f5101 Μια αναλυτική παράσταση της επιφάνειας του Μποϊ J.P. Πετί και J. Σουριό .
**...**Παρακάτω αναπαράγεται μια σημείωση προς τα Αποτελέσματα της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού, υπογεγραμμένη από το J.P. Πετί και το J. Σουριό, που έχει ημερομηνία 1981.
**...**Αυτή η εργασία έχει μια ιστορία. Μέχρι να εκδοθεί το βιβλίο μου «Τοπολογικόν», από τις Εκδόσεις Μπελίν, στη σειρά των «Περιπέτειας του Ανσέλμ Λαντούρλου», το 1985, οι παραστάσεις της επιφάνειας του Μποϊ σε ειδικά βιβλία ήταν σχεδόν απαραίτητες. Βρίσκαμε εδώ και εκεί φωτογραφίες μοντέλων που είχαν κατασκευαστεί είτε από γύψο, είτε από σίδερο για πουλιά. Ο Χάρλς Πουχ, από το τμήμα μαθηματικών του πανεπιστημίου του Μπέρκλεϋ, είναι ο αναγνωρισμένος κορυφαίος στον κόσμο για το σίδερο για πουλιά. Ακριβώς με αυτό το υλικό είχε κερδίσει ένα σημαντικό χρηματικό βραβείο, κατασκευάζοντας μακέτες που περιγράφουν την αναστροφή της σφαίρας σύμφωνα με τον Μπερνάρ Μορίν, μακέτες που στη συνέχεια διαγράφηκαν από το Νέλσον Μαξ για να μετατραπούν σε ταινία που ταξιδεύει σε όλα τα τμήματα μαθηματικών στον κόσμο.
**...**Όμως βρίσκω ότι το σίδερο για πουλιά είναι ένα υλικό πολύ απλό, ιδίως για τέτοια υψηλής ποιότητας επιστημονικά θέματα. Μετά από γνωριμία με έναν γλυπτή του ονόματι Μαξ Σαύζ, αρχικά εξοικείωσα με την τεχνική του χαλκού σύρματος, τόσο εύκαμπτο όσο και σκληρό, που ο Μαξ συγκόλλησε με έμπειρη χειρονομία, προσπαθώντας να το θερμάνει όσο το δυνατό λιγότερο, για να μην δημιουργηθούν παράσιτες τάσεις στο υλικό.
**...**Ο φίλος μου Τζακ Μπουλιέ, γνωστός ως Βασσέλιν, ήταν τότε καθηγητής στα Καλά Έργα του Αξ-εν-Προβένς. Μία χρονιά μου πρότεινε να αντικαταστήσω έναν από τους καθηγητές του, που είχε φύγει στο εξωτερικό, και το έκανα, διδάσκοντας μεμονωμένα με το Σαύζ. Ενώ εγώ εφεύρα τα αντικείμενα, ο Μαξ τα συγκόλλησε. Οι φοιτητές μας, γύρω από μας, ενδιαφέρονταν, προσπαθώντας να μιμηθούν τη δουλειά μας όσο καλύτερα μπορούσαν. Εκείνη τη χρονιά αυτό το τμήμα των Καλών Έργων στο Αξ-εν-Προβένς είχε γίνει μια είδους βιομηχανία παραγωγής σειράς μαθηματικών επιφανειών.
**...**Αν θέλετε να το δοκιμάσετε, δεν είναι δύσκολο. Χρειάζεστε ένα ρολό σύρματος χαλκού, περίπου 1,5 χιλιοστών διαμέτρου, μέγιστο δύο, και μια κοπτική πλάκα. Με αυτά μπορείτε να αποτυπώσετε τις δύο οικογένειες καμπύλων που σχηματίζουν οποιαδήποτε επιφάνεια.
