Ύλη φανταστική ύλη
αστροφυσική. 2:
Συζυγείς σταθερές μετρικές. Ακριβείς
λύσεις. (σ.4)
3)Συζυγείς βαθμωτές καμπυλώσεις.
Από το γενικό σύστημα πεδίων (1) + (2) προκύπτει:
(58)
R* = - R
Σε δύο συζυγείς σημεία M και
M*, που ανήκουν στις πτυχές F και F*, οι βαθμωτές καμπυλώσεις R και R* είναι
αντίθετες. Θα ονομάζουμε τέτοιες γεωμετρίες συζυγείς. Μπορούμε
να προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε αυτή την έννοια μέσω μιας διδακτικής εικόνας. Θεωρήστε το
σχέδιο 1. Πάνω είναι ένας λειασμένος «θετικόκωνος», κάτω ένας «λειασμένος αρνητικόκωνος», αντιμέτωποι. Ένας λειασμένος θετικόκωνος κατασκευάζεται με έναν κομμένο κώνο, συνδεδεμένο κατά μήκος ενός κύκλου με ένα τμήμα σφαίρας (επιφάνεια σταθερής πυκνότητας καμπύλωσης).
Σχ. 1 :
Διδακτική εικόνα συζυγών γεωμετριών ( R * = - R)
Η μάζα M βρίσκεται στην πτυχή
F . Η πτυχή F*
είναι κενή.
Δείκνυεται: ένα ζεύγος συζυγών σημείων (M,M*).
Ο ιππικός σάλος είναι το ισοδύναμο ενός τμήματος σφαίρας, για αρνητική καμπύλωση (επιφάνεια σταθερής πυκνότητας γωνιακής καμπύλωσης). Μια σφαίρα περιέχει συνολική καμπύλωση ίση με 4p.
Ένα τμήμα σε μια σφαίρα περιέχει ποσό γωνιακής καμπύλωσης
q το οποίο είναι
(59)
Ένας κώνος είναι μια επιφάνεια που περιέχει
μια (γωνιακή) συγκεντρωμένη καμπύλωση στο σημείο S , αντιστοιχώντας σε μια θετική
γωνιακή καμπύλωση q >
0. Τον κατασκευάζουμε σύμφωνα με το
σχέδιο 2.
Σχ. 2 : Κατασκευή ενός
«θετικόκωνος».
Ορισμός της γωνιακής καμπύλωσης
περιεχομένης στην κορυφή του κώνου: Αν σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο με τρεις γεωδαιτικές,
έχουμε δύο περιπτώσεις. Αν δεν περιέχει την κορυφή, το άθροισμα των γωνιών
είναι το ευκλείδειο άθροισμα p.
Αν περιέχει την κορυφή, αυτό το άθροισμα είναι p
συν την αντίστοιχη σημειακή καμπύλωση q
. Δείτε το σχέδιο 3 .
Σχ. 3)
: Σημειακή θετική γωνιακή καμπύλωση
βρίσκεται στην κορυφή ενός (θετικό)κωνος.
Ομοίως μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν «αρνητικόκωνο», ως εξής:
.
Σχ.4 : Κατασκευή
ενός «αρνητικόκωνος»
με σημειακή αρνητική καμπύλωση,
βρίσκεται στο S.
Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο μικρών θετικόκωνων,
αντιστοιχώντας σε στοιχειώδη καμπύλωση dqi
και να κολλήσουμε αυτά τα αντικείμενα μαζί.
Δείτε το σχέδιο 5.
Σχ. 5
: σύνολο στοιχειωδών θετικόκωνων.
Η γωνιακή καμπύλωση είναι μια προσθετική
ποσότητα. Αν ο αριθμός των στοιχείων τείνει στο άπειρο και τα dqi
τείνουν στο μηδέν, το καθολικό αντικείμενο τείνει σε μια πεπερασμένη κανονική επιφάνεια. Σε οποιοδήποτε
τμήμα της επιφάνειας μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνιακή καμπύλωση (το άθροισμα των γωνιών dqi
). Μπορούμε επίσης να ορίσουμε
μια τοπική πυκνότητα γωνιακής καμπύλωσης ως εξής :
(60)
Τότε αυτό το σύνολο κολλημένων στοιχειωδών θετικόκωνων τείνει σε μια κανονική επιφάνεια, με
εφαπτόμενο επίπεδο. Αν η C(M) είναι σταθερή και θετική σε μια επιφάνεια, είναι μια σφαίρα,
ή ένα τμήμα σφαίρας. Η ολοκληρωμένη πυκνότητα γωνιακής καμπύλωσης, πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, δίνει τη συνολική της καμπύλωση 4p.
Αν η C(M) είναι μηδέν, η επιφάνεια είναι τοπικά επίπεδη (επίπεδο, τοίχος ενός κώνου, κύλινδρος,
παραδείγματος χάριν). .
