Μια εμβύθιση μιας επιφάνειας στο R³ είναι μια αναπαράσταση όπου το εφαπτόμενο επίπεδο είναι συνεχές και δεν υπάρχει κανένα σύνολο αυτοτομής. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ:
Μια εμβύθιση μιας επιφάνειας στο R³ είναι μια αναπαράσταση όπου το εφαπτόμενο επίπεδο είναι συνεχές και δεν υπάρχει κανένα σύνολο αυτοτομής. Η σφαίρα και ο τόρος μπορούν να εμβυθιστούν στο R³.
Μια εμφύτευση μιας επιφάνειας στο R³ έχει επίσης συνεχές εφαπτόμενο επίπεδο, αλλά υπάρχει παρουσία συνόλου αυτοτομής. Παραδείγματα: επιφάνεια του Μποϊ, μπουκάλι του Κλάιν.
Μπορούμε πάντα να μετατρέψουμε μια εμβύθιση σε εμφύτευση. Πάρτε μια σφαίρα και φέρτε δύο σημεία, για παράδειγμα αντιποδικά («πόλους»), σε επαφή μεταξύ τους, στο εσωτερικό. Σε αυτό το «ασώματο» κόσμο των εμφυτεύσεων, οι επιφάνειες μπορούν να διατρέχουν τον εαυτό τους. Τότε δημιουργείται μια καμπύλη αυτοτομής (εδώ, ένας κύκλος).
Αλλά το αντίστροφο δεν είναι αυτόματα δυνατό. Έτσι, το επίπεδο προβολής δεν μπορεί να εμβυθιστεί στο R³· μπορεί μόνο να εμφυτευτεί. Η κλασική μορφή αυτής της εμφύτευσης είναι η επιφάνεια του Μποϊ, η οποία έχει ένα σύνολο αυτοτομής σχήματος τριπλής ελίκας, με ένα τριπλό σημείο (όπου τρεις φάσματα τέμνονται). Δείτε τις εικόνες 29a και 29b. Το ίδιο συμβαίνει με το μπουκάλι του Κλάιν, το οποίο έχει ελάχιστη αυτοτομή μια κλειστή καμπύλη. Δείτε το Topologicon, σελίδα 46. Οι εμβυθίσεις μπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις εμφυτεύσεων, όπου το σύνολο αυτοτομής είναι κενό. Οι αναπαραστάσεις όπου εμφανίζονται σημεία κορυφής δεν είναι εμφυτεύσεις, επειδή, ως προς τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου, αυτά τα σημεία είναι ιδιαίτερα. Ονομάστε αυτές τις αναπαραστάσεις κόψεις αντικειμένων στο R³. Μια κόψη μιας επιφάνειας στο R³ μπορεί να παρουσιαστεί ως μια εμφύτευση «σχεδόν παντού», δηλαδή με συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου, εκτός από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων. Αλλά αυτή δεν είναι μια αρκετά ακριβής οριοθέτηση, επειδή υπάρχουν πολλές τρόποι για να εισαχθεί ασυνέχεια στο εφαπτόμενο επίπεδο. Θα επανέλθουμε σε αυτή την ερώτηση των ασυνεχειών πιο κάτω.
Οι επιφάνειες, και γενικότερα τα γεωμετρικά αντικείμενα: σημείο, ευθεία, κλειστή καμπύλη, «καμπύλη με άκρα» (τμήμα ή «μπάλα b1»), δίσκος κ.λπ., είναι σαν τα αντικείμενα μιας γλώσσας. Έχουμε παίξει ευρέως με όλα αυτά τα στοιχεία στο Topologicon (βλέπε cd-Lanturlu), «λέξεις» ή «γράμματα» με τα οποία μπορούμε να κάνουμε λέξεις, στη συνέχεια προτάσεις, ανάλογα με μια σύνταξη. Τα αντικείμενα αυτά τα ονομάζουμε κατασκευές.
Υπάρχουν μετασχηματισμοί που είναι πραγματικοί γεωμετρικοί τελεστές. Στο άρθρο περιγράψαμε τη διαδικασία δημιουργίας-καταστροφής σημείων κορυφής. Λεπτομεροποιήστε τη.
Ένα βασικό αντικείμενο είναι αυτό που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «κύλινδρος γάμα».
Έχει μια γραμμή αυτοτομής, από την οποία, συρρικνώνοντας τον σωληνοειδή διάβασμα από την κορυφή, θα δημιουργήσουμε δύο σημεία κορυφής.
