Προβλήματα γεωδαισικών Προβλήματα γεωδαισικών.
Ξέρετε να σχεδιάζετε γεωδαισικές σε μια επιφάνεια, χρησιμοποιώντας ταινία κόλλας. Ερώτηση: υπό ποιες συνθήκες μια γεωδαισική που σχεδιάστηκε σε ένα ποσικόνο μπορεί να επικαλυφθεί;
Πάρτε ένα σημείο ενός κώνου περιστροφής και ξεκινήστε μια γεωδαισική σε μια κατεύθυνση κάθετη σε μια από τις γεννήτριές του: 
Θεωρήστε τη συμμετρική γεννήτρια, ως προς τον άξονα περιστροφής αυτού του κώνου (κάθε κώνος μπορεί πάντα να παραμορφωθεί σε κώνο περιστροφής, χωρίς να αλλάξει το σχέδιο των γεωδαισικών του). Στην περίπτωση του σχεδίου παραπάνω, θα πάραμε το εξής, τοποθετώντας τον κώνο επίπεδα:
Ξέρετε ότι το γωνιακό τμήμα που κόβετε αντιπροσωπεύει την ποσότητα της γωνιακής καμπυλότητας που συγκεντρώνεται στην κορυφή του ποσικόνου. Η γεωδαισική μετατρέπεται τότε σε ευθεία του επιπέδου, επειδή η επιφάνεια είναι αναπτύξιμη.
Παρατηρείτε ότι για να μπορεί μια γεωδαισική να επικαλυφθεί, πρέπει το γωνιακό τμήμα να είναι μεγαλύτερο των 180°, δηλαδή ο κώνος να είναι αρκετά στενός.
Με την ανασύνθεση του κώνου, θα πάρουμε:
Μπορεί μια γεωδαισική ενός κώνου να "φτάσει στην κορυφή";
Μόνο οι γεννήτριες του κώνου μπορούν να το κάνουν αυτό. Ποια και αν είναι η γεωδαισική που σχεδιάστηκε σε ένα κώνο, ακόμη και αν είναι πολύ κοντά στην κορυφή, δεν θα μπορέσει να την πλησιάσει, ακόμη και αν φαίνεται "σχεδιασμένη για να την πλησιάσει". Αρκεί να συνδέσετε την κορυφή του κώνου με το πλησιέστερο σημείο αυτής της γεωδαισικής. Η γεννήτρια θα τέμνει τη γεωδαισική σε ορθή γωνία. Μπορείτε να κάνετε μια κοπή κατά μήκος της αντίθετης γεωδαισικής και να τοποθετήσετε το κώνο επίπεδα.
Ακόμη και αν ο κώνος είναι πολύ στενός, θα πάρετε μόνο συνεχόμενες επικαλύψεις.
Μπορούν οι γεωδαισικές να επικαλυφθούν απεριόριστα; Όταν αναπτύσσουμε τον κώνο, τα πράγματα συμβαίνουν ως αν η γεωδαισική "αναπηδά" στη γεννήτρια που συνδέει την κορυφή με το σημείο συνάντησης.
Παραπάνω, φαίνεται σαφώς ότι η "αναπήδηση" στέλνει τις δύο τμήματα της γεννήτριας σε τέτοιες κατευθύνσεις ώστε να μην μπορούν πλέον να επικαλυφθούν. Για να έχετε πολλαπλές επικαλύψεις χρειάζεται ένας πολύ στενός κώνος.
Ωστόσο, σε κάθε "αναπήδηση", η γωνία ανοίγει και τελικά περιορίζεται στο τμήμα 2p - q. Το πλήθος των επικαλύψεων είναι πεπερασμένο.
Οι γεννήτριες του κώνου αποτελούν μια ιδιαίτερη οικογένεια. Ωστόσο, τι ονομάζουμε κώνο;
Μπορείτε να θεωρήσετε ότι το αντικείμενο "κώνος" αντιστοιχεί στο σχέδιο παρακάτω, την εικόνα αριστερά. Οι γεωδαισικές-γεννήτριες είναι τότε ημιευθείες.
Ωστόσο, μπορείτε να θεωρήσετε ότι ένας κώνος αντιστοιχεί στο αντικείμενο της δεξιάς. Σε αυτή την περίπτωση, τι ονομάζουμε γεωδαισική; Αν είναι το συντομότερο μονοπάτι που συνδέει δύο σημεία, μπορείτε να πέσετε σε τέτοιες καταστάσεις:
Μπορείτε να επιλέξετε μια κωνική δομή όπου κάθε γεννήτρια επεκτείνεται σύμφωνα με μια δεύτερη γεννήτρια που βρίσκεται στο δεύτερο ημικώνο και μόνο μια, σχηματίζοντας ένα συνεχές σύνολο. Μπορείτε να φανταστείτε κωνικά σημεία σε ένα χώρο τριών διαστάσεων (βλ. άρθρο 11 του Geometrical Physics A).
