Ενέργεια και αντίδραση πινάκων σε μία ομάδα

a4115

Χρειαζόμαστε:
(180)

Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)

Ag(y) = y × g

Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g

Αλλά:

Το γινόμενο δύο πινάκων δεν είναι, γενικά, αντιμεταθετικό. Συνεπώς:
(181) Ag(y) = y × g

δεν αποτελεί δράση ομάδας: δεν ικανοποιεί τα προηγούμενα αξιώματα. Ωστόσο, αντιστοιχεί σε μία «αντι-δράση»:
(182)

Για πίνακες:
(183)

Συνεχίζουμε την αναζήτησή μας για δράσεις και αντι-δράσεις. Από το διάνυσμα x μπορούμε να κατασκευάσουμε το αντίστροφό του και να προσπαθήσουμε:
(184)

Πρόκειται για δράση; Ας το ελέγξουμε.

g" = g × g'

(185)

(186)

Εδώ χρησιμοποιούμε μία πρόταση του γραμμικού λογισμού:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹

όπου M και N είναι τυχαίοι (n,n) πίνακες. Από όπου:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹

και:
(189)

που αποτελεί πράγματι δράση ομάδας. Εξετάζουμε τώρα:
(190)

Ag(m) = g × m × g⁻¹

Αποδείξτε ότι πρόκειται για δράση. Θα εξετάσουμε τους τρεις παρακάτω πίνακες.
(191)

g
g'
g" = g × g'

Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹

Πρέπει να ελέγξουμε:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)

Υπολογίζουμε το αριστερό μέλος:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹

ή ακόμα:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹

δηλαδή:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹

Πράγματι πρόκειται για δράση ομάδας. Θα την ονομάσουμε, σύμφωνα με τον Souriau,
συζυγή δράση:
(193)

Τώρα θα εξετάσουμε μία αντι-δράση της ομάδας σε έναν πίνακα m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g

Αποδείξτε ότι ικανοποιεί:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)

Υπολογίζουμε το αριστερό μέλος:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g

ή ακόμα:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'

δηλαδή:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )

ή ακόμα:
(199) g"⁻¹ × m × g"

Δείκτης Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων