Αντιστροφή της σφαίρας στα μαθηματικά
...Πιθανόν να σας έχει ενδιαφέρει αυτό το περίεργο αντικείμενο. Πρόκειται για ένα έργο που έχει περισσότερα από δέκα χρόνια. Στην κατηγορία μαθηματικών, σύντομα θα εγκαταστήσω μία παρουσίαση για ένα από τα κύρια θέματα των σύγχρονων μαθηματικών: την Αντιστροφή της Σφαίρας. Πράγματι, όπως θα δείτε σε αυτή την ενότητα, μπορεί να αντιστραφεί μία σφαίρα από τη μία πλευρά στην άλλη, διατηρώντας τη συνέχεια του εφαπτομένου επιπέδου και υπό την προϋπόθεση να επιτραπεί στη σφαίρα να διαπεράσει τον εαυτό της. Συμμετείχα σε αυτή την περιπέτεια τη δεκαετία του '70 και ήμουν ο πρώτος που δημοσίευσα μία γραφική περιγραφή αυτής της διαδικασίας (Pour la Science, Ιανουάριος 1979). Ωστόσο, εφόσον μία σφαίρα μπορεί να αντιστραφεί, το ίδιο μπορεί και ένας κύβος. Η αντιστροφή του κύβου δεν έχει ακόμη εφευρεθεί. Είναι ένα θέμα έρευνας. Ίσως κάποιοι από εσάς να βρουν στοιχεία για αυτή τη μετασχηματισμό. Αλλά παρ' όλα αυτά, το αντικείμενο που βλέπετε εδώ είναι το κεντρικό μοντέλο της μετασχηματισμού. Θα δημοσιεύσω μία αποκοπή που θα σας επιτρέψει να το κατασκευάσετε και να το τοποθετήσετε στο γραφείο σας. Σε αυτό το «κεντρικό μοντέλο», ο κύβος είναι μισοαντιστραμμένος. Ας υποθέσουμε ότι η εξωτερική του επιφάνεια ήταν πράσινη, ενώ η εσωτερική κίτρινη. Μία σειρά διαπερασμών των επιφανειών οδηγεί τον κύβο σε αυτή τη διάταξη «με τέσσερις αυλάκες», η πολυεδρική εκδοχή του «ανοιχτού κεντρικού μοντέλου» του Bernard Morin.
...Αυτός ο κύβος δείχνει λοιπόν ένα υπόλοιπο από αυτό που ήταν το εξωτερικό του (τα «αυλάκια» πράσινα) και αυτό που εμφανίστηκε μετά τις μετασχηματισμούς (τα «αυλάκια» κίτρινα, που αντιστοιχούν στο εσωτερικό του αντικειμένου). Η γραμμή D δείχνει το διπλό σημείο του μοντέλου. Η γραμμή Q δείχνει το τετραπλό σημείο (όπου τέμνονται τέσσερεις επιφάνειες). Γνωρίζουμε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός διαδοχικών παραμορφώσεων που μετασχηματίζουν τον πράσινο κύβο σε αυτό το αντικείμενο με τετραπλή συμμετρία. Αυτές οι παραμορφώσεις είναι μόνο οι πολυεδρικές εκδοχές της άπειρης ποικιλίας παραμορφώσεων που μετασχηματίζουν μία σφαίρα (πράσινη εξωτερικά) σε ένα μοντέλο με τέσσερις αυλάκες (δύο πράσινες και δύο κίτρινες). Παραμένει να βρεθούν, να εφευρεθούν οι απλούστερες ενδιάμεσες φάσεις με το ελάχιστο δυνατό αριθμό πλευρών, κορυφών και ακμών. Αυτό είναι ένα όμορφο έργο έρευνας.
...Εν παραλλήλω, αυτό αποδεικνύει ότι ο κύβος μπορεί να αντιστραφεί από τη μία πλευρά στην άλλη (όπως και η σφαίρα, από την οποία είναι μόνο η πολυεδρική εκδοχή). Πράγματι, για όποιον διαθέτει την αναφερόμενη ακολουθία, αρκεί να περιστρέψει το μοντέλο κατά 90° γύρω από τον άξονά του συμμετρίας, και στη συνέχεια να εφαρμόσει την ακολουθία ανάποδα για να φτάσει σε έναν... κίτρινο κύβο.
