a4102
| 2 |
|---|
3 - Τρίτο αξίωμα της θεωρίας ομάδων :
Κάθε στοιχείο της ομάδας πρέπει να έχει το αντίστροφό του, συμβολίζεται g⁻¹, που ορίζεται από:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Στο παράδειγμά μας:
(16)
δηλαδή: b = - a ή:
(17) g⁻¹ ( a ) = g ( - a )
Εδώ, η υπολογιστική διαδικασία του αντίστροφου πίνακα είναι απλή.
Ποια είναι η συνθήκη για να έχει ένας δοθείς τετραγωνικός πίνακας το αντίστροφό του;
...Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα μπορούμε να αντιστοιχίσουμε έναν αριθμό που ονομάζεται ορίζουσα. Για τον ορισμό, δείτε ένα βιβλίο που αφιερώνεται στο γραμμικό λογισμό. Αυτή η ορίζουσα συμβολίζεται ως: det ( g )
Επιπλέον, έχουμε ένα γενικό θεώρημα:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
Η ορίζουσα μιας διαγώνιας μήτρας είναι:
(18)
Συνεπώς: det ( 1 ) = 1
γιατί το 1 είναι μια διαγώνια μήτρα.
Σύμφωνα με τον ορισμό του αντίστροφου ενός πίνακα:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Τότε:
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...Αν det (g) = 0, η συνθήκη (19) δεν μπορεί να ικανοποιηθεί. Τα σύνολα πινάκων των οποίων τα συγκεκριμένα στοιχεία έχουν μηδενική ορίζουσα δεν ικανοποιούν το τρίτο αξίωμα και δεν μπορούν να σχηματίσουν μια ομάδα.
Επίσης:
(20)
4 - Τέταρτο αξίωμα της θεωρίας των ομάδων :
Η πολλαπλασιαστική πράξη πρέπει να είναι προσεταιριστική, δηλαδή:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Η πολλαπλασιαστική πράξη των πινάκων είναι βασικά προσεταιριστική.
Διάσταση μιας ομάδας :
...Όπως θα δούμε, μια ομάδα μπορεί να ενεργεί σε ένα χώρο του οποίου τα σημεία περιγράφονται από διανύσματα-στήλες. Για παράδειγμα, τα σημεία του χωροχρόνου (ονομαζόμενα "γεγονότα") :
(22)
...Αυτός είναι ένας χώρος τεσσάρων διαστάσεων. Διαφορετικές ομάδες μπορούν να ενεργούν σε αυτόν. Ωστόσο, η διάσταση μιας ομάδας δεν έχει σχέση με τη διάσταση του χώρου στον οποίο ενεργεί.
Η διάσταση μιας ομάδας (πινάκων) είναι το πλήθος των παραμέτρων που ορίζουν αυτούς τους τετραγωνικούς πίνακες.
Έχουμε δώσει ένα παράδειγμα πινάκων που ορίζονται από μία μόνο παράμετρο
a
Έτσι, η διάσταση αυτής της ομάδας είναι ένα.
Παρατηρήστε ότι:
(22-bis)
Παρατήρηση :
Όλες οι ομάδες πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικές, αν και η ομάδα που μελετήσαμε έχει αυτή τη ιδιότητα:
(23)
Αν μια τέτοια ομάδα ενεργεί σε ένα διάνυσμα-στήλη που αντιστοιχεί σε ένα χώρο δύο διαστάσεων:
(23 bis)
αυτό αντιστοιχεί σε περιστροφή γύρω από ένα σταθερό σημείο, σε ένα επίπεδο:
(23 ter)
Αυτή η πράξη είναι φανερά αντιμεταθετική.
Έχετε την τάση να πείτε: «όπως όλες οι ομάδες περιστροφής».
...Σφάλλετε. Αναλύστε τις περιστροφές γύρω από άξονες που περνούν από ένα σημείο O. Συνδυάστε δύο διαδοχικές περιστροφές, γύρω από διαφορετικούς άξονες. Αυτό δεν είναι αντιμεταθετικό. Άσκηση: δείξτε το χρησιμοποιώντας ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων (OX, OY, OZ), δείχνοντας ότι οι συνδυασμένες περιστροφές γύρω από αυτούς τους άξονες δεν αποτελούν μια αντιμεταθετική πράξη. Πάρτε ένα αντικείμενο οποιασδήποτε φύσης.
- Κάντε μια περιστροφή +90° γύρω από το OX, μετά μια περιστροφή +90° γύρω από το OZ
- Επιστρέψτε στις αρχικές συνθήκες και:
- Κάντε μια περιστροφή +90° γύρω από το OZ, μετά μια περιστροφή +90° γύρω από το OX
Συγκρίνετε τα αποτελέσματα.
Δράση μιας ομάδας.
...Μια ομάδα G αποτελείται από τετραγωνικούς πίνακες g. Μπορούν να πολλαπλασιαστούν. Θα πούμε ότι μια ομάδα μπορεί να ενεργεί πάνω στον εαυτό της.
Η ομάδα μπορεί επίσης να ενεργεί σε ένα χώρο που αποτελείται από σημεία που περιγράφονται από διανύσματα-στήλες. Παράδειγμα:
(24)
Αν συμβολίσουμε:
(25)
η δράση της ομάδας σε αυτόν τον χώρο γίνεται:
(26) g × r
...Σε αυτή την περίπτωση, η δράση στον χώρο μειώνεται στο απλό πολλαπλασιασμό πινάκων. Ωστόσο, το έννοια της δράσης είναι πολύ γενικότερη.