a4114
| 14 |
|---|
Το έργο.
...Το σημείο εκκίνησης μας θα είναι μια δυναμική ομάδα G, δηλαδή μια οικογένεια τετραγωνικών πινάκων g.
...Δυναμική: επειδή σ' αυτήν συμμετέχει ο χρόνος.
...Αυτή η ομάδα διαθέτει μια συγκεκριμένη διάσταση n. Μπορεί να δράσει σε ένα χώρο X, ο οποίος διαθέτει τη δική του διάσταση (η οποία δεν έχει καμία σχέση με τη διάσταση της ομάδας, η οποία είναι το πλήθος των ανεξάρτητων παραμέτρων που ορίζουν κάθε πίνακα g του συνόλου, που αποτελεί την ομάδα G).
...Τώρα χρειαζόμαστε μια δράση, για να ορίσουμε έναν χώρο στον οποίο δρα η ομάδα, τον χώρο των ορμών. Αυτός ο χώρος δεν είναι ο χωροχρόνος στον οποίο υποτίθεται ότι κινούνται τα σωματίδια. Η δημιουργία ενός τέτοιου χώρου μας οδηγεί σε ένα περίεργο βουνό, που θα μοιάζει με κάποια σχιζοφρενή γη. Αλλά αν ακολουθήσετε αυτή τη διαδρομή, θα είστε πιο κοντά στη φυσική πραγματικότητα από ποτέ πριν.
...Όταν διαθέτουμε ένα χώρο στον οποίο να παίξουμε και μια δράση στην οποία να δράσουμε, θα μπορέσουμε να ταξινομήσουμε τις ορμές-κινήσεις σε είδη και να αντιστοιχίσουμε αυτά τα είδη με τα στοιχειώδη σωματίδια.
...Προηγουμένως αναφέραμε ότι το γινόμενο μιας ομάδας με ένα διάνυσμα, που αντιστοιχεί στη SO(2) και O(2), καθώς και στη SO(3) και O(3), αποτελεί μια δράση: g × r
δηλαδή:
(166b)
Παρατηρήστε ότι μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα:
(167)
Για την κατευθυνόμενη ευκλείδεια ομάδα και την πλήρη ευκλείδεια ομάδα, πρέπει να γράψουμε μια δράση:
(168)
Αλλά αυτές οι δράσεις, καθώς και οι αντίστοιχες δράσεις των δυναμικών ομάδων στον χώρο, όπως:
(169)
δεν παράγουν... τίποτα. Απλώς μεταφέρουν αντικείμενα στον χώρο, ή στον χωροχρόνο, ή σε πιο λεπτομερείς χώρους (5-διάστατος χώρος, 10-διάστατος χώρος).
Πρέπει να αναζητήσουμε κάτι «κρυμμένο κάτω από την ομάδα»: τον χώρο των ορμών της (όλες οι ομάδες πινάκων διαθέτουν έναν) και την
συζυγή δράση στον χώρο των ορμών.
που αντιστοιχεί στην πραγματική φυσική.
Τι είναι η φυσική;
...Καλή ερώτηση. Ο Γάλλος μαθηματικός Jean-Marie Souriau επινόησε την έννοια της συζυγούς δράσης μιας ομάδας στον χώρο των ορμών της και την απέδειξε στις αρχές της δεκαετίας του '70. Αυτό το θέμα θα εξελιχθεί στη συνέχεια.
...Φυσικά, ο φυσικός, μετά την ολοκλήρωση των υπολογισμών, θα ρωτήσει:
Γιατί;
...Με άλλα λόγια, λειτουργεί, αλλά μπορούμε να δώσουμε φυσική σημασία στην έννοια της συζυγούς δράσης μιας δυναμικής ομάδας στον χώρο των ορμών της; Η απάντηση φαίνεται να είναι όχι.
...Φανταστείτε ότι είστε μαθητής του Αριστοτέλη. Ξαφνικά αισθάνεστε μια έμπνευση και επινοείτε ένα νέο λέξη για να την ονομάσετε:
αδράνεια.
