διπλός κόσμος αστροφυσικής και κοσμολογίας Μαύρη ύλη αστροφυσική.6. Σπειροειδής δομή.(p3)
- Πώς να οριστούν οι αρχικές συνθήκες για μια προσομοίωση με αριθμητική μέθοδο σε 2D.
Κατασκευή λύσης 2D τύπου Eddington για το ζεύγος εξισώσεων Poisson + Vlasov.
Οι μη ομοιόμορφες (ελλειπτικές) λύσεις της εξίσωσης Vlasov έχουν μελετηθεί εκτενώς από πολύ καιρό σε 3D. Στο εξής, θεωρούμε κινήσεις και θέσεις σε 2D, έτσι ώστε να πρέπει να κατασκευάσουμε την 2D αυτοσυνεπή ελλειπτική λύση της εξίσωσης Vlasov.
Γράφουμε την εξίσωση Vlasov:
(1)
όπου:
(2)
f (x, y, u, v, t) είναι η συνάρτηση κατανομής της ταχύτητας. Η εξίσωση (1) γράφεται με τη χρήση συμβολισμού δυαδικών τενσόρων, σε όρους της ιδιαίτερης (παραμερισμένης ή θερμικής) ταχύτητας C = (u, v).
<V> είναι η μακροσκοπική ταχύτητα. m είναι η μάζα μιας σωματιδίου.
**** είναι το διάνυσμα θέσης (x, y).
..
Τα παχιά γράμματα αντιπροσωπεύουν διανύσματα. Το τελευταίο όρο της εξίσωσης (2) αντιπροσωπεύει το βαθμωτό γινόμενο δύο δυαδικών τενσόρων (βλ. παραπομπή [20]). Τώρα εισαγάγουμε μια 2D ελλειπτική λύση τύπου Eddington:
(3)
όπου C είναι η παραμερισμένη, η θερμική ταχύτητα. Σε συνθήκες σταθερής κατάστασης, η εξίσωση Vlasov γίνεται:
(4)
Συνδυάζοντας με τη λύση Vlasov, παίρνουμε:
(5)
Πρόκειται για πολυώνυμο τρίτου βαθμού ως προς τις συνιστώσες u και v της θερμικής ταχύτητας C. Μια λύση εμφανίζεται:
(6)
Τότε:
(7)
Από τους όρους τρίτου βαθμού παίρνουμε:
(8)
Από τους όρους δευτέρου βαθμού (9)
Συνδυάζοντας, παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα:
(10)
Είναι:
(11)
Τότε:
(12)
Η συνάρτηση κατανομής γίνεται:
(13)
όπου C είναι η ακτινική συνιστώσα της θερμικής ταχύτητας C και Cp η αζιμουθιακή της συνιστώσα. Παίρνουμε τότε:
(14)
Στην κλασική (τριδιάστατη) λύση Eddington, είχαμε έναν ελλειψοειδή ταχυτήτων, με το μεγάλο άξονά του να δείχνει προς το κέντρο του συστήματος. Δείτε την εικόνα 6.
Εικόνα 6: Ελλειψοειδής δομή ταχυτήτων αντίστοιχη με λύση τύπου Eddington.
Στην παρούσα 2D ελλειπτική λύση τύπου Eddington, παίρνουμε έναν ελλειψοειδή ταχυτήτων, με το μεγάλο άξονά του να είναι σταθερός και να δείχνει προς το κέντρο του συστήματος. Στο κέντρο, ο ελλειψοειδής ταχυτήτων γίνεται κύκλος (δισδιάστατη κατανομή Maxwell-Boltzmann της ταχύτητας). Όπως θα δειχθεί παρακάτω, ο μεγάλος άξονάς του (μέση ακτινική θερμική ταχύτητα) είναι σταθερός ως προς την ακτινική απόσταση v. Ο διάμετρος του
(μέση αζιμουθιακή θερμική ταχύτητα) τείνει στο μηδέν στο άπειρο. Δείτε την εικόνα 7.
Εικόνα 7: Η εξέλιξη του ελλειψοειδούς ταχυτήτων, στην 2D λύση τύπου Eddington, ως προς την απόσταση από το κέντρο του συστήματος.