Σταθερότητα της Jeans και κοσμολογική βαρύτητα

Έργο Epistémotron 2

Η βαρυτική αστάθεια ή Αστάθεια της Jeans

6 Μαΐου 2004

Ας πάρουμε μια σφαίρα πλήρη με «σκόνη», δηλαδή με σταθερή πυκνότητα σημείων μαζών που δεν κινούνται. Η σφαίρα έχει ακτίνα R. Αντιπροσωπεύει μάζα M. Εξετάζουμε μια μάζα m που βρίσκεται στην επιφάνεια αυτής της σφαίρας. Γράφουμε το νόμο του Νεύτωνα. Με δύο γραμμές υπολογισμού παίρνουμε την εξίσωση του Friedmann, αυτή που δίνει τα κοσμολογικά μοντέλα με το ίδιο όνομα:

Θα μπορέσετε να επαναλάβετε τις τρεις κατηγορίες λύσεων αυτής της διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης, που δίνουν τα μοντέλα:

• Κυκλικό (R σε κυκλοειδή)

• Υπερβολικό (R προσεγγίζει μία ασύμπτωτη)

• Το μοντέλο του Einstein-de Sitter, σε τq

Το 1934, Milne και Mac Crea έδειξαν ότι η βασική εξίσωση της Γενικής Σχετικότητας μπορεί να προκύψει από τη νευτώνεια. Στις δεκαετίες του 1970 είχα κάνει το ίδιο με τη λύση της εξίσωσης Boltzmann, συζευγμένη με την εξίσωση Poisson. Παραλείψτε...

Θα εστιάσουμε στη λύση σε tm που κατασκεύασε ο Einstein και ο de Sitter:

Θα κάνουμε αδιάστατη αυτή την εξίσωση, εισαγάγοντας μία χαρακτηριστική διάσταση που θα είναι απλώς η αρχική τιμή της ακτίνας. Εμφανίζεται τότε ένας χαρακτηριστικός χρόνος.

Εάν η λύση του Einstein-de Sitter περιγράφει μία επιβραδυνόμενη διαστολή, από αρχικές συνθήκες εκρηκτικές, είναι συμμετρική αν αντικαταστήσουμε τον χρόνο t με -t. Παίρνουμε δύο συμμετρικές παραβολές ως προς έναν χρόνο t = 0, φυσικά τυχαίο. Εάν "διαβάσουμε" την καμπύλη από αριστερά, έχουμε την περιγραφή ενός βαρυτικού συμπύκνωσης, που αυτοεπιταχύνεται.

Σε αυτό το φαινόμενο συνδέεται αυτός ο χαρακτηριστικός χρόνος που ονομάζεται χρόνος Jeans. Βλέπουμε λοιπόν ότι μία μάζα σκόνης (σύνολο σωματιδίων χωρίς θερμική κίνηση), όσο μεγάλη και αν είναι, συμπέσει σε χρόνο που εξαρτάται μόνο από την τιμή της πυκνότητας.

Θα εξετάσουμε τώρα το αντίστροφο φαινόμενο: ένα σύννεφο μαζών m, διάστασης L, που είναι υπό θερμική κίνηση. Αγνοούμε τις βαρυτικές δυνάμεις. Το σύννεφο θα διασκορπιστεί σε ένα χαρακτηριστικό χρόνο ίσο με L, διαιρούμενο με τη μέση τιμή της θερμικής ταχύτητας , συνδεδεμένη με την απόλυτη θερμοκρασία T (βλ. προηγούμενο φάκελο, για τη θερμοκρασία των αερίων). Θα ονομάσουμε αυτόν τον χρόνο διασποράς td. Σε μία σφαίρα αερίου, τα δύο φαινόμενα θα είναι ανταγωνιστικά. Βλέπουμε τότε ότι ο χρόνος διασποράς είναι μεγαλύτερος από τον χαρακτηριστικό χρόνο συμπύκνωσης ή απορρόφησης, εάν απλώς το μέγεθος του "κομματιού" που εξετάζουμε υπερβαίνει μία συγκεκριμένη χαρακτηριστική μήκος, το Μήκος της Jeans Lj

Αυτό είναι ανάλογο με τη θερμική ταχύτητα και αντίστροφα ανάλογο με τη τετραγωνική ρίζα της πυκνότητας ρ. Έτσι «αν θερμάνουμε, σταθεροποιούμε».

• Τι θερμαίνει (π.χ. μία μάζα διαστημικού αερίου); Απάντηση: οι ζεστές αστέρες, που εκπέμπουν υπεριώδη.

• Τι ψύχει; Οι ακτινοβολικές απώλειες (το αέριο ακτινοβολεί υπέρυθρο).

