f5101 Μια αναλυτική παράσταση της επιφάνειας του Μποϊ J.P. Πετί και J. Σουριό .
**...**Παρακάτω αναπαράγεται μια σημείωση προς τα Αποτελέσματα της Ακαδημίας Επιστημών της Παρισιού, υπογεγραμμένη από τους J.P. Πετί και J. Σουριό, που έχει ημερομηνία 1981.
**...**Αυτή η εργασία έχει μια ιστορία. Μέχρι να εκδοθεί το βιβλίο μου το Topologicon, από τις εκδόσεις Belin, στη σειρά των Περιπέτειας του Ανσέλμ Λαντούρλου, το 1985, οι παραστάσεις της επιφάνειας του Μποϊ σε ειδικά βιβλία ήταν σπάνιες. Είχαν διαδοθεί εδώ και εκεί φωτογραφίες μοντέλων που είχαν κατασκευαστεί είτε από γύψο, είτε από σίδερο σκεπασμένο με φιλί. Ο Χάρολντ Πους, από το τμήμα μαθηματικών του πανεπιστημίου του Μπέρκλεϋ, είναι ο αναγνωρισμένος παγκόσμιος ειδικός στο σίδερο σκεπασμένο με φιλί. Ακριβώς με αυτό το υλικό είχε κερδίσει ένα σημαντικό χρηματικό βραβείο, κατασκευάζοντας μακέτες που περιγράφουν την αναστροφή της σφαίρας σύμφωνα με τον Μπερνάρ Μόριν, μακέτες που στη συνέχεια διαγράφηκαν από τον Νέλσον Μαξ για να μετατραπούν σε ένα βίντεο που κυκλοφορεί σε όλα τα τμήματα μαθηματικών παγκοσμίως.
**...**Όμως βρίσκω ότι το σίδερο σκεπασμένο με φιλί είναι ένα υλικό που δεν είναι ιδιαίτερα ευγενές, ιδιαίτερα για τέτοια επιστημονικά θέματα υψηλής ποιότητας. Μετά από γνωριμία με έναν πλαστικό καλλιτέχνη που λέγεται Μαξ Σαούζ, αρχίσα να μαθαίνω την τεχνική του χάλυβα με χρυσό επίστρωμα, που είναι ταυτόχρονα εύκαμπτος και σκληρός, τον οποίο ο Μαξ συγκόλλησε με έμπειρη χειρονομία, προσπαθώντας να τον θερμάνει όσο το δυνατόν λιγότερο, για να μη δημιουργηθούν παράσιτες τάσεις στο υλικό.
**...**Ο φίλος μου Τζακ Μπουλιέ, γνωστός ως Βασσέλιν, ήταν τότε καθηγητής στα Σχολεία Καλών Τεχνών του Αξ στην Προβηγκία. Ένα χρόνο μου πρότεινε να αντικαταστήσω έναν από τους διδάσκοντες του, που είχε φύγει στο εξωτερικό, και το έκανα, διατηρώντας μισή απασχόληση μαζί με το Σαούζ. Ενώ εγώ εφεύρνα τα αντικείμενα, ο Μαξ τα συγκόλλησε. Οι φοιτητές μας, περιφερόμενοι γύρω μας, ενδιαφέρονταν και προσπαθούσαν να μιμηθούν το έργο μας όσο καλύτερα μπορούσαν. Εκείνη τη χρονιά αυτό το τμήμα του Σχολείου Καλών Τεχνών του Αξ στην Προβηγκία είχε γίνει μια είδους σειριακή παραγωγική βιομηχανία μαθηματικών επιφανειών.
**...**Αν θέλετε να το δοκιμάσετε, δεν είναι δύσκολο. Χρειάζεστε ένα ρολό από αυτό το χάλυβα με χρυσό επίστρωμα, περίπου 1,5 χιλιοστών διαμέτρου, μέγιστο δύο, και ένα σφυρί για κόψιμο. Με αυτά μπορείτε να αποδώσετε τις δύο οικογένειες καμπύλων που σχηματίζουν οποιαδήποτε επιφάνεια.
