένα στοιχείο που, συνθέτοντας με όλα τα άλλα, δρα ως ουδέτερο στοιχείο:

a o e = e o a = a - Είναι μοναδικό;

• Αν υπάρχει, είναι απαραίτητα μοναδικό, αυτό αποδεικνύεται.

• Ναι, αλήθεια...

• Θα πω ότι δύο στοιχεία a και b είναι συνδεδεμένα με μια σχέση αντιστροφής αν

a o b = b o a = e

Αν δώσουμε a, τότε b είναι το αντίστροφό του. Λέω ότι αν περιορίσω το σύνολο στο υποσύνολο των στοιχείων που διαθέτουν αντίστροφο, αυτό το υποσύνολο σχηματίζει μια ομάδα. Αυτός είναι ένας τρόπος να κατασκευάσουμε ομάδες. Δηλαδή, επιλέγουμε από το σύνολο τα στοιχεία που ικανοποιούν αυτή την ιδιότητα και λέω ότι αυτό αρκεί για να δηλώσουμε ότι αυτό το υποσύνολο σχηματίζει μια ομάδα.

Πρέπει να αποδείξουμε ότι αυτή η ιδιότητα είναι εσωτερική.

• Τι εννοείς;

• Έστω δύο στοιχεία a και a' που ικανοποιούν την ιδιότητα, δηλαδή:

a o b = b o a = e

a' o b' = **b