Πολυεδρική αναπαράσταση ενός κορυφαίου σημείου, υπολογισμός της συγκεντρωμένης καμπυλότητας.
Πολυεδρικές αναπαραστάσεις διαφορετικών επιφανειών.
Μετάθεση των κορυφαίων σημείων μιας Cross cap.
Μετασχηματισμός μιας «δεξιάς» επιφάνειας Boy σε μια «αριστερή» επιφάνεια Boy, μέσω της επιφάνειας Steiner-Roman.
Αντιστροφή δεξιάς-αριστερής μιας επιφάνειας Boy.
Jean-Pierre Petit
Ερευνητής στο CNRS
1988-1999
Περίληψη:
Παρουσιάζονται ορισμένα στοιχεία που επιτρέπουν την αναπαράσταση σημείων συγκεντρωμένης καμπυλότητας: «ποζικόνες», «νεγκακόνες» και τα αντίστοιχα πολυεδρικά τους ισοδύναμα: «ποζικόινς» και «νεγκακόινς», τα οποία επιτρέπουν τη δημιουργία πολυεδρικών αναπαραστάσεων διαφορετικών επιφανειών και την ανακάλυψη της συνολικής καμπυλότητάς τους. Έτσι, η πολυεδρική αναπαράσταση της επιφάνειας Steiner-Roman αποτελείται από τέσσερα κύβους που ενώνονται κατά μήκος των ακμών τους, κάτι που την καθιστά πιο εύκολη στην κατανόηση. Μια πολυεδρική αναπαράσταση της επιφάνειας Boy είχε ήδη δοθεί στο Topologicon, 1985, εκδόσεις Belin, σελίδες 48 και 49, υπό μορφή αποκοπής, που πρέπει να κατασκευαστεί. Στη σελίδα 46 εμφανίζονταν επίσης πολυεδρικές αναπαραστάσεις του τόρου και της μπουκαλιάς Klein. Παρουσιάζονται πολυεδρικές αναπαραστάσεις της Cross-Cap. Η συνολική καμπυλότητα διαφόρων εμφυτεύσεων του επίπεδου προβολικού στο R³: επιφάνεια Boy, Cross-Cap, επιφάνεια Steiner-Roman, ισούται με 2π. Η πολυεδρική αναπαράσταση των κορυφαίων σημείων, ως σημείων συγκεντρωμένης καμπυλότητας, επιτρέπει τον υπολογισμό αυτής με μεγάλη απλότητα. Η Cross-Cap, η επιφάνεια Steiner-Roman και η επιφάνεια Boy παρουσιάζονται ως «οι διάφορες όψεις» ενός μοναδικού αντικειμένου: του προβολικού επιπέδου. Εφόσον αυτό δεν είναι αμέσως προφανές, δημιουργούμε γεωμετρικούς μετασχηματισμούς που επιτρέπουν τη μετάβαση από τη μία στην άλλη. Αρχίζουμε από τη Cross-Cap και τη μετασχηματίζουμε σε επιφάνεια Steiner-Roman προσθέτοντας δύο επιπλέον κορυφαία σημεία (δηλαδή υλοποιούμε, με αυτή την κατεύθυνση, τη γενική μεταβολή «δημιουργία-καταστροφή κορυφαίων σημείων»), στη συνέχεια μετασχηματίζουμε την επιφάνεια Steiner σε επιφάνεια Boy με σύγκλιση ζευγών κορυφαίων σημείων. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η κανονική εμφύτευση της σφαίρας μπορεί να μετασχηματιστεί στην αντίθετη εμφύτευσή της (αναστροφή της σφαίρας), δείχνουμε ότι τα δύο κορυφαία σημεία μιας Cross-Cap μπορούν να ανταλλαγούν μέσω μιας σειράς εμφυτεύσεων, ο μετασχηματισμός που δείχνει ότι αυτά τα δύο σημεία είναι ισοδύναμα.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ:
Ο αναγνώστης θα βρει εδώ γενικά στοιχεία που βρίσκονται επίσης στην εισαγωγή του GEOMETRICAL PHYSICS A (ορισμός των ποζικόνων, νεγκακόνων κ.λπ.). Αν θέλει να παραλείψει αυτή την παράγραφο, μπορεί απλώς να
κάνει κλικ εδώ
.