**...**Το πρόβλημα είναι να μορφοποιήσετε σωστά αυτά τα αντικείμενα. Για να το κάνετε, είναι χρήσιμο να μπορείτε να γλιστρήσετε τα σημεία σύνδεσης, εκεί που οι "μερίδιες" και οι "παράλληλοι" τέμνονται. Μια καλή λύση είναι απλώς να συνδέσετε τα δύο μεταλλικά νήματα με βελόνα. Είναι αρκετά σφιχτό για να δώσει στο αντικείμενο σταθερότητα, αλλά αρκετά λείο για να επιτρέψει παραμορφώσεις και ρυθμίσεις.
**...**Μόνο όταν νομίζετε ότι το αντικείμενο είναι μαθηματικά σύμφωνο με τις επιθυμίες σας, μπορείτε να το παραδώσετε σε κάποιον που χειρίζεται με έμπειρη χειρονομία την αλογόνηση με άργυρο και ξέρει να συγκολλά χωρίς να θερμαίνει τα σύρματα, κάτι που ο Μαξ ήξερε να κάνει με επιχειρηματική τέχνη.
**...**Μια μέρα φέρτηκα ένα πρωτότυπο της επιφάνειας του Μποϊ, αφού ανακάλυψα πώς οι μερίδιες και οι παράλληλοι έπρεπε να τοποθετηθούν. Φαινόταν ότι μπορούσε κανείς να διαμορφώσει τις μερίδιες ώστε να μοιάζουν ακριβώς με μια οικογένεια ελλείψεων.
**...**Ο Μαξ αντιγράφηκε το αντικείμενο με προσοχή. Τότε πήγα στον Σουριό. Ο γιος του (που δεν είχε ποτέ την υπομονή να τελειώσει το πτυχίο φυσικής) παίζει με το Apple II του πατέρα του. Του είπα:
-
Ζερόμ, θα ήθελες να έχεις μια δημοσίευση καθαρών μαθηματικών στο όνομά σου;
-
Λοιπόν, γιατί όχι; Ποιος πρέπει να σκοτώσω γι' αυτό;
-
Κανένας. Βλέπεις αυτό το αντικείμενο. Πάρε ένα γωνιόμετρο, μέτρησε αυτές τις ελλείψεις και προσπάθησε να μας δημιουργήσεις μια ημι-εμπειρική παράσταση αυτής της επιφάνειας.
-
Μπορούμε να το προσπαθήσουμε, δώσε...
**...**Δύο μέρες αργότερα, το είχε κάνει. Το άρθρο εγκρίθηκε γρήγορα στα Αποτελέσματα της Ακαδημίας Επιστημών της Παρισιού και δημοσιεύτηκε με τα δύο ονόματά μας: J.P. Πετί και J. Σουριό.
**...**Αλλά επειδή ο πατέρας λέγεται Ζαν-Μαρί και ο γιος Ζερόμ, όλοι οι μαθηματικοί είναι πεπεισμένοι ότι αυτή η εργασία την έκαναν μαζί, ο Σουριό-πατέρας και εγώ.
**...**Η σχεδίαση της επιφάνειας σε υπολογιστή, με τη βοήθεια ενός μικρού προγράμματος BASIC από λίγες γραμμές, εκπλήρωσε έντονα πολλούς μαθηματικούς, οι οποίοι περίμεναν κάτι πολύπλοκο. Το γεγονός είχε αρνητικές συνέπειες. Ο μαθηματικός Μπερνάρ Μόριν είχε έναν φοιτητή διδακτορικού, τον Απέρυ, γιο του Απέρυ-πατέρα, συγγραφέα του απείρου θεωρήματος που λέει ότι το άθροισμα των κύβων ακεραίων αριθμών είναι ένας άρρητος αριθμός. Μεταξύ άλλων...
