...Πιθανώς να σας έχει κινήσει την περιέργεια αυτό το παράξενο αντικείμενο. Πρόκειται για μια εργασία που έχει πάνω από δέκα χρόνια. Στη στήλη των μαθηματικών δεν θα αργήσω να εγκαταστήσω μια παρουσίαση ενός θέματος αστέρι των σύγχρονων μαθηματικών: το Αναποδογύρισμα της Σφαίρας. Συμβαίνει, και θα το ανακαλύψετε σε αυτή την ενότητα, ότι μπορεί κανείς να αναποδογυρίσει μια σφαίρα από τη μια πλευρά στην άλλη, διατηρώντας τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου της και υπό τον όρο να της δώσει τη δυνατότητα να αυτοδιαπερνάται. Συμμετείχα σε αυτή την περιπέτεια, στη δεκαετία του εβδομήντα και ήμουν ο πρώτος που έδωσε μια ευανάγνωστη γραφική περιγραφή της (Pour la Science, Ιανουάριος 1979). Αλλά υπό αυτές τις συνθήκες, αν μια σφαίρα μπορεί να αναποδογυριστεί, ένας κύβος μπορεί να κάνει το ίδιο. Το αναποδογύρισμα του κύβου δεν έχει ακόμη εφευρεθεί. Είναι θέμα έρευνας. Ίσως κάποιοι από εσάς βρουν στοιχεία αυτού του μετασχηματισμού. Εν πάση περιπτώσει, το παραπάνω αντικείμενο είναι το κεντρικό μοντέλο του μετασχηματισμού. Θα βάλω ένα κόψιμο που θα σας επιτρέψει να το κατασκευάσετε και να το τοποθετήσετε στο γραφείο σας. Σε ένα τέτοιο "κεντρικό μοντέλο" ο κύβος είναι μισοαναποδογυρισμένος.
Ας υποθέσουμε ότι η επιφάνειά του είχε πράσινο χρώμα εξωτερικά και κίτρινο εσωτερικά. Μια διαδοχή διασταυρώσεων των στρωμάτων φέρνει τον κύβο σε αυτή τη διαμόρφωση "με τέσσερα αυτιά", πολυεδρική εκδοχή του "ανοιχτού κεντρικού μοντέλου" του Bernard Morin.
...Αυτός ο κύβος δείχνει λοιπόν ένα κατάλοιπο αυτού που ήταν το εξωτερικό του (τα πράσινα "αυτιά") και αυτού που εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα αυτών των μετασχηματισμών (τα κίτρινα "αυτιά", που αντιστοιχούν στο εσωτερικό του αντικειμένου). Το γράμμα D δείχνει το διπλό σημείο του μοντέλου. Το γράμμα Q το τετραπλό σημείο (όπου διασταυρώνονται τέσσερα στρώματα). Γνωρίζουμε ότι υπάρχει άπειρο πλήθος διαδοχικών παραμορφώσεων που επιτρέπουν να μετασχηματίσουμε τον πράσινο κύβο μας σε αυτό το αντικείμενο με τεταρτοταγή συμμετρία. Αυτές οι παραμορφώσεις δεν είναι παρά οι πολυεδρικές εκδοχές του άπειρου πλήθους παραμορφώσεων που επιτρέπουν να μετασχηματίσουμε μια σφαίρα (πράσινη εξωτερικά) σε μοντέλο με τέσσερα αυτιά (δύο πράσινα και δύο κίτρινα). Μένει να βρούμε, να εφεύρουμε τα απλούστερα ενδιάμεσα βήματα, με ελάχιστο αριθμό εδρών, κορυφών και ακμών. Να μια ωραία ερευνητική εργασία.
...Παρεμπιπτόντως αυτό αποδεικνύει ότι ο κύβος μπορεί να αναποδογυριστεί από τη μια πλευρά στην άλλη (όπως η σφαίρα, της οποίας δεν είναι παρά η πολυεδρική εκδοχή). Πράγματι, για όποιον θα διέθετε την προαναφερθείσα ακολουθία, θα αρκούσε να κάνει στο μοντέλο μια περιστροφή 90° κατά τον άξονα συμμετρίας του, και στη συνέχεια να επαναλάβει την ακολουθία αντίστροφα για να καταλήξει σε έναν κύβο ... κίτρινο.
