Επιστρέφοντας σε αυτή την κατηγορία ομοτοπιών των εμφυτεύσεων του τόρου στο R3. Επιστρέφοντας σε αυτή την κατηγορία ομοτοπιών των εμφυτεύσεων του τόρου στο R3. Μπορούμε εύκολα να συνδέσουμε τα δύο αντικείμενα που φαίνονται με μια μετασχηματισμό "C". Παίρνουμε ένα τόρο και το "διασταυρώνουμε" κάπου, δημιουργώντας μια γραμμή διπλών σημείων που είναι ένας κύκλος: 
Έχω βάλει "δύο χρώματα": γκρι για το εξωτερικό του τόρου, λευκό για το εσωτερικό. Το παραπάνω "διασταύρωμα" (που οδηγεί σε μια από τις άπειρες δυνατές εμφυτεύσεις του "τυπικού τόρου") καταστρώνει ένα τμήμα της επιφάνειας που είναι λευκό.
Παρατηρούμε αυτό το αντικείμενο από ένα σημείο που βρίσκεται στον άξονα του τόρου:
Στην κορυφή, το τμήμα του εσωτερικού (λευκό) του τόρου, που το "διασταύρωμα" έφερε στη φόρα. Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε μια "μετασχηματισμό C" και να δημιουργήσουμε δύο σημεία κορυφής. 
Στο σημείο που υποδεικνύει το βέλος "σφίγγουμε" ένα δρόμο. Η ενέργεια δημιουργεί δύο σημεία κορυφής C1 και C2:
που μπορούν να μετακινηθούν όπως παρακάτω:
Πλέον απομένει να εφαρμόσουμε έναν μετασχηματισμό C-1 (συγχώνευση δύο σημείων κορυφής):
Παίρνουμε το αντικείμενο: 
Αυτή η εμφύτευση του τόρου είναι ομοτοπική με τον τυπικό τόρο.
Παρατηρούμε ότι αυτή η ενέργεια "C" και το αντίστροφό της "C-1", που επεκτείνουν τον κόσμο των εμφυτεύσεων στον κόσμο των διατμήσεων των επιφανειών στο R3, επιτρέπουν να κάνουμε πράγματα ενδιαφέροντα. Μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο των διατμήσεων των κλασσικών επιφανειών (Σφαίρα, Προβολικό Επίπεδο, Τόρος και Βαλίτσα του Klein). Πόσες κλάσεις έχει αυτό το σύνολο;
Παρατηρήσαμε ότι η σφαίρα και το προβολικό επίπεδο ανήκουν σε μια κοινή κλάση (όπως και η δεξιά και η αριστερή επιφάνεια του Boy). Πόσες κλάσεις διατμήσεων έχει ο τόρος; Πιστεύω, εκτός αν κάνω λάθος, ότι αυτό το πρόβλημα δεν έχει λυθεί ακόμα. Μπορεί κανείς, με τη χρήση ενεργειών C, να πάει από μια κλάση εμφύτευσης του τόρου σε μια άλλη, ή όχι; Από την οπτική της αντίληψης, θα έλεγα ότι όχι, αλλά αυτό είναι μια υπόθεση.
Μια κατασκευή δεν μπορεί να αποδείξει μια αδυναμία, αλλά να δείξει μια δυνατότητα. Αν κάποιος βρει κατασκευές που επιτρέπουν να πηδήξει από μια κλάση σε μια άλλη, τότε ο θεώρημα θα έχει αποδειχθεί πραγματικά, αλλά το γεγονός ότι δεν βρίσκουμε κατασκευές που να το επιτρέπουν δεν αποτελεί από μόνο του απόδειξη. Η απουσία απόδειξης δεν είναι απόδειξη απουσίας. Να πει ότι υπάρχουν τέσσερις κλάσεις διατμήσεων του τόρου στο R3, ή να πει ότι υπάρχει μόνο μία, είναι υποθέσεις, απλές πεποιθήσεις, στην κατάσταση αυτή.
Παρατηρείται ότι ο Smale απέδειξε ότι το αναποδογύρισμα της σφαίρας είναι δυνατό πριν ο Phillips δώσει την πρώτη κατασκευή. Αυτό θα μπορούσε να είναι και το αντίστροφο. Ποιος θα έχει την ιδέα να ξεκινήσει μια τέτοια επιχείρηση, που θα αντιτίθεται πλήρως στη γεωμετρική μας αντίληψη;
Ο μετασχηματισμός C μπορεί να μετατρέψει μια σφαίρα σε ένα Cross cap, στη συνέχεια σε μια επιφάνεια του Boy, μέσω της επιφάνειας του Steiner. Δείτε το άρθρο. Μπορεί να μετατρέψει έναν τόρο σε μια βαλίτσα του Klein; Λογικά ναι, αλλά δεν έχω την απάντηση στην ερώτηση αυτή.
Κατά τη διάρκεια της παραπάνω, γιατί να μιλάμε για "προβολικό επίπεδο"; Τα αντικείμενα (μονόπλευρα) που φαίνονται είναι πεπερασμένα. Απάντηση του Souriau:
- Σε ένα επίπεδο έχουμε "την ευθεία του άπειρου". Απλά συγκολλούμε αυτό το επίπεδο κατά μήκος της ευθείας του άπειρου.