Αν σχεδιάσουμε σε ένα επίπεδο ένα τρίγωνο από ευθύγραμμα τμήματα, το άθροισμα των γωνιών στις κορυφές ισούται με π. Αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα του επιπέδου μπορούν να προκύψουν διαφορετικά: συγκολλώντας στην επιφάνεια λωρίδες από ταινία κόλλας, χωρίς να προκαλέσουμε πτυχές. Τα τέτοια μονοπάτια στο επίπεδο τα ονομάζουμε γεωδαισιακές γραμμές. Μπορούμε να σχεδιάσουμε γεωδαισιακές καμπύλες σε οποιαδήποτε επιφάνεια με αυτό τον τρόπο, για παράδειγμα στο φτερό ενός αυτοκινήτου ή στην καπό του.
Εικόνα 1: Ένα τρίγωνο που θεωρείται ως σύνολο τριών γεωδαισιακών του επιπέδου
ΠΟΖΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΝΕΓΚΑΚΟΝΕΣ
Κάνουμε μία κοπή σε ένα επίπεδο, συγκολλούμε τις δύο πλευρές και σχεδιάζουμε ένα τρίγωνο με την ταινία κόλλας, αποτελούμενο από τρεις γεωδαισιακές του κώνου.
Εικόνα 2: Κατασκευή ενός ποζικόνου.
Αν διαχωρίσουμε τις δύο πλευρές της επιφάνειας κατά μήκος της προηγούμενης κοπής (Εικόνα 3), θα διαπιστώσουμε εύκολα, χρησιμοποιώντας γωνιόμετρο, ότι το άθροισμα των γωνιών A, B και C είναι ίσο με π πλην τη γωνία της κοπής α. Αυτή η απόκλιση από το ευκλείδειο άθροισμα το ονομάζουμε καμπυλότητα και θα πούμε ότι το τρίγωνο «περιέχει» μία συγκεκριμένη ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας α. Αυτή η απόκλιση θα είναι η ίδια για όλα τα τρίγωνα, εάν αυτά περιέχουν την κορυφή του κώνου. Εάν δεν την περιέχουν, το άθροισμα θα είναι π. Θα πούμε ότι η καμπυλότητα συγκεντρώνεται στην κορυφή M του κώνου, η οποία είναι τότε ένα «σημείο συγκεντρωμένης καμπυλότητας». Εφόσον το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο από το ευκλείδειο άθροισμα, θα πούμε ότι αυτή η καμπυλότητα είναι θετική. Έτσι, ένα επίπεδο θα ήταν, σε αυτή την οπτική, μία επιφάνεια με μηδενική καμπυλότητα.
Εικόνα 3: Το ποζικόνο στο επίπεδο.
Η καμπυλότητα είναι προσθετική. Αν συγκολλήσετε μερικούς από αυτούς τους κώνους, αντίστοιχα γωνίες α, β, γ, μπορείτε να σχεδιάσετε διάφορα τρίγωνα από τόξα γεωδαισιακών. Εάν το τρίγωνο περικλείει τρία σημεία που αντιστοιχούν σε καμπυλότητες ίσες με α, β, γ, τότε το άθροισμα των γωνιών στις κορυφές θα είναι: π + α + β + γ.
Μπορούμε να θεωρήσουμε μία επιφάνεια με θετική καμπυλότητα ως σφαίρα ως συναρμολόγηση απείρων «ποζικόνων». Αντί να έχουμε καμπυλότητα συγκεντρωμένη σε διάφορα σημεία, θα έχουμε καμπυλότητα ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλη την επιφάνεια. Θα πούμε ότι η σφαίρα είναι μία επιφάνεια «με σταθερή καμπυλότητα» (ή με «σταθερή πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας»).
