f31001 Αστροφυσική νεκρής ύλης. 7 : Περιορισμός σφαιροειδών γαλαξιών από την περιβάλλουσα νεκρή ύλη. (p1)
Σχολιασμός.
...Αυτή η εργασία αποτελεί αντικείμενο heated συζητήσεων με τον μαθηματικό Jean-Marie Souriau, γείτονα και φίλο μου. Δεν καταφέραμε να καταλήξουμε σε συμφωνία και ο καθένας παρέμεινε σταθερός στις θέσεις του.
Souriau :
- Από τον Νεύτωνα, καταλήγεις στον Poisson. Αλλά από τον Poisson, καταλήγεις στον Νεύτωνα.
- Ας πούμε, αλλά από πού βγάζεις την εξίσωση του Poisson, από το καπέλο σου;
- Λοιπόν, προτιμώ να αποφασίσω ότι το σύμπαν υπακούει στην εξίσωση του Poisson, αυτό είναι όλο. Έτσι είναι. --- * * * Αστροφυσική νεκρής ύλης. 7 :*
Περιορισμός σφαιροειδών γαλαξιών από την περιβάλλουσα νεκρή ύλη.
Jean-Pierre Petit & Pierre Midy **Παρατηρητήριο της Μασσαλίας ** **Γαλλία. ** --- * *
**Περίληψη **:
...Πρόκειται για μια νέα προοπτική σχετικά με την προέλευση της εξίσωσης του Poisson. Δείχνουμε ότι για μια κατανομή μάζας με σταθερή πυκνότητα και άπειρη έκταση, αυτή η εξίσωση απλώς δεν υπάρχει, καθώς δεν μπορεί να οριστεί κανένα βαρυτικό δυναμικό. Η κατασκευή της εξίσωσης του Poisson από τη γενική σχετικότητα απαιτεί μια λύση μηδενικής τάξης για τη μετρική σε σταθερή κατάσταση και έναν όρο διαταραχής της μετρικής σε σταθερή κατάσταση. Σε ένα ομογενές και απεριόριστο μέσο, αυτά τα στοιχεία απουσιάζουν. Ως συμπέρασμα, η νεκρή ύλη που περιβάλλει έναν σφαιροειδή γαλαξία τον περιορίζει, παρόλο που πρόκειται για ένα σύστημα με σφαιρική συμμετρία.
1) Εισαγωγή.
...Σε μια προηγούμενη εργασία, εξετάσαμε τον περιορισμό ενός γαλαξία λόγω του περιβάλλοντος νεκρής ύλης. Τι συμβαίνει αν ο γαλαξίας είναι σφαιροειδής; Θα απαντούσε κανείς: αυτός ο περιορισμός δεν μπορεί να υπάρχει, διότι αντιφάσκει με το θεώρημα του Gauss. Κάθε ύλη που δημιουργεί ένα πεδίο Νεύτωνα, αν βρίσκεται εκτός σφαίρας, δεν προσφέρει καμία συνεισφορά σε αυτή την περιοχή του χώρου.
Αν, όπως έλεγε κάποτε ο Λακεδαιμόνιος...
...Το σημείο εκκίνησης είναι ότι παραδέχεσαι a priori ότι το βαρυτικό πεδίο είναι νευτώνειο σε οποιαδήποτε απόσταση, κάτι που θα έπρεπε να αποδειχθεί. Η δύναμη Νεύτωνα μεταβάλλεται ως 1/r². Θεωρούμε ένα μέσο με σφαιρική συμμετρία και διαδοχικά στρώματα, ίδιου πάχους Dr. Δείτε το σχήμα 1.
Σχ. 1 : Η συνεισφορά των διαδοχικών στρωμάτων στη δύναμη Νεύτωνα.
Αυτά τα δύο όγκοι αντιστοιχούν σε μάζες:
(1)
M = r s Dr και M' = r s' Dr
Οι αντίστοιχες συνεισφορές στη συνολική δύναμη Νεύτωνα στο O είναι:
(2)
...Αλλά s » r², άρα F » F'. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο ενός πεδίου ύλης με σταθερή και άπειρη πυκνότητα, πρέπει να λάβουμε υπόψη την ύλη που βρίσκεται σε άπειρη απόσταση. Η συνεισφορά της δεν μπορεί να αγνοηθεί.