**...**Το πρόβλημα είναι να μορφοποιήσετε σωστά τα αντικείμενα. Για να το κάνετε αυτό, είναι χρήσιμο να μπορείτε να γλιστρήσετε τα σημεία σύνδεσης, εκεί όπου οι «μερίδιοι» και οι «παράλληλοι» τέμνονται. Μια καλή λύση είναι απλώς να δέσετε τα δύο μεταλλικά σύρματα με νήμα ράψιμου. Είναι αρκετά σφιχτό για να δώσει στο αντικείμενο σταθερότητα, αλλά αρκετά λείο για να επιτρέψει παραμορφώσεις και ρυθμίσεις.
**...**Μόνο όταν νομίζετε ότι το αντικείμενο είναι μαθηματικά σύμφωνο με τις επιθυμίες σας, μπορείτε να το παραδώσετε σε κάποιον που ξέρει να χειρίζεται την αργυρή συγκόλληση με έμπειρη χειρονομία και ξέρει να συγκολλά χωρίς να θερμαίνει τα σύρματα, κάτι που ο Μαξ ήξερε να κάνει με επαγγελματική τέχνη.
**...**Μία μέρα φέρα σε ένα πρωτότυπο επιφάνειας του Μποϊ, αφού είχα ανακαλύψει πώς οι μερίδιοι και οι παράλληλοι έπρεπε να τοποθετηθούν. Φαινόταν ότι μπορούσες να διαμορφώσεις τους μερίδιους ώστε να μοιάζουν ακριβώς με μια οικογένεια ελλείψεων.
**...**Ο Μαξ αντιγράφηκε προσεκτικά το αντικείμενο. Τότε πήγα στον Σουριό. Ο γιος του (που δεν είχε ποτέ την υπομονή να τελειώσει το πτυχίο της φυσικής) έπαιζε με το Apple II του πατέρα του. Του είπα:
-
Ζερόμ, θα ήθελες να έχεις μια δημοσίευση στα καθαρά μαθηματικά με το όνομά σου;
-
Τι να πω, γιατί όχι; Πρέπει να σκοτώσω κάποιον γι' αυτό;
-
Κανέναν. Δες αυτό το αντικείμενο. Πάρε ένα γωνιόμετρο, μέτρησε αυτές τις ελλείψεις και προσπάθησε να μας δημιουργήσεις μια ημι-εμπειρική παράσταση αυτής της επιφάνειας.
-
Μπορούμε να το δοκιμάσουμε, δώσε...
**...**Δύο μέρες αργότερα, το είχε κάνει. Το άρθρο αποδέχτηκε γρήγορα στα Αποτελέσματα της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού και δημοσιεύτηκε με τα δύο μας ονόματα: J.P. Πετί και J. Σουριό.
**...**Αλλά επειδή ο πατέρας λέγεται Ζαν-Μαρί και ο γιος Ζερόμ, όλοι οι μαθηματικοί πεπεισμένοι ότι αυτή η εργασία την έκαναν μαζί, ο Σουριό πατέρας και εγώ.
**...**Η σχεδίαση της επιφάνειας σε υπολογιστή, με τη βοήθεια ενός μικρού προγράμματος BASIC από λίγες γραμμές, έκανε μεγάλη εντύπωση σε πολλούς μαθηματικούς, που περίμεναν κάτι πολύ πιο περίπλοκο. Η υπόθεση είχε αρνητικές συνέπειες. Ο μαθηματικός Μπερνάρ Μορίν είχε έναν φοιτητή διδακτορικού, τον Απέρυ, γιο του Απέρυ-πατέρα, συγγραφέα του ανεκτίμητου θεωρήματος ότι το άθροισμα των κύβων ακεραίων αριθμών είναι ένας άρρητος αριθμός. Μεταξύ άλλων...
**...**Το άγνωσα. Η πρόοδός μας έκανε μεγάλη εντύπωση στον Μορίν, ιδιαίτερα όταν του είπα απλώς τότε ότι αυτή η μέθοδος θα μπορούσε να περιγράψει την επιφάνεια με τέσσερις αυλακίες που τον έκανε διάσημο, εκείνη που είχε κατασκευαστεί με το σίδερο για πουλιά από τον Πουχ, στη συνέχεια διαγράφηκε από τον Μαξ κ.λπ.