Η οποία, όπως φαντάζεστε, είναι μια κλειστή καμπύλη.
Στο Topologicon υπάρχει ένα μικρό βίντεο, ένα "feuilletable", που δείχνει πώς ένας μπάντας Möbius με τρία ημιστριφή μπορεί να μετατραπεί σε μια επιφάνεια του Boy. Η τελευταία εικόνα δείχνει αυτή την επιφάνεια, εκτός από ένα δίσκο. Αρκεί να προσθέσετε αυτόν τον δίσκο για να ολοκληρώσετε την επιφάνεια. Έτσι, μια επιφάνεια του Boy είναι ένας μπάντας Möbius πλέον ένας δίσκος. Άσκηση: χρησιμοποιώντας τα εργαλεία του Topologicon, υπολογίστε τη χαρακτηριστική Euler-Poincaré (που είναι 1).
Αντίστροφα, θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε από τον δίσκο και να τον αυξήσουμε, αυτοδιασταυρώνοντάς τον, μέχρι να συγκολληθεί σε αυτόν τον μπάντα Möbius με τρία ημιστριφή, που είναι μια άλλη κατασκευή.
Βρήκα τα σχέδια στην επικοινωνία 55 σελίδων που έκανα στο συνέδριο της Ψυχαναλυτικής Σχολής Lacan στο Aix en Provence (4 και 5 Απριλίου 1987), που αφιερώθηκε στη "Παραποίηση", και περιλαμβάνεται στα πρακτικά που έκαναν τα οργανωτικά τους. Θα χρησιμοποιήσω αυτό το κείμενο σε ένα μελλοντικό έγγραφο με τίτλο "JPP στο Lacan".
Πρώτη εικόνα: ο δίσκος που κάμπτεται.
Παρακάτω, η αρχή της δημιουργίας του συνόλου των αυτοτομών:
Επόμενη εικόνα: εμφάνιση του τριπλού σημείου:
Παύω να βάζω σκιές, καθώς η επιφάνεια είναι σε διαδικασία να γίνει μονόπλευρη.
Παρακάτω, η επιφάνεια είναι έτοιμη να συγκολληθεί στον εαυτό της, κατά μήκος της περιφέρειάς της.
Εκεί, έχουμε φανερώσει τον μπάντα Möbius με τρία ημιστριφή, ολοκληρώνοντας την επιφάνεια:
Επόμενη εικόνα: αυτός ο ίδιος μπάντας.
Στη συνέχεια, η επιφάνεια του Boy, πλήρως σχηματισμένη. Δεν μπορούμε να πούμε, σε σχέση με τις εικόνες που παρουσιάζονται στο Topologicon, "ότι τη βλέπουμε από την πίσω πλευρά", μια επιφάνεια του Boy δεν έχει ούτε ουρά ούτε κεφάλι. Ας πούμε ότι όπως φαίνεται, βλέπουμε το τριπλό σημείο της.
Παρακάτω, το σύνολο των αυτοτομών της: 
Έτσι, έχετε δει, με τα μάτια σας, να αναπτύσσεται το επίπεδο στη "ευθεία του άπειρου". Από εκεί προέρχεται το όνομά της: "προβολικό επίπεδο", αρκετά παράξενο στην αρχή. Ίσως είναι η πρώτη φορά που το άπειρο φαίνεται τόσο κοντά στους ανθρώπους.
Αυτές οι εικόνες είχαν συντεθεί πριν από μια καλή δεκαετία και αυτός ο ιστότοπος, ή αυτός ο cd, προσφέρει τέλος τη δυνατότητα να τις δείτε. Ο αναγνώστης θα μπορούσε να ρωτήσει γιατί δεν εμφανίστηκαν στο "Pour la Science" ή στο "La Recherche". Δεν έλειψε να στείλω άρθρα σε αυτές τις εκδόσεις, αλλά οι επιμελητές δεν βρήκαν το θέμα ενδιαφέρον.
Ελπίζω ότι με αυτή τη "γεωμετρική πολυτεχνική κουβέντα", θα σπεύσετε να ανακαλύψετε πολλές νέες επιφάνειες. Ανακαλύψατε μια, φανταστείτε την Μαδάμ Ivars. Πάρτε μια σφαίρα και βυθίστε δύο τμήματα ίσου μήκους σε δύο αντίθετες κατευθύνσεις, μέχρι να συναντηθούν, φανταστείτε ότι αυτά είναι συγκολλημένα σε δύο ράβδους, όπως αυτό:
Όταν τα τμήματα φτάσουν στη σύγκρουση, μια "χειρουργική επέμβαση" γίνεται. Έχουμε μια διασταύρωση επιφανειών, κατά μήκος του τμήματος, και δύο κορυφικά σημεία σε κάθε άκρο. Παρακάτω, αυτή η επιφάνεια, σε τομή.
Το ίδιο, σε προοπτική:
Στο εργαλείο για την κατασκευή