a4101
| 1 |
|---|
Πρόλογος.
...Η φυσική είναι σαν ένα τηγάνι:
(1)
- Πρώτος όροφος: παρατηρήσεις, πειράματα.
- Δεύτερος όροφος: διαφορικές εξισώσεις.
- Τρίτος όροφος: γεωμετρία - Τέταρτος όροφος: θεωρία ομάδων.
Οι ομάδες διέπουν τη γεωμετρία, που γεννά όμορφες διαφορικές εξισώσεις.
Με τις διαφορικές εξισώσεις κατασκευάζουμε πράγματα, τα οποία στη συνέχεια χρησιμοποιούνται για να εξηγήσουμε ή να προβλέψουμε αυτά που ονομάζουμε φυσικά γεγονότα.
...Ιστορικά, οι άνθρωποι ξεκίνησαν να μελετούν και να κωδικοποιούν γεγονότα, παρατηρήσεις, πραγματοποιώντας μετρήσεις. Στη συνέχεια εφεύραν νόμους διατήρησης και "φυσικούς νόμους". Στην αρχή του αιώνα, άρχισαν να σκέφτονται ότι οι φυσικοί νόμοι μπορεί να είχαν κάποια σχέση με τη γεωμετρία.
Την ίδια εποχή, ο Φέλιξ Κλάιν ερωτήθηκε: Τι είναι μία γεωμετρία;
Προσέξτε ότι είπε "μία γεωμετρία" και όχι "η γεωμετρία" (Πρόγραμμα του Έρλανγκεν).
...Ο Κλάιν, Λί, Καρτάν και άλλοι έδειξαν ότι υπήρχε κάτι κρυμμένο πίσω από τη γεωμετρική εμφάνιση. Η γεωμετρία δεν ήταν ο τελευταίος όροφος, το τέλειο πρότυπο της γνώσης στη φυσική. Από μία δομή ομάδας μπορεί να κατασκευαστεί μία γεωμετρία.
Στο εξής, θα προσπαθήσουμε να δείξουμε τη σχέση μεταξύ ομάδων, γεωμετρίας και φυσικής.
Κατά τη διάρκεια αυτού, σχετικά με τις ομάδες, τι;
...Θα έλεγα πως: η λογική. Αλλά η λογική είναι ένα δωμάτιο του οποίου ο τελευταίος κάτοικος ήταν ο Κουρτ Γκέντελ, ένας επικίνδυνος πυρομάνος. Με το γνωστό του θεώρημα, έβαλε πυρκαγιά στα μεταξύ του, τα οποία καταστράφηκαν εντελώς. Από αυτή την τραγωδία, το δωμάτιο είναι άδειο.
...Γι' αυτό έβαλα εκεί ένα ερωτηματικό.
Ομάδες.
...Τι είναι μία ομάδα; Στο εξής περιορίζουμε τη μελέτη στις δυναμικές ομάδες της φυσικής: ένα σύνολο τετραγωνικών πινάκων (n,n) που ακολουθούν καθορισμένα αξιώματα. Αυτοί οι πίνακες g, στοιχεία μίας ομάδας G, ενεργούν ο ένας στον άλλο μέσω της κλασικής πράξης πολλαπλασιασμού πινάκων (γραμμή-στήλη). Μεταξύ αυτών των τετραγωνικών πινάκων βρίσκονται και οι μοναδιαίοι πίνακες.
(1-bis)
...Μία ομάδα ακολουθεί τα αξιώματα που ορίστηκαν από τον νορβηγό μαθηματικό Σοφους Λί. Αυτά τα αξιώματα εφαρμόζονται σε αντικείμενα πολύ γενικότερα από σύνολα πινάκων. Αλλά περιορίσουμε την προσοχή μας σε αυτό το ειδικό κόσμο και χρησιμοποιούμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων:
x
1 - Πρώτο αξίωμα της θεωρίας των ομάδων:
Το γινόμενο δύο στοιχείων g1 και g2 μίας ομάδας G:
(2)
g3 = g1 x g2
ακολουθεί:
(3)
Δώστε ένα παράδειγμα ομάδας πινάκων, το οποίο εξαρτάται από ένα μόνο παράμετρο a. Το στοιχείο είναι:
(4)
Το γινόμενο δύο στοιχείων δίνει:
(5)
ή:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Μπορούμε να γράψουμε το γινόμενο πινάκων:
(7)
που είναι παρόμοιο με g1 και g2, δηλαδή:
(8)
Αντίθετο παράδειγμα: Εξετάστε το ακόλουθο σύνολο πινάκων που εξαρτώνται από ένα μόνο παράμετρο a
(9)
Το γινόμενο δύο στοιχείων δίνει:
(10)
που είναι βασικά διαφορετικό από το (5).
