κοσμολογία με δίδυμα σύμπαντα Ύλη, ύλη-φάντασμα, αστροφυσική. 2: Συζυγείς μετρικές σε στάσιμη κατάσταση. Ακριβείς λύσεις. (σ.4)
3) Συζυγείς βαθμωτές καμπυλότητες.
Από το γενικό σύστημα εξισώσεων πεδίου (1) + (2), λαμβάνουμε:
(58)
R* = - R
Σε δύο συζυγή σημεία M και M*, που ανήκουν αντίστοιχα στις πτυχές F και F*, οι βαθμωτές καμπυλότητες R και R* είναι αντίθετες. Θα ονομάσουμε συζυγείς γεωμετρίες εκείνες που ικανοποιούν αυτή την ιδιότητα. Μπορούμε να επιχειρήσουμε να απεικονίσουμε αυτή την έννοια με τη βοήθεια μιας διδακτικής εικόνας. Εξετάστε το σχήμα 1: πάνω, ένας εξομαλυσμένος «ποζικόνος»· κάτω, ένας εξομαλυσμένος «νεγκακόνος», τοποθετημένοι πρόσωπο με πρόσωπο. Ένας εξομαλυσμένος ποζικόνος κατασκευάζεται από έναν κόλουρο κώνο, συνδεδεμένο κατά μήκος ενός κύκλου με ένα τμήμα σφαίρας (επιφάνεια με σταθερή πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας).
Εικ. 1: Διδακτική εικόνα των συζυγών γεωμετριών (R = –R). Η μάζα M βρίσκεται στην πτυχή F. Η πτυχή F είναι κενή.
Απεικονίζεται: ένα ζεύγος συζυγών σημείων (M, M*).
Η σέλα του ίππου αποτελεί το ισοδύναμο, για αρνητική καμπυλότητα, ενός τμήματος σφαίρας (επιφάνεια με σταθερή πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας). Μια σφαίρα περιέχει συνολική καμπυλότητα ίση με 4π. Ένα τμήμα σφαίρας περιέχει ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας q που δίνεται από:
(59)
Ένας κώνος είναι μια επιφάνεια που περιέχει ένα σημείο συγκεντρωμένης γωνιακής καμπυλότητας S, που αντιστοιχεί σε θετική γωνιακή καμπυλότητα q > 0. Τον κατασκευάζουμε σύμφωνα με το σχήμα 2.
Εικ. 2: Κατασκευή ενός «ποζικόνου».
Ορισμός της γωνιακής καμπυλότητας που περιέχεται στην κορυφή του κώνου: Αν σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από τρεις γεωδαισιακές, παρουσιάζονται δύο περιπτώσεις. Αν δεν περιέχει την κορυφή, το άθροισμα των γωνιών είναι το ευκλείδειο άθροισμα π. Αν περιέχει την κορυφή, αυτό το άθροισμα ισούται με π συν την αντίστοιχη σημειακή καμπυλότητα q. Βλέπε σχήμα 3.
Εικ. 3: Θετική σημειακή γωνιακή καμπυλότητα
που βρίσκεται στην κορυφή ενός (ποζι)κώνου.
Ομοίως, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν «νεγκακόνο», ως εξής:
Εικ. 4: Κατασκευή ενός «νεγκακόνου» εφοδιασμένου με αρνητική σημειακή γωνιακή καμπυλότητα, που βρίσκεται στο S.
Μπορούμε να συναρμολογήσουμε ένα σύνολο μικρών ποζικόνων, που αντιστοιχούν σε στοιχειώδεις καμπυλότητες dqi, και να τα κολλήσουμε μεταξύ τους. Βλέπε σχήμα 5.
Εικ. 5: Σύνολο στοιχειωδών ποζικόνων.
Η γωνιακή καμπυλότητα είναι ένα προσθετικό μέγεθος. Αν ο αριθμός των στοιχείων τείνει στο άπειρο και τα dqi τείνουν στο μηδέν, το συνολικό αντικείμενο τείνει προς μια κανονική φραγμένη επιφάνεια. Σε οποιοδήποτε τμήμα αυτής της επιφάνειας, μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνιακή καμπυλότητα (το άθροισμα των γωνιών dqi). Μπορούμε επίσης να ορίσουμε μια τοπική πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας ως εξής:
(60)
Έτσι, αυτό το σύνολο συναρμολογημένων στοιχειωδών ποζικόνων τείνει προς μια κανονική επιφάνεια εφοδιασμένη με εφαπτόμενο επίπεδο. Αν η C(M) είναι σταθερή και θετική σε μια επιφάνεια, αυτή είναι μια σφαίρα ή ένα τμήμα σφαίρας. Το ολοκλήρωμα της πυκνότητας γωνιακής καμπυλότητας πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας δίνει τη συνολική της καμπυλότητα ίση με 4π. Αν η C(M) είναι μηδέν, η επιφάνεια είναι τοπικά επίπεδη (επίπεδο, τοίχωμα κώνου, κύλινδρος, για παράδειγμα).