Μία μάζα διαστημικού αερίου λειτουργεί λοιπόν σαν μία βρύση, είναι το σημείο ενός ομοιοστατικού φαινομένου. Εάν το αέριο ψύχεται (ακτινοβολικά), γίνεται βαρυτικά ασταθές και γεννά αστέρες που, εκπέμποντας υπεριώδη, το θερμαίνουν και το διαστέλλουν. Είναι ένας μηχανισμός «αντι-κρίσης». Το φαινόμενο των αστέρων παίζει σε σχέση με το αέριο το ρόλο ενός αντικαταθλιπτικού. Αυτό το αέριο, σε μία σπειροειδή γαλαξία, είναι φραγμένο σε ένα πολύ λεπτό δίσκο, με πάχος μερικών εκατοντάδων ετών φωτός, πολύ λιγότερο από τα 100.000 ετών φωτός που αντιπροσωπεύουν το διάμετρο του γαλαξία. Η στρώση του αερίου έχει τη γεωμετρία ενός μικροσκοπικού δίσκου. Έχει σταθερό πάχος, απλώς επειδή αυτό το πάχος ρυθμίζεται από το ίδιο φαινόμενο αντι-κρίσης, παντού.

Μερικοί από εσάς προσπάθησαν να μοντελοποιήσουν με προσομοίωση μία βαρυτική αστάθεια, χωρίς επιτυχία. Επειδή το αέριο ήταν πολύ ζεστό, ή επειδή τα σημεία μάζας δεν ήταν αρκετά μαζικά. Έτσι, το μήκος Jeans ήταν μεγαλύτερο από το διάμετρο του αρχικού κομματιού τους. Συμβαίνει ένα παρόμοιο φαινόμενο σε 2δ, όταν εργαζόμαστε σε μία σφαίρα, όπως κάποιοι από εσάς έκαναν. Θα μπορέσετε να διασκεδάσετε κατασκευάζοντας την αντίστοιχη θεωρία της Jeans σε 2δ. Θα βρείτε τότε ένα χαρακτηριστικό μήκος που θα είναι ανάλογο με τη θερμική ταχύτητα 2δ στη «επιφάνεια» αυτής της σφαίρας. Η πυκνότητα θα έχει παρόμοιο ρόλο όπως σε 3δ, αλλά ομολογώ ότι σήμερα βρίσκομαι σε κατάσταση αποκομιδής για να διευκρινίσω αυτό το πρόβλημα, που δεν έχει πραγματικό ενδιαφέρον, επειδή το σύμπαν είναι 3δ και όχι 2δ. Αλλά ποιοτικά τα φαινόμενα είναι παρόμοια. Θα πρέπει λοιπόν να καταλήξουμε σε ένα μήκος Jeans 2δ. Εάν αυτό είναι μεγαλύτερο από το μήκος του μεγάλου κύκλου της σφαίρας, δεν θα υπάρχουν κομμάτια. Εάν αυτό το μήκος Jeans είναι πολύ μικρό σε σχέση με αυτό το μήκος: πολλά κομμάτια. Όταν θα έχετε στα χέρια σας τα προγράμματα υπολογισμού στη σφαίρα 2δ, θα μπορέσετε να παίξετε με αυτό. Ο D'Agostini έκανε ένα υπέροχο πρόγραμμα που θα εγκαταστήσω στο επόμενο φάκελο. Θα έχετε το εκτελέσιμο και τον κώδικα πηγή, για να το διορθώσετε. Γράφεται σε Pascal.

Η διαστολή ψύχει. Ισεντροπική, είναι αποσταθεροποιητική.

Βλέπουμε ότι το μήκος Jeans αυξάνεται με την τετραγωνική ρίζα του R. Έτσι, αναπόφευκτα, ένα φαινόμενο που διαστέλλεται ισεντροπικά γίνεται ασταθές, διασπάται. Αν δεν υπήρχαν τα φωτόνια, η κοσμική ακτινοβολία, το σύμπαν θα είχε δημιουργήσει κομμάτια από την πιο νεαρή ηλικία του. Ωστόσο, ο συνδυασμός ύλης-ακτινοβολίας είχε εμποδίσει τη βαρυτική αστάθεια μέχρι την εποχή που το σύμπαν αποιονιστήκε περίπου στα t = 100.000 χρόνια. Αν πάρουμε τη θερμική ταχύτητα του υδρογόνου που ήταν μόλις κάτω από 3000°, και την πυκνότητα που ένιωθε τότε, θα βρούμε μία συγκεκριμένη τιμή του μήκους Jeans, και αν υπολογίσουμε τη μάζα που βρισκόταν σε αυτά τα κομμάτια, θα βρούμε τη μάζα Jeans που τότε περίπου έφτανε τις 100.000 ηλιακές μάζες. Έτσι, είναι λογικό να σκεφτούμε ότι κατά την εποχή της αποζεύξεως θα είχαν δημιουργηθεί χωριστά κομμάτια με μάζα παρ