2 - Δεύτερο αξίωμα της θεωρίας των ομάδων:
Στο σύνολο των στοιχείων πρέπει να βρούμε ένα ειδικό, που ονομάζεται ουδέτερο στοιχείο e, το οποίο, όταν συνδυαστεί με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο, ακολουθεί:
(11) g x **e = e **x **g **= g
Στις ομάδες όπου τα στοιχεία είναι τετραγωνικοί πίνακες, αυτό το ουδέτερο στοιχείο e είναι πάντα ο μοναδιαίος πίνακας 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Προσέξτε ότι χρησιμοποιούμε κανονικά γράμματα για τους αριθμούς και παχιά γράμματα για τα άλλα αντικείμενα: τετραγωνικούς, γραμμές ή στήλες πίνακες.
Θυμηθείτε το πρώτο παράδειγμα ομάδας:
(13)
Παρατηρήστε ότι:
(14)
Δείκτης Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων
Αρχική έκδοση (αγγλικά)
a4101
| 1 |
|---|
Prologue.
...Physics is like a cake :
(1)
- First floor : observations, experiments.
- Second floor : differential equations.
- Third floor : geometry - Fourh floor : groups theory.
Groups rule geometry, which fathers beautiful differential equations.
With differential equations we build things, which then are used to explain or predict what we call physical facts.
...Historically men began to study and to codify facts, observations, performing measurements. Then they imagined conservations laws, and "physical laws". At the begining of the century they began to think that physical laws could have something to do with geometry.
At the same period, Felix Klein asked : What is a geometry ?
Notice he said "*a *geometry" and not "geometry" (Erlangen's program)
...Klein, Lie, Cartan and others showed that something lied under geometrical appearence. Geometry was not the last floor, the nec plus ultra of knowledge in physics. From a group structure one can build a geometry.
In the following we will try to show the link between groups, geometry and physics.
By the way, upon groups, what ?
...I would tend to say : logics. But logics is a flat whose last occupier was Kurt Gdel, a dangerous pyromaniac. With his well-known theorem he put fire to the furniture,which was completely destroyed. Since this tragedy, the room is unoccupied.
...That's for I put a question mark there.
Groups.
...What's a group ? In the following we limit the investigation to dynamic groups of physics : a set of square matrixes (n,n) obeing defined axioms. Theses matrixes g, elements of a group G, act each on another through classical (line-column) matricial multiplication . Among these square matrices we find unity matrixes.
(1-bis)
...A group obeys the axioms defined by the Norvegian mathematician Sophus Lie. These axioms apply to objects which are much more general than matrixes sets. But we will limit our glance on this peculiar world and use the matrix-multiplication :
x
1 -** First axiom of groups'theory :**
The product of two elements g1 and g2 of a group G :
(2)
g3 = g1 x g2
obeys :
(3)
Let us give an example of a group of matrix, which depends on a single parameter a . The element is :
(4)
The product of two elements gives :
(5)
or :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We can write the matrix-product :
(7)
which is similar to g1 and g2 , i.e :
(8)
Example to the contrary : Consider the following set of matrixes which depend on a single parameter a
(9)
The product of two elements gives :
(10)
which is basically different from (5).
2 - Second axiom of groups'theory :
In the set of elements we must find a peculiar one, called neutral element e , which, combined to any other element, obeys :
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groups whose elements are square matrixes this neutral element e is always the unity matrix 1 .
(12) g x 1 = 1 x g = g Notice we use lightfaced types to describe scalars and bold types for other objects : square or line or colomn matrixes.
Let us return to the first example of group :
(13)
Remark that :
(14)