Ο Μορίν σήκωσε τα φρύδια:
- Όχι, αυτό είναι αδύνατο!
**...**Θα δούμε αυτό αργότερα. Παραμένω πεπεισμένος ότι είναι το αντίθετο. Αλλά αυτή η φράση ήταν ο αντίστοιχος της διάσημης απάντησης που έκανε ο Αρχιμήδης στο ρωμαϊκό στρατιώτη, που ήρθε να τον διακόψει στις σκέψεις του – «Μην αγγίξεις τους κύκλους μου!»
Στα γαλλικά: «Ne touche pas à mes cercles !».
Εδώ ήταν περισσότερο σαν: «Μην αγγίξεις τις ελλείψεις μου!»
**...**Στη συνέχεια, ο Απέρυ εκμεταλλεύτηκε την ανακάλυσή μου, ότι μπορούσε να δώσει στην επιφάνεια του Μποϊ ένα σύστημα ελλειπτικών μεριδίων, για να κατασκευάσει την πρώτη αδρανή εξίσωση του αντικειμένου:
f (x,y,z ) = 0
**...**Ο Μορίν, οργισμένος που με βλέπει να εμφανίζομαι ως ένας αντικαταστάτης στα δικά του μαθηματικά έργα, ανέγκλεψε στον Απέρυ να δηλώσει στη διατριβή του ότι ήταν ο Σαύζ που είχε βρει την ιδέα για τις ελλείψεις. Ο Μαξ δεν διαψεύστηκε, αλλά αυτό είναι λάθος. Η απόδειξη βρίσκεται στο κάτω υπόγειο μου: η μακέτα που φέρα στον Μαξ για να την επεξεργαστεί.
**...**Τελικά, όλα αυτά είναι αρκετά αστεία, τελικά. Αυτή η ιστορία υπάρχει για να δείξει ότι οι μαθηματικοί δεν είναι πιο λαμπροί από τους φυσικούς.
**...**Ο πολυτεχνίτης Κολόνα, πρωτοπόρος στον τομέα των εικόνων προσομοίωσης, χρησιμοποίησε απλώς τις εξισώσεις μας, χωρίς να αναφέρει την προέλευσή τους. Αλλά υπάρχει ένα ευχάριστο λεπτό στοιχείο: αν δείτε σε οθόνη εικόνες της επιφάνειας του Μποϊ, και είναι «η δική μας», θα παρουσιάζει αναπόφευκτα τρεις λεπτούς «κυματισμούς» κοντά στον πόλο. Ένα λάθος ρύθμισης των εξισώσεων. Ο Ζερόμ, γιος του Σουριό, το είχε κάνει επιφανειακά και ένας τελευταίος μικρός χτύπος σίδερο, κοντά στον πόλο, δεν θα ήταν κακό. Αυτό εξακολουθεί να είναι εφικτό, επίσης, για όποιον θέλει.
**...**Η αυτή η ιστορία της επιφάνειας του Μποϊ δεν έχει τελειώσει. Για να είμαστε πλήρεις, αναφέρουμε ένα πρόσωπο: τον Κάρλο Μπονόμι, έναν ιταλό εκατομμυριούχο. Γνώρισα τον Μπονόμι κατά τη διάρκεια μιας εκστρατείας στο Τρίγωνο των Βαρμούδων (αλλά αυτή είναι μια πολύ διαφορετική ιστορία). Πλέουμε τότε με ταχύτητα στο γαλήνιο του υπερβολικά λείο γαλήνιο, αναζητώντας μια πυραμίδα που είχε βυθιστεί, σημειωμένη από έναν ορισμένο Χάρλς Μπερλίτζ σε ένα από τα βιβλία του. Δεν βρήκαμε την πυραμίδα, και σχεδόν μας φάγωσαν οι πολλοί τσιπούρες που είχαν ανακαλύψει αυτές τις περιοχές. Αν έχετε ένα άτλας, η περιοχή όπου αυτή η κακή «Ατλαντική Πυραμίδα» έπρεπε να βρίσκεται είναι στα νότια-δυτικά ενός ρηχού που λέγεται Κέι Σαλ Μπαλκ, σε πενήντα μίλια νότια της Κούβας.
