Επιστρέφοντας στην κλάση αυτή των ομοτοπιών των εμφυτεύσεων του τόρου στο R3. Μπορούμε εύκολα να συνδέσουμε τα δύο αντικείμενα που φαίνονται με μια μετασχηματισμό "C". Παίρνουμε ένα τόρο και "το διαπερνάμε" σε κάποιο σημείο, δημιουργώντας μια γραμμή διπλών σημείων που είναι ένας κύκλος:
Έχω βάλει "δύο χρώματα": γκρι για το εξωτερικό του τόρου, λευκό για το εσωτερικό. Το "διαπέρασμα" παραπάνω (που οδηγεί σε μια από τις άπειρες δυνατές εμφυτεύσεις του "τόρου κανονικού") εμφανίζει λοιπόν μια λευκή περιοχή της επιφάνειας.
Παρατηρήστε αυτό το αντικείμενο από ένα σημείο που βρίσκεται πάνω στον άξονα του τόρου:
Στην κορυφή, η περιοχή του εσωτερικού (λευκό) του τόρου, που έφερε στο φως το διαπέρασμα. Μπορούμε τότε να εφαρμόσουμε μια "μετασχηματισμό C" και να δημιουργήσουμε δύο κορυφές.
Στο σημείο που δείχνει το βέλος, "σφίγγουμε" ένα δρόμο. Η ενέργεια δημιουργεί δύο κορυφές C1 και C2:
που μπορούν να μετακινηθούν όπως παρακάτω:
Πλέον απομένει να εφαρμόσουμε μια μετασχηματισμό C
-1
(συμπύκνωση δύο κορυφών):
Παίρνουμε το αντικείμενο:
Αυτή η εμφύτευση του τόρου είναι ομότοπη με τον τόρο κανονικό.
Βλέπουμε ότι αυτή η ενέργεια "C" και η αντίστροφή της "C
-1
", που επεκτείνουν τον κόσμο των εμφυτεύσεων στον κόσμο των διατμήσεων των επιφανειών στο R3, μπορεί να κάνει πράγματα ενδιαφέροντα. Μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο των διατμήσεων των κλασσικών επιφανειών (Σφαίρα, Προβολικό Επίπεδο, Τόρος και Βαλίτσα του Klein). Πόσες κλάσεις έχει αυτό το σύνολο;
Είδαμε ότι η σφαίρα και το προβολικό επίπεδο ανήκαν σε μια κοινή κλάση (όπως και η επιφάνεια του Boy αριστερά και η επιφάνεια του Boy δεξιά). Πόσες κλάσεις διατμήσεων έχει ο τόρος; Πιστεύω, εκτός αν κάνω λάθος, ότι αυτό το πρόβλημα δεν έχει ακόμα λυθεί. Μπορούμε να περάσουμε από μια κλάση εμφυτεύσεων του τόρου σε μια άλλη, με τη βοήθεια των ενεργειών C, ή όχι; Αισθάνομαι ότι η απάντηση είναι όχι, αλλά αυτό είναι μόνο μια
υπόθεση.
Μια κατασκευή δεν μπορεί να αποδείξει μια αδυναμία, αλλά να δείξει μια δυνατότητα. Αν κάποιος βρει κατασκευές που επιτρέπουν τη μετάβαση από μια κλάση σε μια άλλη, τότε ο θεώρημα θα θεωρηθεί αποδεδειγμένο, αλλά το γεγονός ότι δεν βρίσκονται τέτοιες κατασκευές δεν αποτελεί από μόνο του απόδειξη. Η απουσία απόδειξης δεν είναι η απόδειξη της απουσίας. Να πει ότι υπάρχουν τέσσερις κλάσεις διατμήσεων του τόρου στο R3, ή να πει ότι υπάρχει μόνο μία, είναι
υποθέσεις
, απλές πεποιθήσεις, στην κατάσταση αυτή.
Παρατηρείται ότι ο Smale απέδειξε ότι το αναποδογύρισμα της σφαίρας είναι δυνατό πριν ο Phillips δώσει την πρώτη κατασκευή του. Μπορεί να είναι και το αντίστροφο. Αλλά ποιος θα είχε την ιδέα να ξεκινήσει μια τέτοια επιχείρηση, που αντιτίθεται πλήρως στη γεωμετρική μας ιδιοφυΐα;
Ο μετασχηματισμός C μπορεί να μετατρέψει μια σφαίρα σε ένα Cross cap, στη συνέχεια σε μια επιφάνεια του Boy, μέσω της επιφάνειας του Steiner. Παρακαλώ δείτε το άρθρο. Μπορεί να μετατρέψει ένα τόρο σε μια βαλίτσα του Klein; Λογικά ναι, αλλά δεν έχω την απάντηση στην ερώτηση αυτή.
Στο παρελθόν, γιατί να μιλάμε για "προβολικό επίπεδο"; Τα αντικείμενα (μονόπλευρα) που φαίνονται είναι πεπερασμένα. Απάντηση του Souriau:
- Σε ένα επίπεδο υπάρχει "η ευθεία του απείρου". Απλά συναρμολογούμε αυτό το επίπεδο κατά μήκος της ευθείας του απείρου.
Η οποία, όπως είναι φυσικό, είναι μια κλειστή καμπύλη.
Στο Topologicon βρίσκεται ένα μικρό βίντεο, ένα "φύλλο", που δείχνει πώς ένας μπουφές του Möbius με τρία ημιστριφή μπορεί να μετατραπεί σε επιφάνεια του Boy. Η τελευταία εικόνα δείχνει αυτή την επιφάνεια, χωρίς ένα δίσκο. Αρκεί να προσθέσετε αυτόν το δίσκο για να ολοκληρώσετε την επιφάνεια. Μια επιφάνεια του Boy είναι λοιπόν ένας μπουφές του Möbius πλέον ένας δίσκος. Άσκηση: Χρησιμοποιώντας τα εργαλεία του Topologicon, υπολογίστε τη χαρακτηριστική Euler-Poincaré (που είναι 1).
Αντίστροφα, θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε από τον δίσκο και να τον αυξήσουμε, αυτοδιαπερνώντας, μέχρι να συναρμολογηθεί σε αυτόν τον μπουφές του Möbius με τρία ημιστριφή, που είναι μια άλλη κατασκευή.
Βρήκα τα σχέδια στην επικοινωνία 55 σελίδων που έκανα στο συνέδριο της Ψυχαναλυτικής Σχολής του Lacan στο Aix en Provence (4 και 5 Απριλίου 1987), αφιερωμένο στη "Παρανοϊκή" και που εμφανίζεται στα πρακτικά που έκαναν τα οργανωτικά τους. Θα χρησιμοποιήσω αυτό το κείμενο σε ένα μελλοντικό έγγραφο με τίτλο "JPP στο Lacan".
Πρώτη εικόνα: ο δίσκος που στρέφεται.
Παρακάτω, αρχή της δημιουργίας του συνόλου των αυτοτομών:
Η επόμενη εικόνα: εμφάνιση του τριπλού σημείου:
Παύω να βάζω σκιές, καθώς η επιφάνεια είναι σε διαδικασία να γίνει μονόπλευρη.
Παρακάτω, η επιφάνεια είναι έτοιμη να συναρμολογηθεί σε εαυτή της, κατά μήκος της περιφέρειάς της.
Εκεί, έχει απεικονιστεί ο μπουφές του Möbius με τρία ημιστριφή, ολοκληρώνοντας την επιφάνεια:
Η επόμενη εικόνα: αυτός ο ίδιος μπουφές.
Στη συνέχεια, η επιφάνεια του Boy, πλήρως σχηματισμένη. Δεν μπορούμε να πούμε, σε σχέση με τις εικόνες που παρουσιάζονται στο Topologicon, "ότι τη βλέπουμε από κάτω", μια επιφάνεια του Boy δεν έχει ούτε ουρά ούτε κεφάλι. Ας πούμε ότι όπως φαίνεται, βλέπουμε το τριπλό σημείο της.
Παρακάτω, το σύνολο των αυτοτομών της:
Έχετε δει, με τα μάτια σας, να αναπτύσσεται το επίπεδο στη "ευθεία του απείρου". Από εκεί προέρχεται το όνομά της: "προβολικό επίπεδο", αρκετά παράξενο, αρχικά. Ίσως είναι η πρώτη φορά που το άπειρο φαίνεται τόσο κοντά στους ανθρώπους.
Αυτές οι εικόνες είχαν σχεδιαστεί πριν από μια καλή δεκαετία και αυτός ο ιστότοπος, ή αυτός ο CD, προσφέρει τέλος τη δυνατότητα να τις δείτε. Ο αναγνώστης ίσως ρωτήσει γιατί δεν εμφανίστηκαν στο "Pour la Science" ή στο "La Recherche". Δεν είναι λόγος που δεν έστειλα άρθρα σε αυτές τις εκδόσεις, αλλά οι επιμελητές δεν βρήκαν το θέμα ενδιαφέρον.
Ελπίζω ότι με αυτή τη "γεωμετρική κουβέντα", θα σπεύσετε να ανακαλύψετε πολλές νέες επιφάνειες. Ας δούμε μια από αυτές, που εφηύρε η κυρία Ivars. Πάρτε μια σφαίρα και εισάγετε σε δύο αντίθετες κατευθύνσεις, δύο τμήματα της ίδιας μήκους, μέχρι την επαφή, φανταζόμενοι ότι αυτά είναι συγκολλημένα σε δύο ράβδους, όπως αυτό:
Όταν τα τμήματα φθάσουν στην επαφή, μια "χειρουργική επέμβαση" γίνεται. Έχουμε ένα σταυρό στρωμάτων, κατά μήκος του τμήματος,