νέος κόσμος κοσμολογίας διπλός κόσμος
Πρόλογος για το άρθρο που δημοσιεύτηκε το 1994 στο έντυπο Nuovo Cimento
...Το σημείο εκκίνησης αυτής της εργασίας βρίσκεται το 1977. Δύο σημειώσεις στα Πρακτικά της Ακαδημίας Επιστημών της Παρισιού:
J.P. Petit: «Κόσμοι εναντιομόρφοι με αντίθετες προσανατολίσεις χρόνου», Πρακτικά της Ακαδημίας, 8 Μαΐου 1977, τόμ. 285, σελ. 1217-1221
J.P. Petit: «Κόσμοι σε αλληλεπίδραση με την εικόνα τους στο κάθετο του χρόνου», Πρακτικά της Ακαδημίας, 6 Ιουνίου 1977, τόμ. 284, σειρά Α, σελ. 1413-1416
...Στο επόμενο άρθρο προσπαθήσαμε να δημιουργήσουμε μία αμφιμονότιμη σχέση (απεικόνιση ενδομορφική) μεταξύ των σημείων της γειτονιάς της Γης (σε κοσμολογική κλίμακα) και των συζυγών σημείων του δεύτερου κόσμου (που ονομάζουμε αυτόν τον κόσμο «διπλός κόσμος»: twin universe, ή «κόσμος-σκιά»: shadow universe, ή «κόσμος-φάντασμα»: ghost universe, όροι που στο νου μας είναι ισοδύναμοι), χρησιμοποιώντας μία σχέση αντιποδικότητας, που υπέθετε μία αρχική υπόθεση για την τοπολογία του γεωμετρικού αντικειμένου. Στη συνέχεια διαπιστώσαμε ότι αυτό δεν ήταν απαραίτητο, εφόσον μπορούσαμε να ορίσουμε την τοπική δομή (F,F*) ως διπλό κάλυμμα μίας «σκελετικής πολλαπλότητας». Η δομή είναι τότε αυτή του διπλού καλύμματος του projective P3, ισοδύναμη με τρεις διαστάσεις του projective P2, που είναι δύο διαστάσεων και γνωστότερο, έτσι η πιο γνωστή αναπαράσταση είναι η επιφάνεια που βρέθηκε το 1902 από τον Αυστριακό Werner Boy, βλ. εικόνα 184 (κατά προτίμηση αναμενόμενη εικόνα, όταν το site θα είναι πλήρες).
...Ο Boy ήταν μαθητής του μεγάλου μαθηματικού Hilberth, ο οποίος δήλωσε ότι ήταν πολύ ικανοποιημένος από την εφεύρεση του μαθητή του. Για την ιστορία, μετά την εφεύρεσή του, ο Boy αποχώρησε από το πανεπιστήμιο και δεν άκουσε ποτέ περισσότερο για αυτόν. Όλες οι έρευνες που πραγματοποίησαν οι ιστορικοί για να τον βρουν απέτυχαν. Δεν γνωρίζουμε εάν πέθανε από μια κακή γρίπη ή εάν έζησε τα τελευταία του χρόνια ως σωληνοκόπος.
...Οι γεωμέτρες γνωρίζουν ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε όλα τα σημεία μίας σφαίρας S2 σε συμπίεση με ένα projective P2, όπως αναφέρεται στην εικόνα 10 του παρακάτω άρθρου. Έτσι, το βόρειο πόλο φέρεται σε συμπίεση με το νότιο πόλο και ο ισημερινός εκτείνεται πάνω στον εαυτό του σύμφωνα με τον ψευδο-ισημερινό της επιφάνειας του Boy, ο οποίος επίσης αναφέρεται. Το διπλό κάλυμμα αυτό φαίνεται στην εικόνα 11 του άρθρου. Πρέπει να παρατηρήσουμε, τουλάχιστον σε δύο διαστάσεις, ότι αυτή η ενέργεια τοποθετεί σε συμπίεση αντικείμενα εναντιομόρφα, σε κάθετο. Οι εικόνες 12 και 13 είναι διδακτικές εικόνες που δείχνουν τώρα πώς θα τοποθετηθούν τα συσσωματώματα στις κενές περιοχές της αντιποδικής περιοχής.
...Αυτό το σύστημα του διπλού καλύμματος μπορεί να επεκταθεί σε τρεις και ακόμη και τέσσερις διαστάσεις, με σφαίρες S3 και S4, που καλύπτουν αντίστοιχα τα projective P3 και P4.
Πριν προχωρήσουμε περαιτέρω, μπορούμε να εξοικειώσουμε τον αναγνώστη με τη γεωμετρία αυτής της περίεργης επιφάνειας του Boy. Ο αναγνώστης θα βρει επίσης διάφορες εκδόσεις του αντικειμένου στο Topologicon (Εκδ. Belin, 1984).