** Άλλοι τύποι ιδιομορφιών.**
Τα σημεία κορυφής είναι σημεία ιδιομορφιών. Μπορείτε να μετρήσετε και άλλα. Τα "κωνικά σημεία" για παράδειγμα, όπου τα σημεία αναπήδησης της επιφάνειας, "σημεία τριχοφυΐας".
Στα αριστερά, μια σφαίρα με ένα κωνικό σημείο. Στα δεξιά, ένα σημείο τριχοφυΐας.
Δημιουργείτε ένα κωνικό σημείο με ένα στερεό. Μπορείτε να ονομάσετε την τροποποίηση "δημιουργία κωνικού σημείου" P και την αντίστροφή της P-1.
Ομοίως, η δημιουργία ενός σημείου τριχοφυΐας αντιστοιχεί στην τροποποίηση H. Στην πραγματικότητα, η δημιουργία της τριχοφυΐας ακολουθεί τη δημιουργία του κωνικού σημείου. Είναι ένα κωνικό σημείο του οποίου η γωνία στην κορυφή έχει γίνει μηδέν. Έτσι, η τροποποίηση που οδηγεί στην τριχοφυΐα μιας επιφάνειας θα είναι P H
και το αντίστροφό της: H-1P-1
Υπάρχουν άλλοι τρόποι να τροποποιήσετε μια επιφάνεια, για παράδειγμα δημιουργώντας ένα δίεδρο. Η δημιουργία του δίεδρου θα είναι η τροποποίηση D. Αυτή μπορεί να εφαρμοστεί ανεξάρτητα από άλλες, υπό την προϋπόθεση να αφορά ένα κλειστό δρόμο (σε μια κανονική επιφάνεια). Το πιο απλό παράδειγμα είναι αυτό της σφαίρας. Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα "πτύση" κατά μήκος του ισημερινού της, για παράδειγμα. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας, αυτή η πτύση θα περιέχει "γραμμική καμπυλότητα", θέμα που έχει ήδη αναλυθεί στην εισαγωγή του Geometrical Physics A.
Αν η τροποποίηση αφορά ένα τμήμα σε μια κανονική επιφάνεια, οι άκρες αυτού του τμήματος θα υποστούν κάθε μια μια τροποποίηση P.
Πάρτε μια σφαίρα, μια "μαλακή" σφαίρα, παραμορφώσιμη. Τοποθετηθείτε μέσα με ένα τμήμα, ένα σκληρό ράβδο και τοποθετήστε τη σφαίρα. Τα δύο άκρα της ράβδου αρχίζουν να επαφίζονται με την επιφάνεια. Αποτέλεσμα "στερεό": εμφάνιση μερικών κωνικών σημείων. Συνεχίστε να τραβάτε. Το τμήμα έρχεται σε επαφή με τη σφαίρα, αλλά το δίεδρο δεν σχηματίζεται ακόμη. Εάν είναι σε επαφή με τη σφαίρα, σημαίνει μόνο ότι υπάρχει σε αυτή τη σφαίρα ένας ευθύγραμμος δρόμος AB. Αυτό όμως δεν σημαίνει αυτόματα ότι η σφαίρα έχει ένα πτύση. Μπορείτε να το συγκρίνετε με την τοποθέτηση μιας σκηνής καμπουριού, με δύο μαστίγια. Τοποθετείτε τα μαστίγια
** Αποτέλεσμα των δύο τροποποιήσεων P. Δημιουργία δύο κωνικών σημείων A και B**.
και τεντώνετε ένα σύρμα που τα συνδέει. Ωστόσο, αν το εσωτερικό της σκηνής είναι σε απελευθέρωση, το ύφασμα δεν θα κρεμαστεί στο σύρμα σχηματίζοντας ένα πτύση.
Τάση του σύρματος: Η επιφάνεια αποκτά ένα ευθύγραμμο τμήμα AB. Ωστόσο, αν ο αέρας πνέει και η σκηνή είναι σε ελαφριά απελευθέρωση, το περιβάλλον του τμήματος θα μπορεί να διατηρήσει, κατά μήκος του τμήματος, τη συνέχεια του εφαπτομένου επιπέδου, ως απόδειξη η θέα της σκηνής, από ένα άλλο γωνιακό σημείο.
Εάν ο αέρας σταματήσει να πνέει, τα τοιχώματα της σκηνής θα πέσουν υπό την επίδραση του βάρους τους. Αμέσως μετά την έναρξη της κίνησης, η συνέχεια του εφαπτομένου επιπέδου θα καταστραφεί. Το δίεδρο θα εμφανιστεί. Τροποποίηση D.
