Ύλη
φαντασματική ύλη αστροφυσική. 2 :
Συζυγείς
μετρικές σταθερής κατάστασης. Ακριβείς λύσεις.
(p1)
Σχόλιο για αυτό το
άρθρο.
Μαθηματικά, η
λύση που παρουσιάζεται είναι χωρίς σημεία σκιάς. Απλώς
αγνοήθηκε η πίεση εξαρχής στις εξισώσεις
πεδίου, στον τανυστή T, ο οποίος
γίνεται:
το οποίο σημαίνει ότι:
Η p είναι, διαστατικά μιλώντας,
μια πυκνότητα ενέργειας, σε τζάουλ ανά κυβικό μέτρο.
Το rc2
επίσης. Αν το μέσο ήταν
αέριο, αυτό θα σήμαινε για παράδειγμα ότι η πίεση είναι το μέτρο της
πυκνότητας κινητικής ενέργειας, συνδεδεμένης με μια
μέση ταχύτητα θερμικής ανατάραξης . Ας υποθέσουμε
ότι το εσωτερικό μέσο μπορεί να εξομοιωθεί με
ένα ιδανικό αέριο. Τότε η πίεση της ύλης θα γραφόταν:
Βλέπουμε ότι η προσέγγιση
που έγινε τότε ανάγεται στην υπόθεση ότι η ταχύτητα θερμικής
ανατάραξης μέσα στο αντικείμενο είναι μη σχετικιστική. Αυτό το μοντέλο είναι επομένως καλό
για να περιγράψει «συνήθη» ουράνια σώματα, συμπεριλαμβανομένων των άστρων
που περιβάλλονται από κενό, με σφαιρική συμμετρία, που
δεν περιστρέφονται γύρω από τον εαυτό τους. Αυτή
η λύση είναι διαφορετική από εκείνη που αναπτύχθηκε προηγουμένως
και που θα βρει κανείς περιγραφόμενη για παράδειγμα στο έργο των Adler, Schiffer
και Bazin: Introduction to general relativity, 1975, Mac Graw Hill books.
Εξαρχής, αυτή η λύση είναι τότε σχεδιασμένη για να διαχειριστεί
ένα μέσο με μη μηδενική πίεση. Διαπραγματευόμαστε τη σύνδεση μεταξύ
της εξωτερικής μετρικής και της εσωτερικής μετρικής
θέτοντας p = 0 στην επιφάνεια του ουράνιου σώματος. Λαμβάνουμε τότε τη μετρική
:
Θα παρατηρήσουμε ότι αν κάνουμε
τότε αναπτύγματα σε σειρά υποθέτοντας:
οι δύο μετρικές (αυτή
και η δική μας) συγκλίνουν ασυμπτωτικά. Εν πάση περιπτώσει,
όταν υποθέτουμε μη μηδενική πίεση, λείπει μια εξίσωση κατάστασης
p = p(r).
Αλλά η εργασία καταλήγει στη διάσημη εξίσωση TOV (Tolmann,
Oppenheimer, Volkov), που είναι μια διαφορική εξίσωση
σε (p , p' , r)
όπου p' δηλώνει τη χωρική παράγωγο της πίεσης.
Το m είναι η συνάρτηση m(r) :
(βλέπε το άρθρο, ή τα έργα).