...Θεωρούμε ένα θεμελιώδες πρόβλημα. Έχουμε μια άπειρη κατανομή ύλης στον χώρο και μια μοναδική σφαιρική τρύπα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το πεδίο στο εσωτερικό. Η βασική μέθοδος συνίσταται στο να ξεκινήσουμε από το πεδίο που οφείλεται σε μια άπειρη κατανομή ύλης με σταθερή πυκνότητα. Πώς μοιάζει αυτό;
...Απλό, λέει ο αναγνώστης, ας εφαρμόσουμε την εξίσωση του Poisson. Υπολογίζουμε την ροή του πεδίου μέσω μιας κλειστής επιφάνειας:
Σχ. 2 : Η ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας που οφείλεται σε ένα νευτώνειο πεδίο.
και μετά εφαρμόζουμε το θεώρημα Green:
(3)
Γράφοντας:
(4)
λαμβάνουμε την εξίσωση του Poisson. Υποθέτουμε ότι αυτός ο τοπικός νόμος ισχύει παντού στον χώρο. Στη συνέχεια, θεωρώντας ένα μέσο σταθερής πυκνότητας r, κατασκευάζουμε τη λύση:
(4bis)
D Y = 4 p G r = σταθερό
Σε σφαιρική συμμετρία:
(5)
η λύση της οποίας είναι:
(6)
...Συμπέρασμα: αν πάρουμε ένα τυχαίο σημείο του χώρου, αυτό συνδέεται με ένα ακτινικό πεδίο που τείνει στο άπειρο σε άπειρη απόσταση!
Σχ.3 : Το «κλασικό» βαρυτικό πεδίο, σε μέσο σταθερής πυκνότητας, γύρω από οποιοδήποτε τυχαία επιλεγμένο σημείο M.
...Δεν είναι παράξενο; Φυσικά, κάθε δεδομένο σημείο P έλκεται εξίσως από όλα τα σημεία που βρίσκονται στο γειτονικό του χώρο. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σημείο θα έπρεπε να είναι μηδέν. Αν βασιστεί κανείς σε αυτή την εξίσωση του Poisson, δεν είναι. Γιατί;
-
-
*
-
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
f31001 Αστροφυσική νεκρής ύλης. 7 : Περιορισμός σφαιροειδών γαλαξιών από την περιβάλλουσα νεκρή ύλη. (p1)
Σχολιασμός.
...Αυτή η εργασία αποτελεί αντικείμενο heated συζητήσεων με τον μαθηματικό Jean-Marie Souriau, γείτονα και φίλο μου. Δεν καταφέραμε να καταλήξουμε σε συμφωνία και ο καθένας παρέμεινε σταθερός στις θέσεις του.
Souriau :
- Από τον Νεύτωνα, καταλήγεις στον Poisson. Αλλά από τον Poisson, καταλήγεις στον Νεύτωνα.
- Ας πούμε, αλλά από πού βγάζεις την εξίσωση του Poisson, από το καπέλο σου;
- Λοιπόν, προτιμώ να αποφασίσω ότι το σύμπαν υπακούει στην εξίσωση του Poisson, αυτό είναι όλο. Έτσι είναι. --- * * * Αστροφυσική νεκρής ύλης. 7 :*
Περιορισμός σφαιροειδών γαλαξιών από την περιβάλλουσα νεκρή ύλη.
Jean-Pierre Petit & Pierre Midy **Παρατηρητήριο της Μασσαλίας ** **Γαλλία. ** --- * *
**Περίληψη **:
...Πρόκειται για μια νέα προοπτική σχετικά με την προέλευση της εξίσωσης του Poisson. Δείχνουμε ότι για μια κατανομή μάζας με σταθερή πυκνότητα και άπειρη έκταση, αυτή η εξίσωση απλώς δεν υπάρχει, καθώς δεν μπορεί να οριστεί κανένα βαρυτικό δυναμικό. Η κατασκευή της εξίσωσης του Poisson από τη γενική σχετικότητα απαιτεί μια λύση μηδενικής τάξης για τη μετρική σε σταθερή κατάσταση και έναν όρο διαταραχής της μετρικής σε σταθερή κατάσταση. Σε ένα ομογενές και απεριόριστο μέσο, αυτά τα στοιχεία απουσιάζουν. Ως συμπέρασμα, η νεκρή ύλη που περιβάλλει έναν σφαιροειδή γαλαξία τον περιορίζει, παρόλο που πρόκειται για ένα σύστημα με σφαιρική συμμετρία.