Εικόνα 4: Ένα τρίγωνο από τρία τόξα γεωδαισιακών.
Στη σφαίρα, οι γεωδαισιακές είναι «μεγάλοι κύκλοι». Ο ισημερινός και οι μεσημβρινοί είναι μεγάλοι κύκλοι, είναι τόξα γεωδαισιακών της σφαίρας. Αλλά δεν θα καταφέρετε να δημιουργήσετε ένα παράλληλο με ταινία κόλλας. Τα παράλληλα δεν είναι γεωδαισιακές της σφαίρας. Το άθροισμα των γωνιών στις κορυφές ενός τριγώνου που σχεδιάστηκε σε μία σφαίρα εξαρτάται από το λόγο μεταξύ της επιφάνειας του τριγώνου και της επιφάνειας της σφαίρας. Το άθροισμα των γωνιών ενός πολύ μικρού τριγώνου θα είναι πολύ κοντά σε π.
Ένα τρίγωνο με επιφάνεια ένα οκτό της επιφάνειας της σφαίρας θα είχε άθροισμα A + B + C = 2π.
Ένας μεγάλος κύκλος της σφαίρας μπορεί να θεωρηθεί ως «τρίγωνο», εφόσον τοποθετήσουμε τις τρεις κορυφές... παντού σε αυτόν τον κύκλο. Το άθροισμα A + B + C θα είναι 3π. Περιέχει το μισό της επιφάνειας της σφαίρας.
Ποια είναι η μέγιστη απόκλιση; Δεν μπορούμε να πούμε «επεκτείνουμε» το τρίγωνο πέρα από αυτόν τον μεγάλο κύκλο, εφόσον μετά από αυτόν η μήκος των γεωδαισιακών τόξων που αποτελούν τις πλευρές του θα μειωθεί και θα τείνει στο μηδέν.
Όταν έχουμε περικλείσει όλη την επιφάνεια της σφαίρας, παίρνουμε A + B + C = 5π = π + 4π.
Θα πούμε ότι η συνολική καμπυλότητα της σφαίρας είναι 4π.
Εικόνα 5: Άθροισμα γωνιών. Τρίγωνο από τόξα γεωδαισιακών της σφαίρας.
Η ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται σε ένα τρίγωνο αντιστοιχεί σε μία απλή τριάδα:
Τώρα θα δημιουργήσουμε ένα «νεγκακόνο», εισαγάγοντας αυτή τη φορά ένα γωνιακό τμήμα α σε ένα επίπεδο, όπως φαίνεται στην εικόνα 6.
Εικόνα 6: Ένα «νεγκακόνο».
Όταν αφαιρέσουμε το γωνιακό τμήμα, παίρνουμε αυτό:
Εικόνα 7: Το νεγκακόνο στο επίπεδο.
Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι A + B + C = π - α.
Θα πούμε ότι αυτή η επιφάνεια είναι ένα νεγκακόνο με ένα «σημείο συγκεντρωμένης καμπυλότητας, αρνητική». Αυτή η καμπυλότητα είναι επίσης προσθετική. Με τη σύνθεση μίας επιφάνειας με την εφαρμογή μικρών ποζικόνων και μικρών νεγκακόνων, μπορούμε να δημιουργήσουμε μία επιφάνεια όπου η τοπική τιμή της καμπυλότητας να είναι οποιαδήποτε.
Η εικόνα 7 είναι μία επιφάνεια με αρνητική κατανεμημένη καμπυλότητα. Θα πούμε επίσης ότι αυτή η επιφάνεια διαθέτει, σε κάθε σημείο, μία «πυκνότητα καμπυλότητας» (γωνιακή). Η αρνητική απόκλιση από την ευκλείδεια τιμή του αθροίσματος των γωνιών εξαρτάται επίσης από την επιφάνεια του τριγώνου. Όσο μικρότερη είναι, τόσο πιο κοντά θα είναι το άθροισμα στο π.