Αυτή η εξίσωση χρησιμοποιείται κλασικά για να δώσει μια
περιγραφή του εσωτερικού των αστέρων νετρονίων,
όπου απλώς θέτουμε r =
σταθερά (της τάξης του 1016 g/cm3) . Λαμβάνουμε τότε μια εξίσωση
διαφορική που δίνει την εξέλιξη της πίεσης. Σημειωτέον
ότι όταν το άστρο βλέπει τη μάζα του να αυξάνεται, πράγμα που υποτίθεται
ότι κάνει σε σταθερή πυκνότητα, αφού αυτή η συσσώρευση νετρονίων
υποτίθεται ασυμπίεστη, η πρώτη κρισιμότητα που
εμφανίζεται αφορά την πίεση, η οποία λαμβάνει άπειρη τιμή στο κέντρο,
ακόμη και όταν η ακτίνα του ουράνιου σώματος είναι ακόμη μεγαλύτερη από
την ακτίνα Schwarzschild του. Έχουμε,
φυσικά, επιχειρήσει να εφαρμόσουμε μια ανάλογη λύση,
για τις δύο συζυγείς μετρικές. Φυσικά, το πρόβλημα
είναι αποθαρρυντικό. Στο φύλλο όπου βρίσκεται το ουράνιο σώμα, υποτιθέμενο
για παράδειγμα ότι είναι το φύλλο F, το δικό μας, έχουμε δύο βαθμωτές
συναρτήσεις p(r) και r(r)
που υποτίθεται ότι περιγράφουν το πεδίο πίεσης και την πυκνότητα
στο άστρο νετρονίων, με r(r)
= σταθερά. Στον βαθμό που η γεωμετρία στο
δεύτερο φύλλο προκύπτει τότε από την εξίσωση:
S* = - c
T
αυτά τα στοιχεία p(r)
και r(r)
είναι τότε παρόντα στο δεύτερο μέλος. Ωστόσο το δεύτερο φύλλο
υποτίθεται ότι είναι κενό (r*
= 0) και με
μηδενική πίεση (p*=0).
Αλλά η δομή που επιλέχθηκε, το σύστημα των δύο συζευγμένων εξισώσεων
πεδίου, κάνει αυτούς τους όρους να συμβάλλουν στη γεωμετρία
του άλλου φύλλου.
Όταν εφαρμόζουμε τον κλασικό
μηχανισμό, βρίσκουμε παρόμοιες εξισώσεις, που τελικά συνάγονται
από τον κλασικό φορμαλισμό αλλάζοντας απλώς
το r σε
- r και
το p σε -p . Βρίσκουμε επίσης μια εξίσωση TOV. Αλλά αυτή
η διαφορική εξίσωση πρέπει οπωσδήποτε να δώσει
την ίδια λύση. Δεν μπορεί να υπάρχουν δύο διαφορετικές διαφορικές εξισώσεις
που δίνουν p(r). Όμως η εξίσωση στην οποία
καταλήγουμε είναι διαφορετική. Αντιστοιχεί απλώς στην καθολική αλλαγή:
p ---> - p r
---> - r
m ---> - m
με
:
m ---> - m
Όμως η διαφορική εξίσωση
TOV δεν είναι αναλλοίωτη ως προς αυτή την αλλαγή και λαμβάνουμε τότε:
(το αρνητικό πρόσημο στον παρονομαστή
αλλάζει σε θετικό πρόσημο). Υπάρχει επομένως ανυπαρξία λύσης, με
μη μηδενική πίεση, τουλάχιστον σύμφωνα με αυτή την προσέγγιση, εμπνευσμένη από την κλασική
προσέγγιση. Μακριά από το να μας αποθαρρύνει, αυτή η διαπίστωση μας φαίνεται
ένδειξη ότι το πρόβλημα πρέπει να προσεγγιστεί διαφορετικά,
πράγμα που θα επιχειρήσουμε σε μεταγενέστερες εργασίες, αφιερωμένες
στη μελέτη της προσέγγισης της κρισιμότητας σε ένα άστρο
νετρονίων. Έχουμε αναπτύξει ένα μοντέλο
της ακτινοβολούσας εποχής, που αντιστοιχεί στο χαρτί Geometrical Physics A,
6 , και όπου οι σταθερές της φυσικής υποτίθεται
ότι είναι κατά κάποιο τρόπο ευρετηριασμένες στην τιμή της πίεσης
ακτινοβολίας. Όταν ανεβαίνουμε πιο πίσω από την εποχή
της αποσύζευξης, στο καθιερωμένο μοντέλο, φτάνουμε άλλωστε
σε συνθήκες όπου όχι μόνο η συμβολή της πίεσης
στο πεδίο παύει να είναι αμελητέα, αλλά όπου αυτή η συμβολή
οφείλεται τότε ουσιαστικά στην ακτινοβολία. Αυτό θα σήμαινε ότι οι σταθερές
της φυσικής θα εξαρτιόνταν από την πυκνότητα ενέργειας
ηλεκτρομαγνητισμού, άλλως πίεση ακτινοβολίας.