1) Εισαγωγή.
...Σε μια προηγούμενη εργασία, εξετάσαμε τον περιορισμό ενός γαλαξία λόγω του περιβάλλοντος νεκρής ύλης. Τι συμβαίνει αν ο γαλαξίας είναι σφαιροειδής; Θα απαντούσε κανείς: αυτός ο περιορισμός δεν μπορεί να υπάρχει, διότι αντιφάσκει με το θεώρημα του Gauss. Κάθε ύλη που δημιουργεί ένα πεδίο Νεύτωνα, αν βρίσκεται εκτός σφαίρας, δεν προσφέρει καμία συνεισφορά σε αυτή την περιοχή του χώρου.
Αν, όπως έλεγε κάποτε ο Λακεδαιμόνιος...
...Το σημείο εκκίνησης είναι ότι παραδέχεσαι a priori ότι το βαρυτικό πεδίο είναι νευτώνειο σε οποιαδήποτε απόσταση, κάτι που θα έπρεπε να αποδειχθεί. Η δύναμη Νεύτωνα μεταβάλλεται ως 1/r². Θεωρούμε ένα μέσο με σφαιρική συμμετρία και διαδοχικά στρώματα, ίδιου πάχους Dr. Δείτε το σχήμα 1.
Σχ. 1 : Η συνεισφορά των διαδοχικών στρωμάτων στη δύναμη Νεύτωνα.
Αυτά τα δύο όγκοι αντιστοιχούν σε μάζες:
(1)
M = r s Dr και M' = r s' Dr
Οι αντίστοιχες συνεισφορές στη συνολική δύναμη Νεύτωνα στο O είναι:
(2)
...Αλλά s » r², άρα F » F'. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο ενός πεδίου ύλης με σταθερή και άπειρη πυκνότητα, πρέπει να λάβουμε υπόψη την ύλη που βρίσκεται σε άπειρη απόσταση. Η συνεισφορά της δεν μπορεί να αγνοηθεί.
...Θεωρούμε ένα θεμελιώδες πρόβλημα. Έχουμε μια άπειρη κατανομή ύλης στον χώρο και μια μοναδική σφαιρική τρύπα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το πεδίο στο εσωτερικό. Η βασική μέθοδος συνίσταται στο να ξεκινήσουμε από το πεδίο που οφείλεται σε μια άπειρη κατανομή ύλης με σταθερή πυκνότητα. Πώς μοιάζει αυτό;
...Απλό, λέει ο αναγνώστης, ας εφαρμόσουμε την εξίσωση του Poisson. Υπολογίζουμε την ροή του πεδίου μέσω μιας κλειστής επιφάνειας:
Σχ. 2 : Η ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας που οφείλεται σε ένα νευτώνειο πεδίο.
και μετά εφαρμόζουμε το θεώρημα Green:
(3)
Γράφοντας:
(4)
λαμβάνουμε την εξίσωση του Poisson. Υποθέτουμε ότι αυτός ο τοπικός νόμος ισχύει παντού στον χώρο. Στη συνέχεια, θεωρώντας ένα μέσο σταθερής πυκνότητας r, κατασκευάζουμε τη λύση:
(4bis)
D Y = 4 p G r = σταθερό
Σε σφαιρική συμμετρία:
(5)
η λύση της οποίας είναι:
(6)
...Συμπέρασμα: αν πάρουμε ένα τυχαίο σημείο του χώρου, αυτό συνδέεται με ένα ακτινικό πεδίο που τείνει στο άπειρο σε άπειρη απόσταση!
Σχ.3 : Το «κλασικό» βαρυτικό πεδίο, σε μέσο σταθερής πυκνότητας, γύρω από οποιοδήποτε τυχαία επιλεγμένο σημείο M.
...Δεν είναι παράξενο; Φυσικά, κάθε δεδομένο σημείο P έλκεται εξίσως από όλα τα σημεία που βρίσκονται στο γειτονικό του χώρο. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σημείο θα έπρεπε να είναι μηδέν. Αν βασιστεί κανείς σε αυτή την εξίσωση του Poisson, δεν είναι. Γιατί;
-
-
- *
-