Προβλήματα γεωδαισικών.
Γνωρίζετε πώς να σχεδιάσετε γεωδαισικές σε μια επιφάνεια, χρησιμοποιώντας κολλητικό ταινία. Ερώτηση: υπό ποιες συνθήκες μια γεωδαισική που σχεδιάστηκε σε ένα κώνο μπορεί να επικαλυφθεί;
Πάρτε ένα σημείο σε ένα κώνο περιστροφής και ξεκινήστε μια γεωδαισική σε μια κατεύθυνση κάθετη σε μια από τις γεννήτριές του:
Θεωρήστε τη συμμετρική γεννήτρια, σε σχέση με τον άξονα περιστροφής του κώνου (κάθε κώνος μπορεί πάντα να παραμορφωθεί σε κώνο περιστροφής, χωρίς να επηρεάζει το σχέδιο των γεωδαισικών). Στην περίπτωση του σχεδίου παραπάνω, θα πάρατε αυτό, τοποθετώντας τον κώνο επίπεδα:
Γνωρίζουμε ότι το γωνιακό τμήμα αντιπροσωπεύει την ποσότητα της γωνιακής καμπυλότητας που συγκεντρώνεται στην κορυφή του κώνου. Η γεωδαισική μετατρέπεται τότε σε ευθεία του επιπέδου, επειδή η επιφάνεια είναι
αναπτύξιμη.
Βλέπουμε ότι για να μπορέσει μια γεωδαισική να επικαλυφθεί, πρέπει το γωνιακό τμήμα να είναι μεγαλύτερο από 180°, δηλαδή ο κώνος να είναι αρκετά οξύς.
Κατά την ανασύσταση του κώνου, θα πάρουμε:
Μπορεί μια γεωδαισική ενός κώνου να "φτάσει στην κορυφή";
Μόνο οι γεννήτριες του κώνου μπορούν να το κάνουν. Ποια και αν είναι η γεωδαισική που σχεδιάστηκε σε ένα κώνο, ακόμη και αν είναι πολύ κοντά στην κορυφή, δεν θα μπορέσει να την πλησιάσει, ακόμη και αν φαίνεται "σχεδιασμένη για να την πλησιάσει". Αρκεί να συνδέσετε την κορυφή του κώνου με το πλησιέστερο σημείο αυτής της γεωδαισικής. Η γεννήτρια θα τέμνει τη γεωδαισική σε ορθή γωνία. Θα μπορεί να γίνει μια κοπή κατά μήκος της αντίθετης γεωδαισικής και να τοποθετηθεί σε επίπεδο.
Ακόμη και αν ο κώνος είναι πολύ οξύς, θα πάρουμε μόνο συνεχόμενες επικαλύψεις.
Μπορούν οι γεωδαισικές να επικαλυφθούν απεριόριστα; Όταν αναπτύσσουμε τον κώνο, τα πράγματα πάνε ως αν η γεωδαισική "αναπηδά" στη γεννήτρια που συνδέει την κορυφή με το σημείο συνάντησης.
Παραπάνω, φαίνεται σαφώς ότι η "αναπήδηση" στέλνει τις δύο τμήματα της γεννήτριας σε τέτοιες κατευθύνσεις ώστε να μην μπορούν πλέον να επικαλυφθούν. Για να έχετε πολλαπλές επικαλύψεις χρειάζεται ένας πολύ οξύς κώνος.
Αλλά σε κάθε "αναπήδηση", η γωνία ανοίγει και τελικά παραμένει περικλεισμένη στο τμήμα 2p - q. Ο αριθμός των επικαλύψεων είναι πεπερασμένος.
Οι γεννήτριες του κώνου αποτελούν μια πολύ ιδιαίτερη οικογένεια. Αλλά τι ονομάζουμε κώνο;
Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αντικείμενο "κώνος" αντιστοιχεί στο σχέδιο παρακάτω, την αριστερή εικόνα. Οι γεωδαισικές-γεννήτριες είναι τότε ημιευθείες.
Αλλά μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ένας κώνος αντιστοιχεί στο αντικείμενο της δεξιάς. Σε αυτή την περίπτωση, τι ονομάζουμε γεωδαισική; Αν είναι το συντομότερο μονοπάτι που συνδέει δύο σημεία, μπορεί να πέσετε σε τέτοιες περιπτώσεις:
Μπορείτε να επιλέξετε μια κωνική δομή όπου κάθε γεννήτρια επεκτείνεται κατά μήκος μιας δεύτερης γεννήτριας που βρίσκεται στο δεύτερο ημικώνο και μόνο, σχηματίζοντας ένα συνεχές σύνολο. Μπορείτε να φανταστείτε κωνικά σημεία σε ένα χώρο τριών διαστάσεων (δείτε το άρθρο 11 του Geometrical Physics A).