...Ο Αριστοτέλης έρχεται. Έχει ενημερωθεί από άλλους μαθητές ότι είχατε επινοήσει κάτι νέο, και σας ρωτά:
- Μπορείτε να μας εξηγήσετε τι σημαίνει αδράνεια;
Δεν θα μπορέσετε να το κάνετε χρησιμοποιώντας τη γλώσσα του Αριστοτέλη. Θα έχετε συναντήσει μια αλλαγή παραδείγματος.
...Μεταβούμε στη Μεσαιωνική Εποχή. Προσπαθήστε να εξηγήσετε μια χημική αντίδραση με τη γλώσσα των τεσσάρων στοιχείων. Είναι επίσης αδύνατο...
Η συζυγής δράση μιας ομάδας στον χώρο των ορμών της αποτελεί μια αλλαγή παραδείγματος. Είναι μια νέα προσέγγιση στη φυσική.
Στην πραγματικότητα, οι φυσικοί χειρίζονται συνεχώς δράσεις ομάδων όταν μιλούν για «αναλλαξία» ή «νόμους διατήρησης».
Ένας συμβατικός φυσικός θα ρωτήσει τότε:
- Μπορείτε να μου εξηγήσετε, αν μπορείτε με απλά λόγια, τι σημαίνει η συζυγής δράση μιας ομάδας στον χώρο των ορμών της;
Απαντάμε:
-
Γιατί χρησιμοποιείτε νόμους διατήρησης στη φυσική;
-
Ε, επειδή υπάρχουν ποσότητες που διατηρούνται: ενέργεια, μάζα, ηλεκτρικό φορτίο...
-
Γιατί διατηρούνται;
-
Είναι ένας βασικός νόμος!
-
Μου αγαπητέ φίλε, θεωρήστε τη συζυγή δράση μιας ομάδας στον χώρο των ορμών της ως βασικό αξίωμα.
-
Τι εννοείτε;
-
Κάθε φυσική βασίζεται σε μια ομαδική δομή. Αν ταυτίσετε την ομάδα, μπορείτε να κατασκευάσετε τη συζυγή της δράση και τον αντίστοιχο χώρο των ορμών. Στη συνέχεια, τα συστατικά της ορμής γίνονται οι αντίστοιχες φυσικές ποσότητες.
-
………
Προσοχή. Αν είστε φυσικός (ακόμη και θεωρητικός φυσικός...) και διαβάζετε αυτό που ακολουθεί, θα υποστείτε μια παραδοσιακή μεταμόρφωση. Μετά από αυτό, η φυσική θα είναι απλώς... διαφορετική.
Δράσεις.
Τι είναι μια δράση;
Κάτι συνδεδεμένο με μια ομάδα, που ακολουθεί τα αξιώματα:
(170)
Φυσικά, για ομάδες πινάκων, η πράξη σύνθεσης είναι:
x
(πολλαπλασιασμός πινάκων γραμμή-στήλη)
Για ομάδες πινάκων μπορούμε να γράψουμε:
(171)
Θεωρήστε το στήλη διάνυσμα:
(172)
όπου x, για παράδειγμα, αντιπροσωπεύει διανύσματα (173)
Το (174)
ικανοποιεί τα αξιώματα μιας δράσης; Έστω g και g' δύο στοιχεία της ομάδας G.
(175)
(175b)
Πρέπει να ισχύει:
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
δηλαδή:
(177)
σύμφωνα με την ιδιότητα προσεταιριστικότητας:
(178) g'' = g × g'
είναι πράγματι μια δράση της ομάδας.
...Παρατηρήστε ότι το στοιχείο g της ομάδας G το τοποθετήσαμε στα αριστερά. Τι συμβαίνει αν το τοποθετήσουμε στα δεξιά; Τότε πρέπει να συνδυαστεί με ένα γραμμικό πίνακα y.
(179) Ag(y) = y × g
Είναι αυτό μια δράση;