Αστροφυσική ύλης-φαντασμάτων ύλης. 7 :
Ο εγκλεισμός σφαιροειδών γαλαξιών από την περιβάλλουσα φαντασματική ύλη.(σ1)
Σχόλιο.
...Αυτή η εργασία αποτέλεσε αντικείμενο παθιασμένων συζητήσεων με τον μαθηματικό Jean-Marie Souriau, τον γείτονά μου και φίλο μου. Δεν καταφέραμε να συμφωνήσουμε και ο καθένας έμεινε σταθερός στις θέσεις του.
Souriau:
- Από τον Newton, καταλήγεις στον Poisson. Αλλά από τον Poisson, καταλήγεις στον Newton.
- Βεβαίως, αλλά από πού βγάζεις την εξίσωση Poisson, από το καπέλο σου;
- Λοιπόν, προτιμώ να αποφασίσω ότι το σύμπαν υπακούει στην εξίσωση Poisson, αυτό είναι όλο.. Έτσι είναι.
Αστροφυσική ύλης-φαντασμάτων ύλης. 7 :
Ο εγκλεισμός σφαιροειδών γαλαξιών από την περιβάλλουσα φαντασματική ύλη.
Jean-Pierre Petit & Pïerre Midy
Αστεροσκοπείο της Μασσαλίας
Γαλλία.
Περίληψη:
...Αυτή είναι μια νέα ματιά στην προέλευση της εξίσωσης Poisson. Δείχνουμε ότι για μια άπειρη κατανομή μάζας σταθερής πυκνότητας αυτή η εξίσωση απλώς δεν υπάρχει, διότι δεν μπορεί να οριστεί κανένα βαρυτικό δυναμικό. Η οικοδόμηση της εξίσωσης Poisson από τη γενική σχετικότητα απαιτεί μια λύση μετρικής μηδενικής τάξης σε σταθερή κατάσταση και έναν όρο διαταραχής της μετρικής σε σταθερή κατάσταση. Σε ένα ομοιόμορφο και απεριόριστο μέσο αυτά τα στοιχεία λείπουν. Ως συμπέρασμα, η φαντασματική ύλη που περιβάλλει έναν σφαιροειδή γαλαξία τον εγκλείει, παρόλο που αυτό είναι ένα σφαιρικά συμμετρικό σύστημα.
1) Εισαγωγή.
...Σε μια προηγούμενη εργασία εξετάσαμε τον εγκλεισμό ενός γαλαξία, λόγω του περιβάλλοντός του από φαντασματική ύλη. Τι συμβαίνει αν ο γαλαξίας είναι σφαιροειδής; Κάποιος θα απαντούσε: αυτός ο εγκλεισμός δεν μπορεί να υπάρξει, διότι αντιφάσκει με το θεώρημα του Gauss. Οποιαδήποτε ύλη που δημιουργεί ένα νευτώνειο πεδίο, αν βρίσκεται έξω από μια σφαίρα, δίνει μηδενική συνεισφορά σε αυτή την περιοχή του χώρου.
Αν, όπως συνήθιζαν να λένε οι Λακεδαιμόνιοι....
...Το σημείο εκκίνησης είναι ότι δέχεσαι a priori ότι το βαρυτικό πεδίο είναι νευτώνειο σε οποιαδήποτε απόσταση, το οποίο θα έπρεπε να αποδειχθεί. Η νευτώνεια δύναμη μεταβάλλεται ως 1/r2 . Θεωρήστε ένα μέσο, με σφαιρική συμμετρία, και διαδοχικά στρώματα, με το ίδιο πάχος Dr . Βλέπε σχήμα 1.
Σχ. 1 : Η συνεισφορά των διαδοχικών
στρωμάτων στη νευτώνεια δύναμη.
Αυτοί οι δύο όγκοι αντιστοιχούν σε μάζες:
(1)
M = r s Dr
και
M' = r s'
Dr
Οι αντίστοιχες συνεισφορές στη συνολική νευτώνεια δύναμη στο O είναι:
(2)
...Αλλά s � r2 ώστε F � F' . Αν κάποιος θέλει να υπολογίσει την τιμή του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο ενός άπειρου πεδίου ύλης σταθερής πυκνότητας, πρέπει να ασχοληθεί με την ύλη που βρίσκεται σε άπειρη απόσταση. Η συνεισφορά της δεν μπορεί να αγνοηθεί.
...Θεωρήστε ένα βασικό πρόβλημα. Έχουμε μια άπειρη κατανομή ύλης, σε όλο τον χώρο, και μια μοναδική σφαιρική κοιλότητα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το πεδίο στο εσωτερικό. Η βασική μέθοδος συνίσταται στο να ξεκινήσουμε από το πεδίο που οφείλεται σε μια άπειρη κατανομή ύλης σταθερής πυκνότητας. Πώς μοιάζει αυτό;
...Απλό, λέει ο αναγνώστης, ας εφαρμόσουμε την εξίσωση Poisson. Κάποιος υπολογίζει τη ροή του πεδίου μέσω μιας κλειστής επιφάνειας:
Σχ. 2 : Η ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας που οφείλεται σε ένα νευτώνειο πεδίο.
έπειτα εφαρμόζει το θεώρημα του Green:
(3)
Γράφοντας:
(4)
παίρνουμε την εξίσωση Poisson. Υποθέτουμε ότι αυτός ο τοπικός νόμος ισχύει παντού στον χώρο. Έπειτα, θεωρώντας ένα μέσο σταθερής πυκνότητας r, κατασκευάζουμε τη λύση:
(4bis)
D Y = 4 p G r
= σταθερά
Σε σφαιρική συμμετρία:
(5)
της οποίας η λύση είναι:
(6)
...Συμπέρασμα: αν πάρουμε οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο στον χώρο, του συνδέεται ένα ακτινικό πεδίο, το οποίο τείνει στο άπειρο σε άπειρη απόσταση!
Σχ.3 : Το "κλασικό" βαρυτικό πεδίο, σε ένα μέσο σταθερής πυκνότητας,
γύρω από οποιοδήποτε αυθαίρετα δεδομένο σημείο M.
...Δεν είναι παράξενο; Φυσικά, οποιοδήποτε δεδομένο σημείο P έλκεται εξίσου από όλα τα σημεία που βρίσκονται στην περιοχή του. Η συνισταμένη της δύναμης που ασκείται σε αυτό το σημείο θα έπρεπε να είναι μηδέν. Αν βασιστούμε σε αυτή την εξίσωση Poisson, δεν είναι. Γιατί;