Άλλοι τύποι ανωμαλιών.
Τα σημεία κορδονιού είναι σημεία ανωμαλίας. Μπορείτε να αριθμήσετε άλλα. Τα "κωνικά σημεία" για παράδειγμα, όπου τα σημεία αναστροφής της επιφάνειας, "σημεία τριχοφυΐας".
Στα αριστερά, μια σφαίρα με ένα κωνικό σημείο. Στα δεξιά, ένα σημείο τριχοφυΐας.
Δημιουργούμε ένα κωνικό σημείο με ένα στερεό. Μπορεί να ονομαστεί η τροποποίηση "δημιουργία κωνικού σημείου" P και το αντίστροφό της P
-1
. Ομοίως, η δημιουργία ενός σημείου τριχοφυΐας αντιστοιχεί στην τροποποίηση H. Στην πραγματικότητα, η δημιουργία της τριχοφυΐας ακολουθεί τη δημιουργία του κωνικού σημείου. Είναι ένα κωνικό σημείο του οποίου η γωνία στην κορυφή έχει γίνει μηδέν. Έτσι, η τροποποίηση που οδηγεί στην τριχοφυΐα μιας επιφάνειας θα είναι P H
και το αντίστροφό της: H
-1 P -1
. Υπάρχουν άλλοι τρόποι να τροποποιήσετε μια επιφάνεια, για παράδειγμα δημιουργώντας ένα δίεδρο. Η δημιουργία δίεδρου θα είναι η τροποποίηση D. Αυτή μπορεί να υλοποιηθεί ανεξάρτητα από άλλες τροποποιήσεις, υπό την προϋπόθεση να αφορά ένα κλειστό δρόμο (σε μια κανονική επιφάνεια). Το απλούστερο παράδειγμα είναι αυτό της σφαίρας. Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα "πτύσμα" κατά μήκος του ισημερινού της, για παράδειγμα. Κατά τη διάρκεια της διαδρομής, αυτό το πτύσμα θα περιέχει "γραμμική καμπυλότητα", θέμα που έχει ήδη εξεταστεί στην εισαγωγή του Geometrical Physics A.
Αν η τροποποίηση αυτή αφορά ένα τμήμα σε μια κανονική επιφάνεια, οι άκρες του θα υποστούν κάθε μια μια τροποποίηση P.
Πάρτε μια σφαίρα, μια "μαλακή", παραμορφώσιμη σφαίρα. Ας την τοποθετήσουμε μέσα με ένα τμήμα, ένα σκληρό ράβδο και να την καταπιεί. Τα δύο άκρα της ράβδου αρχίζουν να έρχονται σε επαφή με την επιφάνεια. Αποτέλεσμα "στερεό": εμφάνιση λίγων κωνικών σημείων. Συνεχίζουμε να σπρώχνουμε. Το τμήμα έρχεται σε επαφή με τη σφαίρα, αλλά το δίεδρο δεν σχηματίζεται ακόμα. Αν είναι σε επαφή με τη σφαίρα, αυτό σημαίνει μόνο ότι υπάρχει σε αυτή τη σφαίρα ένας ευθύγραμμος δρόμος AB. Αυτό όμως δεν σημαίνει αυτόματα ότι η σφαίρα έχει ένα πτύσμα. Μπορείτε να το συγκρίνετε με την τοποθέτηση μιας σκηνής κατασκήνωσης, με δύο στύλους. Τοποθετείτε τους στύλους
Αποτέλεσμα των δύο τροποποιήσεων P. Δημιουργία δύο κωνικών σημείων A και B.
και τεντώνετε ένα σύρμα που τους συνδέει. Αλλά αν το εσωτερικό της σκηνής είναι σε απελευθέρωση, το ύφασμα δεν θα κρεμαστεί στο σύρμα σχηματίζοντας ένα πτύσμα.
Τάση του σύρματος: η επιφάνεια αποκτά ένα ευθύγραμμο τμήμα AB. Αλλά αν ο αέρας πνέει και η σκηνή είναι σε ελαφριά υπερπίεση, το περιβάλλον του τμήματος θα μπορεί να διατηρήσει, κατά μήκος του τμήματος, τη συνέχεια του εφαπτομένου επιπέδου, μαρτυρώντας την οπτική της σκηνής, από ένα άλλο γωνιακό σημείο.