**...**Το έμαθα μετά. Η πρόοδός μας προκάλεσε μεγάλη ανησυχία στον Μόριν, ιδιαίτερα επειδή του είπα τότε απλοϊκά ότι αυτή η μέθοδος θα μπορούσε να περιγράψει την επιφάνεια με τέσσερα αυτιά που τον έκανε διάσημο, εκείνη που είχε κατασκευαστεί με το σίδερο σκεπασμένο με φιλί από τον Πους, στη συνέχεια διαγράφηκε από τον Μαξ κ.λπ.
Ο Μόριν σήκωσε τα φρύδια:
- Όχι, αυτό είναι αδύνατο!
**...**Θα δούμε αυτό αργότερα. Είμαι πεπεισμένος ότι το αντίθετο είναι αλήθεια. Αλλά αυτή η φράση ήταν το αντίστοιχο της δ famouse απάντησης που έδωσε ο Αρχιμήδης στο ρωμαϊκό στρατιώτη που τον είχε διακόψει κατά τις σκέψεις του – Noli tangere circuleos meos!
Στα γαλλικά "μην αγγίζεις τους κύκλους μου!"
Εδώ ήταν περίπου "μην αγγίζεις τις ελλείψεις μου!"
**...**Στη συνέχεια, ο Απέρυ εκμεταλλεύτηκε την ανακάλυσή μου, ότι μπορούσε να δώσει στην επιφάνεια του Μποϊ ένα σύστημα ελλειπτικών μεριδίων, για να κατασκευάσει την πρώτη αδρανή εξίσωση του αντικειμένου:
f(x,y,z) = 0
**...**Ο Μόριν, θυμωμένος που με βλέπει να εμφανίζομαι ως ένας διαταρακτής στα δικά του μαθηματικά, ανάγκασε τον Απέρυ να δηλώσει στη διατριβή του ότι ήταν ο Σαούζ που είχε βρει την ιδέα με τις ελλείψεις. Ο Μαξ δεν αρνήθηκε, αλλά αυτό είναι λάθος. Η απόδειξη βρίσκεται στο κάτω όροφο: το μοντέλο που φέρτηκα στον Μαξ για να το επεξεργαστεί.
**...**Τέλος, όλα αυτά είναι αρκετά αστεία, συνολικά. Αυτή η ιστορία υπάρχει για να δείξει ότι οι μαθηματικοί δεν είναι πιο λαμπροί από τους φυσικούς.
**...**Ο πολυτεχνίτης Κολόνα, πρωτοπόρος στον τομέα των εικόνων σύνθεσης, χρησιμοποίησε όλες τις εξισώσεις μας χωρίς να αναφέρει την προέλευσή τους. Αλλά υπάρχει ένα συμπληρωματικό στοιχείο: αν δείτε σε οθόνη εικόνες της επιφάνειας του Μποϊ, και είναι "η δική μας", θα παρουσιάζει αναπόφευκτα τρία μικρά "λυγίσματα" κοντά στον πόλο. Ένα λάθος ρύθμισης των εξισώσεων. Ο Ζερόμ, γιος του Σουριό, το είχε κάνει με σπασμένο ρυθμό και ένας τελευταίος μικρός χτύπος με την προσωρινή εγκατάσταση κοντά στον πόλο θα είχε ήταν χρήσιμος. Αυτό εξακολουθεί να είναι δυνατό, για όποιον θέλει.