Ξεκινάμε τη διαδικασία συρρίκνωσης: 
Η τομή της επιφάνειας είναι πάντα «γάμα», αλλά αντιστοιχεί σε μια διάβαση που συρρικνώνεται. Η ανάλυση του γειτονικού ενός ιδιαίτερου σημείου είναι πάντα μια δύσκολη διαδικασία. Υπάρχουν πολλά διαφορετικά σχέδια, αντίστοιχα σε διαφορετικά είδη ιδιαιτερότητας.
Το σημείο G αντιστοιχεί στη συγκέντρωση δύο σημείων κορυφής. Οι αγγλόφωνοι ονομάζουν όλες τις ιδιαιτερότητες «κορυφές» (cusps). Μετάφραση (λεξικό): κέρας, κορυφή. Αλλά η κορυφή ενός κέρατος είναι ένα κωνικό σημείο. Larousse: κορυφή: οξύ και μακρύ σημείο, από τη λατινική cuspida: άκρη. Η ιδιαιτερότητα που προκύπτει από τη συγκέντρωση μπορεί να πάρει άλλες μορφές, για παράδειγμα: 
Η διατομή είναι η ίδια: αυτό το «V» ανάποδα, αλλά δεν πρόκειται για το ίδιο αντικείμενο ούτε για την ίδια ιδιαιτερότητα. Παρ’ όλα αυτά, μπορούμε να περάσουμε από μία από αυτές τις εικόνες σε:
Όπου έχουμε δύο σημεία κορυφής C1 και C2. Η διατομή άλλαξε (αναπαριστάται δεξιά με, πάνω από την εικόνα, το επίπεδο της τομής).
Αυτή είναι η μεταβολή «C».
Λεπτομέρεια: 
Εξήγησα σε ένα φίλο, από τηλέφωνο, τι είναι ένα σημείο κορυφής.
-
Φαντάσου ότι κάθεσαι πάνω σε ένα άλογο. Απότομα, με τα πόδια σου, το συρρικνώνεις, με τέτοιο τρόπο ώστε να φέρεις τα δύο πόδια-τμήματα σε επαφή. Η επιφάνεια-άλογο αλλάζει. Το δεξί πίσω μέρος συνδέεται με το αριστερό μέρος του ώμου και το αριστερό πίσω μέρος με το δεξί μέρος του ώμου.
-
Αλλά πού είναι το σημείο κορυφής;
-
Είσαι καθισμένος πάνω του.
Το φαινόμενο αλλαγής σύνδεσης φασμάτων ονομάζεται χειρουργική επέμβαση. Η διαδικασία που περιγράφεται παρακάτω είναι η δημιουργία ενός σημείου κορυφής από έναν παραβολικό κύλινδρο (το «άλογο» της προηγούμενης φοράς):
Μετά τη «συρρίκνωση του αλόγου»: 
Στην κορυφή, το σημείο κορυφής.
Το σημείο κορυφής που προκύπτει από τη συρρίκνωση μιας επιφάνειας κατά μήκος ενός τμήματος και αλλαγή της σύνδεσης των φασμάτων (μια χειρουργική επέμβαση) μας επιτρέπει να κατανοήσουμε πώς μπορούμε να μετατρέψουμε μια σφαίρα σε Cross-Cap (στα γαλλικά «sphère à bonnet croisé») πιέζοντας μια σφαίρα με ένα κούρδισμα. 
Το κούρδισμα γίνεται έτσι το απλούστερο εργαλείο για να μετατρέψουμε μια σφαίρα σε μια μονόπλευρη επιφάνεια.
