Κοσμολογία του σύμπαντος-δίδυμου ύλη ύλη-φάντασμα αστροφυσική. 2 : Συζυγείς μετρικές σταθερής κατάστασης. Ακριβείς λύσεις. (p3)
Θεωρούμε τώρα τη συναφόμενη εσωτερική λύση, για τη μετρική g*. Αντιστοιχεί στην εξίσωση πεδίου:
(40) S* = - c T
Επιλέγουμε τη μορφή της μετρικής:
(41)
ds2 = en c2 dt2 - [ el* dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2) ]
Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων γίνεται:
(42)
(43)
(44)
Παρατηρήστε τα αρνητικά πρόσημα στα δεξιά μέλη.
Προσθέτουμε πρώτα (42) και (43) και λαμβάνουμε:
(45)
Επειδή το c είναι αρνητικό, αυτό συνεπάγεται ότι το l*' + n*' είναι αρνητικό ή μηδέν. Από το σύστημα (42) + (43) + (44) λαμβάνουμε:
(46)
(47)
(48)
Γράφουμε:
(49)
Συνδυάζοντας με (46):
(50)
Ταυτόσημο με (27).
Η εξίσωση (47) μπορεί να λυθεί:
(51)
ή:
(52)
Εισάγουμε:
(53)
λαμβάνουμε:
(54)
Το B είναι σταθερά. Τότε η εσωτερική μετρική g* γίνεται:
(55)
Η σύνδεση με τη συναφόμενη εξωτερική λύση εξασφαλίζεται αν:
(56)
και η εσωτερική μας μετρική g* γίνεται:
(57)
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p3)
Now consider the associated internal solution, for the metric g*. It corresponds to the field equation :
(40) S* = - c T
We choose the metric form :
(41)
ds2 = en c2 dt2 - [ el* dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2) ]
Then the differential equations system is :
(42)
(43)
(44)
Notice the minus signs in the right hands.
We first add (42) and (43) and get :
(45)
Since c is negative it implies that l*' + n*' is negative or zero. From the system (42) + (43) + (44) we get :
(46)
(47)
(48)
Write :
(49)
Combining to (46) :
(50)
Identical to (27).
(47) can be solved :
(51)
or :
(52)
Introduce :
(53)
we get :
(54)
B being a constant. Then the internal metric g* becomes :
(55)
The link with the corresponding external solution is ensured if :
(56)
and our internal metric g* becomes :
(57)