Κοσμολογία του σύμπαντος-δίδυμο ύλη ύλη-φάντασμα αστροφυσική. 2: Συζυγείς μετρικές σταθερής κατάστασης. Ακριβείς λύσεις. (p5)
Αυτή η λειτουργία μπορεί να επεκταθεί σε ενωμένα νεγκακόνια (αρνητική πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας). Για μια ευκλείδεια επιφάνεια, C(M) = 0 παντού. Χρησιμοποιώντας στοιχειώδη νεγκακόνια και μικρά τμήματα ενός επιπέδου, μπορεί να κατασκευαστεί οποιαδήποτε κανονική επιφάνεια, όπου η πυκνότητα γωνιακής καμπυλότητας C(M), θετική, αρνητική ή μηδενική, είναι συνεχής συνάρτηση του σημείου M. Μπορούμε τώρα να κατασκευάσουμε ένα κομμένο ποσικόνιο και να το ενώσουμε με ένα τμήμα σφαίρας. Η συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου εξασφαλίζεται αν οι γωνιακές καμπυλότητες q είναι ίσες. Βλ. σχήμα 6.
Σχ .6 : Κατασκευή «ποσικονίου λειασμένου».
Μια επιφάνεια με σταθερή αρνητική γωνιακή καμπυλότητα ονομάζεται ιππικό κάθισμα (horse saddle). Βλ. σχήμα 7. Σε μια τέτοια επιφάνεια μπορεί να σχεδιαστεί μια καμπύλη κεντρωμένη σε ένα σημείο P.
Σχ. 7 :** Κατασκευή «νεγκακονίου λειασμένου».**
Μπορούμε να τοποθετήσουμε ένα λειασμένο ποσικόνιο και ένα λειασμένο νεγκακόνιο αντικρισμένα, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Τα συζυγή σημεία M και M* έχουν αντίθετες πυκνότητες καμπυλότητας:
(61)
C(M*) = - C(M)
Στα ευκλείδεια τμήματα των δύο συζυγών επιφανειών, αυτές οι καμπυλότητες είναι μηδενικές:
(62)
C(M*) = C(M) = 0
Λαμβάνουμε ένα παράδειγμα συζυγών γεωμετριών σε 2d. Προφανώς, όπως στις πτυχώσεις μας σε 4d, η εικόνα μιας γεωδαιτικής της μιας πτυχής δεν είναι σίγουρα γεωδαιτική της άλλης. Βλ. σχήματα 8 και 9.
Σχ. 8 : Η εικόνα (αποτελούμενη από συζυγή σημεία) μιας γεωδαιτικής του λειασμένου ποσικονίου F δεν είναι γεωδαιτική του λειασμένου νεγκακονίου F.*
** ** Σχ. 9 : Η εικόνα (αποτελούμενη από συζυγή σημεία) μιας γεωδαιτικής του λειασμένου νεγκακονίου F δεν είναι γεωδαιτική του λειασμένου νεγκακονίου F.* ** **
Πρόκειται απλώς για μια διδακτική εικόνα, αλλά illustrates the basic concept of conjugated geometries. Στην γενική σχετικότητα, ασχολούμαστε με υπερεπιφάνειες σε 4d, των οποίων οι μετρικές έχουν υπερβολικές γεωμετρίες, με υπογραφές (+ - - -).
** 
**
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig. 7 :** Building a "smoothed negacone".**
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig. 8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig. 9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
** **