a4113
| 13 |
|---|
**Οι ομάδες του Γαλιλαίου **( κατευθυνόμενες χωροχρόνο και πλήρης ομάδα ).
Μπορούμε να προτείνουμε διαφορετικά ονόματα για αυτή την ομάδα.
GGSOTO ( Γαλιλαϊκή κατευθυνόμενη χώρο και κατευθυνόμενη χρόνο )
ή: GSG (Ειδική ομάδα Γαλιλαίου).
Ή απλώς: SG(3,1): Ειδική ομάδα Γαλιλαίου.
3 διαστάσεις χώρου, 1 για τον χρόνο. Να θυμηθούμε ότι είχαμε εκφράσει τη δράση της ομάδας PT ως εξής:
(158)
Στη συνέχεια, μετακινηθήκαμε σε μία ομάδα κατευθυνόμενη χώρο και χρόνο. Μπορούμε να γράψουμε παρόμοια τη δράση μίας τέτοιας ομάδας:
(159)
Πρόκειται για υποομάδα μίας πιο λεπτομερούς ομάδας:
(160)
Η «κατευθυνόμενη χώρο-χρόνο ομάδα Γαλιλαίου». Με:
(161)
Η αντίστοιχη δράση είναι η εξής:
(162)
Πρόκειται για μία ομάδα με μία συνεκτική συνιστώσα. Είναι υποομάδα της πλήρους ομάδας Γαλιλαίου, που έχει τέσσερις συνιστώσες:
(163)
που διέπουν τις συμμετρίες P, T και PT:
(164)
και επίσης προκαλούν το θέμα των αντιχρονικών αντικειμένων (όπως θα κάνουμε στη συνέχεια, αλλά με ρελατιστική βάση).
Κινήσεις.
Τα γεωμετρικά αντικείμενα 4δ είναι «ζωντανά ολογράμματα». Στη δομή 4δ μπορούμε να κάνουμε τομές σε διαδοχικές στιγμές. Κάθε τομή αποτελεί ένα αντικείμενο 3δ, αποτελούμενο από σημεία (xi, yi, zi). Είναι πιο απλό να θεωρήσουμε ένα σημειακό αντικείμενο που κινείται στο χωροχρόνο. Η δομή χωροχρόνου που εξετάζουμε γίνεται τότε μία τροχιά, μία κίνηση.
...Αποφασίζουμε να αντιστοιχήσουμε τα σωματίδια της φυσικής με κινήσεις σημείων. Είτε θα είναι «σημειακές μάζες», είτε σημειακές ενέργειες (φωτόνια, νετρίνα).
...Μπορούμε να θεωρήσουμε όλες τις δυνατές κινήσεις όλων των δυνατών σωματιδίων και να τις συμπεριλάβουμε σε ένα
(165)
χώρο κινήσεων.
...Στο χωροχρόνο μπορούμε να προσδιορίσουμε όλες τις δυνατές τροχιές φωτονίων, πρωτονίων, νετρονίων, νετρίνων, αντιπρωτονίων κ.λπ. Θεωρούμε άπειρο αριθμό δυνατών θέσεων, ταχυτήτων και άλλων παραμέτρων, που θα ανακαλύψουμε στη συνέχεια. Μεταξύ αυτής της άπειρης ποικιλίας τροχιών βρίσκονται εκείνες που αφορούν ένα δεδομένο σωματίδιο: ένα ηλεκτρόνιο, για παράδειγμα. Άλλες τροχιές αφορούν το φωτόνιο. Είναι διαφορετικές. Δημιουργούν δύο διακριτές οικογένειες, δύο
διακριτές είδη κινήσεων.
Ψάχνουμε πώς να ταξινομήσουμε τα σωματίδια. Στη συνέχεια ψάχνουμε πώς να ορίσουμε τα είδη κινήσεων.
Θα χρησιμοποιήσουμε μία μέθοδο παρόμοια με αυτήν του Ευκλείδη. Η κεντρική ερώτηση είναι:
Ποια «αντικείμενα» ανήκουν στο ίδιο είδος;
...Απάντηση: εκείνα που μπορούν να τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο μέσω της δράσης στοιχείων που ανήκουν σε μία υποομάδα που ονομάζεται κανονικότητα αυτών των αντικειμένων.