Εικόνα 7: Επιφάνεια με αρνητική (γωνιακή) πυκνότητα καμπυλότητας.
Η εικόνα 8 δείχνει ένα παράδειγμα συνάρμοσης τριών περιοχών, με θετική, αρνητική και μηδενική πυκνότητα καμπυλότητας.
Εικόνα 8: Επιφάνεια με μεταβλητή πυκνότητα καμπυλότητας. Μηδενική στην επίπεδη περιοχή, θετική στη σφαιρική κοίτη, αρνητική στη σύνδεση (γκρίζα).
Αν σχεδιάσουμε γεωδαισιακές, παίρνουμε αυτό:
Εικόνα 9: Επίπεδη προβολή, με γεωδαισιακές.
Στο επιλεγμένο παράδειγμα, η ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται στη σφαιρική κοίτη είναι ίση και αντίθετη με αυτή της σύνδεσης (υποθέτουμε ότι η εφαπτόμενη επίπεδη επιφάνεια μεταβάλλεται συνεχώς). Παράδειγμα στην εικόνα 10, παρακάτω:
Εικόνα 10: Τα γεωδαισιακά τρίγωνα, σχεδιασμένα στην επίπεδη περιοχή, περιλαμβάνουν όλη την καμπυλότητα που περιέχουν. Εφόσον το άθροισμα των τριών γωνιών είναι π, είναι εγγεγραμμένα σε μία ευκλείδεια επιφάνεια (επίπεδο). Συνεπώς, οι «συνολικές καμπυλότητες» που περιέχονται στη σφαιρική κοίτη και στη γκρίζα σύνδεση είναι ίσες και αντίθετες.
Μερικές επιφάνειες, όπως το κύλινδρο, μας φαίνονται να διαθέτουν κάποια καμπυλότητα. Αλλά αν σχεδιάσετε σε αυτόν ένα τρίγωνο με τόξα γεωδαισιακών και στη συνέχεια το βάλετε επίπεδο (όπως τα ποζικόνα και τα νεγκακόνα, ο κύλινδρος είναι «αναπτύξιμος»), θα διαπιστώσετε ότι το άθροισμα είναι 180°. Ο κύλινδρος, σε αυτή την έννοια της καμπυλότητας, είναι «επίπεδος».
Εικόνα 11: Ένας κύλινδρος στον οποίο σχεδιάστηκε ένα γεωδαισιακό τρίγωνο, και η επίπεδη ανάπτυξή του.
Μία πτύξη δεν εισάγει κανένα αποτέλεσμα καμπυλότητας, και μπορείτε να το επαληθεύσετε επίσης με την ταινία κόλλας σας.
Εικόνα 12: Μία γεωδαισιακή που διασχίζει μία πτύξη. Η πτύξη δεν αλλάζει την επίπεδη ανάπτυξή της:
Δεν περιέχει καμπυλότητα.
ΠΟΖΙΚΟΙΝΣ ΚΑΙ ΝΕΓΚΑΚΟΙΝΣ.
Τα «κοντά» είναι σημεία συγκέντρωσης καμπυλότητας. Οι ακμές δεν περιέχουν καμπυλότητα. Οι εικόνες 6 και 7 δείχνουν πώς να δημιουργήσουμε ένα ποζικόιν αντίστοιχο με συγκεντρωμένη καμπυλότητα +π/2 και ένα νεγκακόιν με συγκεντρωμένη καμπυλότητα -π/2.
Εικόνα 13: Δημιουργία ποζικόιν +π/2
Εικόνα 14: Δημιουργία ποζικόιν +π/4
Εικόνα 15: Δημιουργία νεγκακόιν -π/2.
Με οκτώ ποζικόιν μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν κύβο, ο οποίος είναι μία από τις πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας.
Εικόνα 15: Ο κύβος, πολυεδρική αναπαράσταση της σφαίρας
Ανακαλύπτουμε τη συνολική καμπυλότητα της σφαίρας:
4π
Με οκτώ ποζικόιν και οκτώ νεγκακόιν μπορούμε να δημιουργήσουμε μία πολυεδρική αναπαράσταση του τόρου και να ανακαλύψουμε τη συνολική καμπυλότητά του: μηδέν.
Εικόνα 16: Πολυεδρική αναπαράσταση του τόρου.
ΚΟΡΥΦΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ
Η Cross-Cap είναι μία από τις διάφορες όψεις που έχει πάρει το προβολικό επίπεδο στο R³. Δεν μπορεί να εμφυτευθεί εκεί. Η Cross-Cap διαθέτει ένα σύνολο αυτοτομών που παρουσιάζεται ως ευθύγραμμο τμήμα, των άκρων του οποίου αντιστοιχούν σημεία που ονομάζονται κορυφαία σημεία.
Οι εικόνες 17, 18 και 19 δείχνουν πώς μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα κορυφαίο σημείο σε περιοχές με θετική, αρνητική ή μηδενική καμπυλότητα.
Εικόνα 17: Δημιουργία κορυφαίου σημείου σε περιοχή με θετική καμπυλότητα.
Εικόνα 18: Δημιουργία κορυφαίου σημείου σε περιοχή με αρνητική καμπυλότητα.
Εικόνα 19: Δημιουργία κορυφαίου σημείου σε περιοχή με μηδενική καμπυλότητα (κύλινδρος).
Η εικόνα 20 δείχνει μία πολυεδρική αναπαράσταση του κορυφαίου σημείου, την οποία θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια.
Εικόνα 20: Πολυεδρική αναπαράσταση ενός κορυφαίου σημείου
Η CROSS-CAP
Οι εικόνες 21a και 22b είναι δύο πολυεδρικές αναπαραστάσεις της Cross-Cap, εύκολες στην κατανόηση.
Εικόνα 21a και 21b: Πολυεδρικές αναπαραστάσεις της Cross-Cap.
Γνωρίζουμε ότι η συνολική καμπυλότητα της Cross-Cap είναι ίση με 2π. Πώς μπορούμε να την ανακαλύψουμε από μία πολυεδρική αναπαράσταση;
Η εικόνα 22 επιτρέπει τον υπολογισμό της συγκεντρωμένης καμπυλότητας σε ένα κορυφαίο σημείο όπως παρουσιάζεται στην εικόνα 20.
Εικόνα 22: Συγκέντρωση καμπυλότητας σε ένα κορυφαίο σημείο.
Το μονοπάτι που φαίνεται περιλαμβάνει έξι ορθές γωνίες. Οι κλώσεις 2, 5, 7 και 10 εκτελούνται σε ακμές και δεν περιέχουν καμπυλότητα. Το μονοπάτι 1-2-3 εκτελείται κατά μήκος γεωδαισιακής της επιφάνειας. Η συγκεντρωμένη καμπυλότητα σε αυτό το ειδικό κορυφαίο σημείο, όπου τα φύλλα τέμνονται με ορθές γωνίες, είναι ίση με -π. Αν αναφερθούμε τώρα στην εικόνα 21a και προσθέσουμε τις καμπυλότητες, βρίσκουμε -2π. Υπάρχουν:
Δώδεκα ποζικόιν +π/2
Τέσσερα νεγκακόιν -π/2
Δύο κορυφαία σημεία -π
Άθροισμα 2π
Οι εικόνες 21a και 21b δείχνουν την ταυτότητα των δύο κορυφαίων σημείων C1 και C2.
Εικόνα 23: Συναρμολόγηση δύο πολυεδρικών Cross-Cap.
Εικόνα 24: Τελική συναρμολόγηση.
Μετά από όλα αυτά, είμαστε σε θέση να κατανοήσουμε καλά τη γεωμετρική δομή μίας Cross-Cap.
Εικόνα 25: Η Cross-Cap και η συναρμολόγηση των δύο κορυφαίων σημείων της. Το κορυφαίο σημείο C1 δημιουργήθηκε σε περιοχή με τοπική καμπυλότητα (ή πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας) θετική (βλ. εικόνα 16), το C2 σε περιοχή με αρνητική τοπική καμπυλότητα (βλ. εικόνα 17).
Η ίδια, χωρίς αυτά τα λεπτομέρεια:
Εικόνα 14: Η Cross-Cap και τα δύο κορυφαία σημεία της.
ΜΕΤΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΚΟΡΥΦΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ CROSS-CAP
Υπάρχει μία συμμετρία μεταξύ αυτών των δύο σημείων, η οποία δεν είναι αμέσως προφανής.
Παράθεση:
Για να μιλήσουμε λίγο για την ιστορία, έθεσα αυτό το πρόβλημα μετά τη συμμετοχή μου σε μία διάσκεψη για την ψυχανάλυση Lacanienne στην Aix-en-Provence, κατόπιν πρόσκλησης από το επιτροπή οργάνωσης. Ερωτώμενοι για το τι κάνει η ψυχανάλυση Lacanienne σε μία παρουσίαση γεωμετρίας. Ο Lacan, τώρα αποβιώντας, είχε διατυπώσει στο παρελθόν θεωρίες αρκετά αδιαπέραστες για τη δομή του μας εγκεφάλου, η οποία θα ήταν σύμφωνα με αυτόν δομημένη γύρω από ένα «μικρό α», πραγματικό «κέντρο οργάνωσης της γλώσσας». Για τον Lacan, όλα είναι γλώσσα (εξαιτίας της διάσημης φράσης του «το σεξουαλικό πράγμα δεν υπάρχει»). Τώρα που έχει πεθάνει, τα λόγια του διαλύονται λίγο. Αλλά ενώ ζούσε, οι ομιλίες του στην Εκπαιδευτική Σχολή Επιστημών προκαλούσαν αναστάτωση στο όλο Παρίσι. Οι διάσημοι του κινηματογράφου ήθελαν να τον δουν. Άγγιζαν για να ακούσουν τις απόκρυφες του φράσεις. Μία από τις μαθήτριές του, Jeanne Granier-Deferre, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ήταν μία από τις πιστές (ο λακανισμός ήταν σχεδόν δομημένος σαν μία εκκλησία όπου ο Lacan ήταν ο Γούρου (που ακόμη και φορούσε το κοστούμι του, βλ. κάποια τηλεοπτικά υλικά)), είχε δημοσιεύσει ένα βιβλίο με τίτλο «Η τοπολογία σύμφωνα με τον Jacques Lacan» (...). Ο Lacan είχε αναζητήσει μία μονόπλευρη επιφάνεια για να μοντελοποιήσει τη γεωμετρική-γλωσσική δομή της «ψυχής» μας. Γιατί μονόπλευρη; Για να απεικονίσει αυτό που ονομάζει εναντιοσημία, το διπλό νόημα.
Η ιδέα δεν είναι καθόλου ανόητη. Παράδειγμα η διάσημη φράση του Lacan:
Ένας άνθρωπος είναι ένας άνθρωπος.
όπου τα πέντε χαρακτήρες που αποτελούν τη λέξη «άνθρωπος» δεν έχουν το ίδιο νόημα στα δύο μέρη της φράσης. Αριστερά, η λέξη «άνθρωπος» αναφέρεται στον άρρενα του είδους του ανθρώπου. Δεξιά: η λέξη αναφέρεται στα πολιτισμικά του χαρακτηριστικά (αρρενωπότητα, συμπεριφορά, κ.λπ.). Σύμφωνα με τον Lacan, η γλώσσα μας χρησιμοποιεί συνεχώς το διπλό νόημα, σε μία δυαδικότητα σημαινόμενο-σημαινόμενο, πράγμα που δεν είναι καθόλου ανόητο. Θα μπορούσαμε να εκτείνουμε τις ιδέες του πρώην Jacques, αλλά θα μας οδηγούσε πολύ μακριά. Θα του αφιερώσω ένα φάκελο, που θα τον �