Ποιο χρήσιμο μπορεί να είναι αυτό;
Πριν προχωρήσουμε στις πρακτικές εφαρμογές, πρέπει να ορίσουμε μια άλλη τροποποίηση. Φανταστείτε έναν κώνο: έχει ένα κωνικό σημείο που συγκεντρώνει τη "γωνιακή καμπυλότητα". Εάν το κωνικό σημείο δεν ανήκει σε ένα "πραγματικό" κώνο, του οποίου η πλευρά είναι χωρίς καμπυλότητα, η επιφάνεια είναι ισοδύναμη με έναν κώνο, σε μικρή απόσταση από το κωνικό σημείο. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα κωνικό σημείο μιας επιφάνειας υπάρχει ένας "εφαπτόμενος κώνος".
Επιστρέφοντας στον κώνο μας. Μπορούμε εύκολα να κοντινοποιήσουμε δύο κωνικά σημεία. Μπορούμε ακόμα να κατασκευάσουμε φυσικά μια τέτοια επιφάνεια, από δύο τομές που κάνουμε σε ένα επίπεδο:
Τα σημεία που ξεκινούν από το A και το B είναι απλά "ραφές" ή "κόλλες". Μπορείτε να τα αφαιρέσετε:
Μπορείτε να συγχωνεύσετε τα κωνικά σημεία, στην περίπτωση που αυτό θα μετατρέψει το "διπλό κώνο" σε έναν κώνο, του οποίου η κορυφή θα περιέχει μια ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας ίση με το άθροισμα των καμπυλοτήτων που συγκεντρώθηκαν στα δύο κωνικά σημεία που συγχωνεύσαμε. q1 + q2
Μπορείτε, επομένως, να θεωρήσετε μια νέα τροποποίηση "συγχώνευση κωνικών σημείων":
ConfP
Με την αντίστροφή της: ( ConfP)-1
Πάρτε τώρα μια σφαίρα και τοποθετήστε οκτώ τμήματα πάνω της. Αυτό θα δημιουργήσει οκτώ δίεδρα και δεκαέξι κωνικά σημεία. Μπορείτε τότε να συγχωνεύσετε τα κωνικά σημεία δύο-δύο και να πάρετε ... ένα κύβο.
Έτσι, γνωρίζουμε τώρα πώς να μετατρέψουμε μια σφαίρα σε έναν κύβο, και αντίστροφα. Με τον ίδιο τρόπο, αυτό θα μας βοηθήσει να κατασκευάσουμε τις πολυεδρικές αναπαραστάσεις των επιφανειών. Με αυτό, "φουσκώστε" τον κύβο, όπως το ύφασμα της σκηνής προηγουμένως:
Οι ακμές έχουν εξαφανιστεί. Παίρνετε ένα αποτέλεσμα στο οποίο θα έφτανατε αν εισχωρούσατε οκτώ "πασσάλους" από το εσωτερικό μιας σφαίρας, δημιουργώντας οκτώ κωνικά σημεία. Εάν ένα εσωτερικό πλαίσιο διατηρούσε την απόσταση αυτών των οκτώ κορυφών, αλλά η εσωτερική πίεση ήταν αρκετά μεγάλη, θα μπορούσατε να κάνετε την ολική καμπυλότητα να είναι συγκεντρωμένη σε αυτά τα οκτώ κωνικά σημεία, δηλαδή p/2 για κάθε ένα (αν κατασκευάσετε οκτώ posicônes που περιέχουν κάθε ένα μια καμπυλότητα ίση με p/2, θα μπορούσατε να τα συναρμολογήσετε σχηματίζοντας αυτά τα αντικείμενα. Αν και η επιφάνεια φαίνεται καμπυλωμένη στην επαφή, η πυκνότητα της καμπυλότητας είναι παντού μηδέν: η ολική καμπυλότητα είναι συγκεντρωμένη στα οκτώ κωνικά σημεία). Συνολικά, θα ανακτήσετε την ολική καμπυλότητα της σφαίρας, δηλαδή 4p. Εάν τη στιγμή αυτή αυξήσετε ή μειώσετε την εσωτερική πίεση, ο κύβος θα παραμορφωθεί, τα τοιχώματά του περιέχοντας τώρα καμπυλότητα, αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα να παραμένει πάντα ίσο με την ολική καμπυλότητα της σφαίρας. Η εικόνα παρακάτω αντιστοιχεί σε ένα "κύβο σε κατάσταση υποπίεσης".
Τα κωνικά σημεία περιέχουν τώρα μεγαλύτερη καμπυλότητα από p/2, αλλά η εμφάνιση αρνητικής καμπυλότητας, παρακείμενα, αντισταθμίζει αυτό το πλεόνασμα.
Η άλλη επιφάνεια μπορεί να προκύψει από μια σφαίρα, τοποθετώντας σε αυτή οκτώ σημεία που σχηματίζουν τις οκτώ κορυφές ενός κύβου "προσαρτημένος από ένα σκλ