Έχουμε επομένως ξεκινήσει
μια προσέγγιση μιας μελέτης των αστέρων νετρονίων, όπου
ο όρος:
δεν είναι πλέον αμελητέος
μπροστά στο r
, υποθέτοντας ότι οι σταθερές
της φυσικής (G , h , c , η μάζα του νετρονίου, συν τις άλλες σταθερές)
εξαρτώνται τότε από την τοπική τιμή της πίεσης (μελετάμε
μια λύση υποτιθέμενη στατική, σε ισορροπία). Καθώς η είσοδος
σε κρισιμότητα του άστρου αρχίζει με την εκτίναξη
της πίεσης στο κέντρο, και καθώς από αυτή την άποψη η τοπική τιμή της
ταχύτητας του φωτός θα ακολουθούσε αυτή την άνοδο, συνθήκες
όπου το c είναι άπειρο θα έπρεπε, κατά τη γνώμη μας, να συμβαδίζουν με μια ρήξη της
τοπολογίας του χωροχρόνου, στην καρδιά του ουράνιου σώματος. Όσο τα p και c παραμένουν
πεπερασμένα, αυτή παραμένει υπερσφαιρική, δηλαδή μπορεί
κανείς να «ξεφλουδίσει» το άστρο νετρονίων μέχρι το κέντρο του. Υπάρχει πάντα
ύλη και βρισκόμαστε πάντα στο ίδιο φύλλο. Αλλά,
και εργαζόμαστε προς αυτή την κατεύθυνση, η άνοδος της τοπικής τιμής
του c προς μια άπειρη τιμή θα έπρεπε να επιφέρει αλλαγή τοπολογίας,
η γεωμετρία στο κέντρο του άστρου να τροποποιείται, με
εμφάνιση μιας «υπερτοροειδούς γέφυρας», διάβασης μεταξύ των δύο φύλλων. Η
ύλη θα έρεε τότε εκεί με σχετικιστική ταχύτητα.
Έχουμε εξετάσει δύο πιθανές επιλογές. Είτε η παροχή ύλης
θα έκανε το άστρο να εισέλθει σε κρισιμότητα σχετικά αργά
(απορρόφηση αστρικού ανέμου προερχόμενου από ένα συνοδό άστρο, για παράδειγμα).
Τότε αυτή η υπερτοροειδής γέφυρα θα μπορούσε να οδηγήσει σε μια σχεδόν
στάσιμη κατάσταση, ενεργώντας σαν υπερχείλιση. Το άστρο
θα εκκένωνε μέσω αυτής της διάβασης, συνεχώς, την περίσσεια ύλης
που λαμβάνει από τον σύντροφό του.
Αλλά, δεύτερη επιλογή, μια ταχύτερη παροχή
με πιο απότομη είσοδο σε κατάσταση κρισιμότητας
(για παράδειγμα κατά τη συγχώνευση ενός διπλού συστήματος, που αποτελείται
από δύο άστρα νετρονίων) η στασιμότητα ή σχεδόν
στασιμότητα δεν θα μπορούσε πλέον να επικαλεστεί και θα έπρεπε
τότε να προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε ένα ακόμη υποθετικό σενάριο
: τη γρήγορη υπερχωρική μεταφορά ενός σημαντικού μέρους της μάζας, με
κατεύθυνση το άλλο φύλλο.