Παρακάτω, η Cross-cap:
Μια μικρή αποσύνθεση: πώς να «δικτυωθεί» μια Cross-cap; Μπορούμε να ξεκινήσουμε από μια από τις πολυεδρικές της αναπαραστάσεις:
Από την οποία μπορούμε να συνάγουμε το δικτύωμα γύρω από ένα σημείο κορυφής:
Σημαίνει ότι μια κίνηση με κούρδισμα μετατρέπει αυτόματα μια διπλή επιφάνεια σε μονόπλευρη; Όχι, δείτε το σχέδιο παρακάτω: 
Εδώ, έχουμε πιεσμένη μια σφαίρα μεταξύ δύο κανόνων. Αυτό παραμένει μια διπλή επιφάνεια. Βάψτε τη, θα δείτε. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε δύο χρώματα (για τη Cross-cap δεν θα μπορούσατε, επειδή είναι μονόπλευρη):
Μια άλλη θέα: 
Έτσι διαμορφωμένη, η σφαίρα μας δείχνει το μισό του εξωτερικού της και το μισό του εσωτερικού της. Αν έχετε δυσκολία να δείτε αυτό το αντικείμενο, εδώ είναι μια πολυεδρική αναπαράστασή του:
Όταν συναντάμε τέτοιες πολυεδρικές αναπαραστάσεις, θα μας καλέσει να εφαρμόσουμε τη διάσπαση σε «συ contractions» (βλέπε το Topologicon, στο cd-Lanturlu) για να προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τη χαρακτηριστική Euler-Poincaré. Οι πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας (ένα απλό κύβο) ή του τόρου επιτρέπουν τον υπολογισμό της χαρακτηριστικής. Δύο για την πρώτη και μηδέν για τη δεύτερη. Στο βιβλίο, σελίδα 47, βρήκαμε το σχέδιο συναρμολόγησης ενός «Boy-Cube» όπου αναπαριστάνονται άκρες. Με την ευκαιρία, μπορείτε να κατασκευάσετε αυτό το αντικείμενο με «προφίλ με τετραγωνική διατομή Reynolds», σε ελαφρύ κράμα, που χρησιμοποιείται για να φτιάξετε βιβλιοθήκες. Κόβετε τους τετραγωνικούς σωλήνες με την αποκοπή, όσο το δυνατόν πιο καθαρά, και τους συναρμολογείτε με πλαστικά εξαρτήματα. Προβλέψτε ένα αντικείμενο 80 cm πλάτους. Είναι πολύ όμορφο. Σελίδα επόμενη, μια κοπή για τη συναρμολόγηση του αντικειμένου. Στη σελίδα 47 χρησιμοποίησα το αντικείμενο για να υπολογίσω τη χαρακτηριστική του Boy: 28 κορυφές, 43 άκρες, 16 πλευρές:
28 - 43 + 16 = 1
Αλλά σε αυτό το αντικείμενο, παρατηρείτε μια σημαντική πράξη: το σύνολο αυτοτομής είναι «απουσία». Το πολυεδρικό μοντέλο της Crosscap που φαίνεται παραπάνω δεν είναι κατάλληλο για αυτή τη διάσπαση σε σημεία, άκρες, πλευρές, με μέτρηση. Το ίδιο συμβαίνει με τη ρωμαϊκή επιφάνεια του Στάινερ. Διαθέτουν σημεία κορυφής (pinch points στα αγγλικά, «σημεία πίεσης»), και επειδή το σύνολο αυτοτομής αποτελεί μέρος της πολυεδρικής αναπαράστασης, είναι μόνο αντικείμενα διδακτικής αξίας. Το αντικείμενο παραπάνω είναι «δύο πρίσματα με τετραγωνική βάση συνδεδεμένα κατά μήκος μιας άκρης». Όπως και η πολυεδρική έκδοση του Στάινερ (βλέπε παραπάνω) είναι «τέσσερα κύβα συνδεδεμένα από τις άκρες».
Αν αναφερθούμε στο άρθρο μας του 1979 «Το αντιστροφή της σφαίρας», Bernard Morin και Jean-Pierre Petit, Pour la Science 1979 (και δύο παρατηρήσεις στα Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, παρουσιασμένες από τον Lichnerowicz, την ίδια εποχή), βρίσκουμε μια κατάταξη των εμβυθίσεων και εμφυτεύσεων της σφαίρας και του τόρου.
Αναφέρεται ένας βασικός θεώρημα, δεδομένος από τον αμερικανό μαθηματικό Steven Smale (μετάλλιο Field):
Υπάρχει μόνο μία κλάση εμφυτεύσεων της σφαίρας S² στο R³.
Οι εμβυθίσεις της σφαίρας S² είναι φυσικά ειδικές περιπτώσεις εμφυτεύσεων (χωρίς σύνολο αυτοτομής).
Η σφαίρα είναι διπλή: διακρίνουμε μεταξύ «της τυπικής εμβύθισης της σφαίρας» και της «αντιποδικής εμβύθισης της σφαίρας» (η ίδια, αλλά αντεστραμμένη προς τα δύο μέρη). Το θεώρημα του Smale, καθαρά «φορμαλιστικό», υποδείκνυε ότι μπορούμε να περάσουμε από τη σφαίρα στη «αντεστραμμένη σφαίρα» μέσω μιας συνεχούς ακολουθίας εμφυτεύσεων. Ο Smale ήταν βέβαιος για το θεώρημά του, για την απόδειξή του, αλλά λείπει η γραφική εικόνα, μια κατασκευή.
Ο Anthony Phillips, το 1967, ήταν ο πρώτος που κατασκεύασε αυτή τη μετασχηματισμό (υπάρχουν άπειρες δυνατές κατασκευές, δηλαδή δρόμοι, συνεχείς ακολουθίες εμφυτεύσεων που οδηγούν από την τυπική σφαίρα στην αντιποδική εμβύθισή της). Ο Morin, ένας γάλλος μαθηματικός, τυφλός από την ηλικία πέντε ετών