**...**Η ιστορία της επιφάνειας του Μποϊ δεν έχει τελειώσει. Για να είμαστε πλήρεις, αναφέρουμε ένα πρόσωπο: τον Κάρλο Μπόνομι, έναν Ιταλό εκατομμυριούχο. Γνώρισα τον Μπόνομι κατά τη διάρκεια μιας εκστρατείας στο Τρίγωνο των Βαρμούδων (αλλά αυτή είναι μια πολύ διαφορετική ιστορία). Ήμασταν τότε σε γρήγορη κίνηση στο γαλάζιο του ναυαγίου του, με απίστευτη ρομαντική αξία, στην αναζήτηση μιας βυθισμένης πυραμίδας, που αναφέρθηκε από τον Χάρολντ Μπέρλιτς σε ένα από τα βιβλία του. Δεν βρήκαμε την πυραμίδα, και μόνο κατάφεραν να μας φάνει οι πολλοί τσιπούρες που κυκλοφορούσαν σε αυτές τις περιοχές. Αν έχετε έναν χάρτη, η περιοχή όπου η φρικτή "Ατλαντική Πυραμίδα" έπρεπε να βρίσκεται είναι στο νοτιοδυτικό τμήμα ενός φρεγάτου που λέγεται Κέι Σαλ Μπαλκ, σε πενήντα μίλια νότια της Κούβας.
**...**Μεταξύ δύο βουτιών και δύο γευμάτων με καβιάρο, πρότεινα στον Μπόνομι να χρηματοδοτήσει μια εκτεταμένη παραγωγή επιφανειών του Μποϊ. Του άρεσε η ιδέα και υπήρξε συνέχεια. Θα πούμε ότι η επιφάνεια του Μποϊ που διακοσμεί την αίθουσα μαθηματικών του Παλατιού της Ανακάλυψης στο Παρίσι είχε πληρωθεί από τον Μπόνομι και κατασκευαστεί από τον Σαούζ. Ο χρηματιστής σκεφτόταν να δημιουργήσει μια έκθεση κάνοντας τα αντικείμενα να κατασκευαστούν από λεπτό χρυσό. Αλλά η υπόθεση δεν είχε συνέχεια. Εκπληκτικός από το μακρύ σιωπηλό του, τηλεφώνησα στα γραφεία του στο Μιλάνο. Λυπητερά, εμπλεγμένος στη διαφθορά της λόγχης Π2, είχε φυλακιστεί και το ενδιαφέρον του για την τοπολογία είχε υποστεί ανεπανόρθωτη ζημία.
**...**Η διπλή φύλλωση μιας επιφάνειας του Μποϊ, εικόνα του προβολικού P2, είναι μια σφαίρα S2 (βλ. το Topologicon). Ο Πους κατασκεύασε αυτή τη διπλή φύλλωση με δύο φύλλα σιδερένιου φιλί, ένα αντικείμενο που είναι εξαιρετικό σε όλα τα σημεία, αν και, όπως είπα, προτιμώ προσωπικά το χρυσό επίστρωμα χάλυβα και την παράσταση με μερίδια-παράλληλα. Αλλά ακόμη και στα καθαρά μαθηματικά:
- De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Πριν παρουσιάσουμε τη σημείωση, μια τελευταία αφήγηση. Ο Πους είχε λοιπόν κατασκευάσει εφτά μοντέλα σε σίδερο φιλί, γεγονός που του είχε απονεμηθεί ένα σημαντικό βραβείο, που περιγράφουν τα διαδοχικά βήματα της αναστροφής της σφαίρας, για τα οποία θα μιλήσω όταν βρω πέντε λεπτά για να το φορτώσω στο site, και είχαν αναρτηθεί στο ταβάνι της καφετέριας του τμήματος μαθηματικών του πανεπιστημίου του Μπέρκλεϋ.
**...**Άρα, οι μαθηματικοί από όλο τον κόσμο έρχονταν σε προσκύνημα για να εντυπωσιαστούν από αυτή την εξαιρετική ακολουθία. Αλλά μια νύχτα, τα μοντέλα κλάπηκαν και κανείς δεν γνωρίζει τι έγινε με αυτά τα εφτά αντικείμενα, που εκτός από το ότι ήταν απολύτως ανένδοτα. Ποιος συλλέκτης θα είχε δεχτεί μια τέτοια συναλλαγή; Εκτός αν κάποιος πλούσιος ερασιτέχνης, μισό-αισθητικός, μισό-μαθηματικός