**...**Μεταξύ δύο βουτιών και δύο γευμάτων με κάβιαρ, πρότεινα στον Μπονόμι να χρηματοδοτήσει μια εκτεταμένη παραγωγή επιφανειών του Μποϊ. Του άρεσε η ιδέα και υπήρξε συνέχεια. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η επιφάνεια του Μποϊ που διακοσμεί την αίθουσα μαθηματικών του Παλατιού της Ανακάλυψης στο Παρίσι είχε πληρωθεί από τον Μπονόμι και κατασκευαστεί από τον Σαύζ. Ο χρηματιστής σκεφτόταν να προβάλει μια έκθεση κάνοντας τα αντικείμενα να κατασκευαστούν από λεπτή χρυσή σύρμα. Αλλά η υπόθεση δεν είχε συνέχεια. Εκπληκτικός από το μακρύ σιωπηλό του, κάλεσα τα γραφεία του στο Μιλάνο. Λυπητερά, εμπλεγμένος στη διαφθορά της λόγχης Π2, είχε φυλακιστεί, και το ενδιαφέρον του για την τοπολογία είχε υποστεί ανεπανόρθωτη ζημιά.
**...**Η διπλή φύλλωση μιας επιφάνειας του Μποϊ, εικόνα του προβολικού P2, είναι μια σφαίρα S2 (βλέπε το «Τοπολογικόν»). Ο Πουχ κατασκεύασε αυτή τη διπλή φύλλωση με δύο φύλλα σιδερένιου για πουλιά, ένα αντικείμενο εξαιρετικό κατά κάθε άποψη, αν και, όπως είπα, προτιμώ προσωπικά το χαλκό σύρμα και την παράσταση με μερίδιους-παράλληλους. Αλλά ακόμα και στα καθαρά μαθηματικά:
- Από γούστο και χρώμα δεν συζητάμε.
**...**Πριν παρουσιάσουμε τη σημείωση, μια τελευταία αφήγηση. Ο Πουχ είχε λοιπόν κατασκευάσει επτά μοντέλα από σίδερο για πουλιά, γεγονός που του είχε απονεμηθεί ένα σημαντικό βραβείο, περιγράφοντας τα διαδοχικά βήματα της αναστροφής της σφαίρας, για τα οποία θα μιλήσω όταν βρω πέντε λεπτά για να τα φορτώσω στο ιστότοπο, και τα οποία είχαν αναρτηθεί στο ταβάνι της καφετέριας του τμήματος μαθηματικών του πανεπιστημίου του Μπέρκλεϋ.
**...**Άρα, μαθηματικοί από όλο τον κόσμο έρχονταν σε προσκύνημα για να ενθουσιαστούν μπροστά σε αυτή την εξαιρετική σειρά. Αλλά μία νύχτα, τα μοντέλα κλάπηκαν και κανείς δεν γνωρίζει τι έγινε με αυτά τα επτά αντικείμενα, που αλλιώς ήταν απολύτως ανέκδοτα. Ποιος κλέφτης θα είχε δεχτεί μια τέτοια συναλλαγή; Εκτός αν ένας πλούσιος εραστής, μισό-αισθητικός και μισό-μαθηματικός, είχε χρηματοδοτήσει την πράξη, για να τα αποθηκεύσει σε μια καταφύγιο, μόνο για να γίνει ο μοναδικός άνθρωπος που μπορεί ν