...Αυτό που μπορεί να εκπλήξει φυσικά τον αναγνώστη είναι το γεγονός ότι αυτή η επιφάνεια διασχίζει τον εαυτό της σε ένα σύνολο αυτοτομών που είναι μία τριφύλλη καμπύλη, που υποδηλώνει μία σπείρα πλοίου:
...Σε αυτό το σχέδιο, στα αριστερά, έχει δημιουργηθεί μία διάκενη για να δείξει το τριπλό σημείο, όπου τρεις επιφάνειες τέμνονται. Αυτή η επιφάνεια φαίνεται πολύ ιδιαίτερη. Στην πραγματικότητα αυτό το αντικείμενο είναι ένας εξαιρετικός παράδειγμα που επιτρέπει να δείξουμε την έννοια του χώρου αναπαράστασης (3D) που αναφέρθηκε προηγουμένως.
...Το τριπλό σημείο T και η καμπύλη αυτοτομής οφείλονται μόνο στον τρόπο αναπαράστασης του projective P2 στο R3. Μία σφαίρα, ένας τόρος, μπορούν να ενταχθούν στο R3, δηλαδή να επιτρέψουν αναπαραστάσεις, τοπολογικά ισοδύναμες, όπου η επιφάνεια δεν διασχίζει τον εαυτό της. Αλλά είναι αδύνατο να ενταχθεί το projective P2 στο R3. Μπορούμε μόνο να εμβυθιστούμε το. Το παρακάτω σχέδιο (η επιφάνεια του Boy) είναι λοιπόν μία εμβύθιση του projective στο R3. Μία εμβύθιση ενός διδιάστατου αντικειμένου είναι μία μέθοδος αναπαράστασης στο R3 όπου θα βρεθεί μία γραμμή διπλών σημείων (η καμπύλη αυτοτομής), κατά μήκος της οποίας υπάρχουν δύο εφαπτόμενα επίπεδα, καθώς και ένα συγκεκριμένο αριθμό τριπλών σημείων όπου τρεις επιφάνειες τέμνονται. Η επιφάνεια του Boy είναι μία από τις άπειρες τρόπους να εμβυθιστεί το projective P2 στο R3. Θα βρείτε άλλες σε ένα άρθρο, που θα περιληφθεί στο site, με τίτλο «Οι διάφορες εμφανίσεις του projective επιπέδου».
...Είναι αρκετά εύκολο να ληφθούν εικόνες της επιφάνειας του Boy, μέσω μίας παραμετρικής αναπαράστασης που εφεύραμε και δημοσιεύσαμε
---> Ο αναγνώστης θα βρει στο υπο-site ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, μεταξύ άλλων, την αναπαραγωγή της σημείωσης που δημοσιεύτηκε το 1981 στην Ακαδημία Επιστημών της Παρισιού, με τον J. Souriau (όχι, αυτός δεν είναι ο διάσημος μαθηματικός, αλλά ένας από τους γιους του, ο Jérôme, που στη συνέχεια έγινε πληροφορικός), με αναφορά:
"Η αναλυτική αναπαράσταση της επιφάνειας του Boy", Σημείωση στα Πρακτικά της Ακαδημίας Επιστημών της Παρισιού, τόμ. 293 (5 Οκτωβρίου 1981), σειρά 1, σελ. 269-272
Εκεί αποδεικνύεται ότι η επιφάνεια διαθέτει ελλειπτικούς μεριδιανούς. Αυτή η ιδιότητα επιτρέπει τη σχεδίασή της εύκολα. Παρακάτω, το πρόγραμμα που βρίσκεται στην πρώτη σελίδα της διήγησής μου το Topologicon. * *
Πρόγραμμα BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM ΑΥΤΑ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y =Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM ΕΝΤΟΛΗ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
...Για μνήμη, αυτή η ανακάλυψη της δυνατότητας να αναπαρασταθεί αυτή η επιφάνεια μέσω ελλειπτικών μεριδιανών επέτρεψε στο μαθηματικό Apéry να λάβει την πρώτη αναπαράσταση υπό εμφανή μορφή, 6ου βαθμού:
f (x , y ,z) = 0
που δεν θα αναπαραχθεί (είναι αρκετά περίπλοκη και είμαστε πεπεισμένοι ότι υπάρχουν απλούστερες, αλλά αυτό θα αποτελέσει αντικείμενο άλλου εγγράφου που θα περιληφθεί στο site ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ).
...Η μπουκαλιά του Klein είναι γνωστότερη στους αναγνώστες. Είναι επίσης αδύνατο να ενταχθεί στο R3. Παρουσιάζεται τότε, στην πιο κλασική μορφή της, ως μία εμβύθιση με ένα σύνολο τομών που αποτελεί μία απλή κ