...Στον κόσμο του Ευκλείδη δεν μπορείς να μετατρέψεις μία σφαίρα σε έναν κύβο, ούτε αντίστροφα. Ανήκουν σε διακριτά είδη. Δεν υπάρχει καμία υποομάδα που να επιτρέπει τη μετατροπή σφαιρών σε κύβους, ή αντίστροφα.
...Όμοια, σε μία ομάδα που θα οριστεί, δεν υπάρχει στοιχείο που να ανήκει σε μία συγκεκριμένη υποομάδα και να επιτρέπει τη μετατροπή της κίνησης ενός φωτονίου στην κίνηση ενός ηλεκτρονίου. Είναι βασικά διαφορετικά· ανήκουν σε διακριτά είδη.
Αν υπάρχει στοιχείο της ομάδας το οποίο με τη δράση του μετατρέπει μία κίνηση σε άλλη κίνηση, τότε αυτές οι κινήσεις ανήκουν στο ίδιο είδος. Είναι δύο διαφορετικές κινήσεις του ίδιου σωματιδίου.
...Δεν θα ασχοληθούμε με συστήματα πολλών σωματιδίων, όπως άτομα ή μόρια. Θα εστιάσουμε στην ανάλυση ελεύθερων σωματιδίων που κινούνται σε έναν κενό χώρο. Κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης, ορισμένες παράμετροι διατηρούνται (μάζα, ενέργεια, άλλες...).
Όμως η απλή εξέταση της χωροχρονικής τροχιάς ενός σωματιδίου δεν είναι αρκετή για να το ταυτοποιήσει ή να το τοποθετήσει σε ένα συγκεκριμένο είδος.
-
Ένα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο μπορούν να ακολουθήσουν την ίδια τροχιά με την ίδια ταχύτητα.
-
Δύο σωματίδια μπορούν να ακολουθήσουν την ίδια τροχιά με ταχύτητα v = c, αλλά το ένα μπορεί να είναι φωτόνιο και το άλλο νετρίνο.
-
Όπως θα δούμε στη συνέχεια, δύο φωτόνια που ακολουθούν την ίδια τροχιά, στην ίδια κατεύθυνση, με την ταχύτητα του φωτός, μπορεί να είναι διαφορετικά. Είναι P-συμμετρικά.
-
Το ένα έχει δεξιά ελικοειδή.
-
Το άλλο έχει αριστερή ελικοειδή.
Αυτό αντιστοιχεί στη πόλωση του φωτός. Ανήκουν σε διακριτά είδη; Εξαρτάται από την ομάδα που επιλέγουμε.
Ένα είδος είναι σχετικό σε μία δεδομένη ομάδα.
Η ορμή.
...Μία κίνηση είναι μία ειδική επιλογή, ένα σημείο στον χώρο της ορμής. Θεωρούμε κινήσεις ειδών που διαφέρουν μόνο ως προς τη μάζα. Παίρνουμε δύο είδη. Ένα σωματίδιο μάζας ma δεν μπορεί να μετατραπεί σε σωματίδιο μάζας mb. Ακόμη και αν οι τροχιές τους μπορούν να είναι ίδιες στο χωροχρόνο, τα θεωρούμε διαφορετικές κινήσεις που ανήκουν σε δύο διακριτά είδη ή:
δύο διακριτά είδη κινήσεων. (166)
Η ορμή είναι ένα σύνολο παραμέτρων: J = { J1, J2, J3, ........, Jn } Μία από αυτές είναι η ενέργεια: J1 = E.
Τρεις άλλες: ( J2 = px, J3 = py, J4 = pz )
αποτελούν το διάνυσμα ορμής p, όλες ποσότητες γνωστές στους φυσικούς.
...Αυτές οι ποσότητες μπορούν να εμφανιστούν ως καθαρά γεωμετρικές ποσότητες, απευθείας συνδεδεμένες με την επιλεγμένη ομάδα. Θα δείτε στη συνέχεια ότι το πλήθος των ποσοτήτων που αποτελούν την ορμή είναι ίσο με τη διάσταση της ομάδας.
...Τότε, ποιοι είναι οι κανόνες του παιχνιδιού που θα παίξουμε;