Αν ο αέρας σταματήσει να πνέει, οι τοίχοι της σκηνής θα πέσουν υπό την επίδραση του βάρους τους. Αμέσως μετά την έναρξη της κίνησης, η συνέχεια του εφαπτομένου επιπέδου καταστρέφεται. Το δίεδρο εμφανίζεται. Τροποποίηση D.
Τι χρησιμεύει αυτό;
Πριν προχωρήσουμε σε πρακτικές εφαρμογές, πρέπει να ορίσουμε μια άλλη τροποποίηση. Φανταστείτε έναν κώνο: έχει ένα κωνικό σημείο που συγκεντρώνει την "γωνιακή καμπυλότητα". Αν το κωνικό σημείο δεν ανήκει σε ένα "πραγματικό" κώνο, του οποίου η πλευρά δεν έχει καμπυλότητα, η επιφάνεια είναι αντίστοιχη με έναν κώνο, σε μικρή απόσταση από το κωνικό σημείο. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα κωνικό σημείο μιας επιφάνειας υπάρχει ένας "εφαπτομενικός κώνος".
Αλλά επιστρέφοντας στον κώνο μας. Μπορούμε εύκολα να κοντινοποιήσουμε δύο κωνικά σημεία. Μπορούμε ακόμη να κατασκευάσουμε φυσικά μια τέτοια επιφάνεια, από δύο τομές που κάνουμε σε ένα επίπεδο:
Οι γραμμές που ξεκινούν από το A και το B είναι απλά "ραφές" ή "κόλλες". Μπορείτε να τις αφαιρέσετε:
Μπορείτε να συγχωνεύσετε τα κωνικά σημεία, στην περίπτωση που αυτός ο "δικώνος" μετατραπεί σε κώνο, ο οποίος θα περιέχει μια ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας ίση με το άθροισμα των καμπυλοτήτων που συγκεντρώθηκαν στα δύο κωνικά σημεία που συγχώνευσαν.
q 1 + q 2
Μπορούμε, επομένως, να θεωρήσουμε μια νέα τροποποίηση "συγχώνευση κωνικών σημείων":
Conf
PAvec son inverse :
( Conf
P ) -1
Πάρτε τώρα μια σφαίρα και εισάγετε σε αυτή οκτώ τμήματα. Αυτό θα δημιουργήσει οκτώ δίεδρα και δεκαέξι κωνικά σημεία. Μπορείτε τότε να συγχωνεύσετε τα κωνικά σημεία ανά δύο και να πάρετε ... ένα κύβο.
Έτσι, γνωρίζουμε τώρα πώς να μετατρέψουμε μια σφαίρα σε έναν κύβο και αντίστροφα. Με τον ίδιο τρόπο, αυτό θα μας βοηθήσει να κατασκευάσουμε τις πολυεδρικές αναπαραστάσεις των επιφανειών. Αυτό, "φουσκώνοντας" τον κύβο, όπως το ύφασμα της σκηνής προηγουμένως:
Οι ακμές έχουν εξαφανιστεί. Παίρνετε ένα αποτέλεσμα που θα επιτύχατε αν εισάγατε οκτώ "πασσάλους" από το εσωτερικό μιας σφαίρας, δημιουργώντας οκτώ κωνικά σημεία. Αν ένα εσωτερικό πλαίσιο κρατούσε την απόσταση αυτών των οκτώ κορυφών, αλλά η εσωτερική πίεση ήταν αρκετά μεγάλη, θα μπορούσατε να καταστήσετε όλη την καμπυλότητα να είναι συγκεντρωμένη σε αυτά τα οκτώ κωνικά σημεία, δηλαδή π/2 για καθένα (αν κατασκευάσετε οκτώ κωνικά σημεία που περιέχουν κάθε ένα μια καμπυλότητα ίση με π/2, θα μπορέσετε να τα συναρμολογήσετε σχηματίζοντας αυτά τα αντικείμενα. Αν και η επιφάνεια φαίνεται καμπυλωμένη στην επαφή, η πυκνότητα της καμπυλότητας είναι παντού μηδενική: όλη η καμπυλότητα είναι συγκεντρωμένη στα οκτώ κωνικά σημεία). Συνολικά, θα ανακτήσετε τη συνολική καμπυλότητα της σφαίρας, δηλαδή 4π. Αν τη στιγμή αυτή αυξήσετε ή μειώσετε την εσωτερική πίεση, ο κύβος θα παραμορφωθεί, οι τοίχοι του θα περιέχουν τώρα καμπυλότητα, αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα να είναι πάντα ίσο με τη συνολική καμπυλότητα της σφα