a4116
| 16 |
|---|
Χρειαζόμαστε:
Δυϊκές ενέργειες.
Πάνω, έχουμε κατασκευάσει μία ενέργεια:
(200)
και μία αντι-ενέργεια:
(201)
Η πρώτη μπορεί να αναφέρεται σε ένα διάνυσμα στήλη m:
(202) m' = g x m
και η δεύτερη σε ένα διάνυσμα γραμμής n:
(203) n' = n x g⁻¹
Το m ανήκει σε ένα συγκεκριμένο χώρο M
Το n ανήκει σε έναν άλλο χώρο N.
Φτιάξτε το βαθμωτό:
(204) S = n m Παρατηρήστε ότι:
(205) n' **m' **= n x g⁻¹ x g x m
...Θα πούμε ότι οι δύο ενέργειες που εξετάζουμε είναι δυϊκές. Ομοίως, οι δύο χώροι M και N, στους οποίους ανήκουν τα m και n, είναι δυϊκοί χώροι: N = M* ή M = N*
Συνήθως λέμε ότι αν το m είναι ένα διάνυσμα, τότε το n είναι το συζυγές του διάνυσμα.
Το πρόθεμα co είναι χαρακτηριστικό της δυϊκότητας. Όπως παρατήρησε ο Souriau, η δυϊκότητα υπάρχει στην πολιτική και προσθέτει:
- Η δυϊκότητα υπήρχε στο μαρξισμό-λενινισμό από την αρχή. Σκεφτείτε τον κομμουνιστή και τον μουνιστή.
Πάρτε μία διαφορετική άποψη. Υποθέστε ότι έχουμε μία ενέργεια και θέλουμε να κατασκευάσουμε τη δυϊκή της.
Σχηματικά:
(206)
...Για να σχηματίσουμε ένα βαθμωτό γινόμενο με το διάνυσμα στήλη m, το n πρέπει να είναι διάνυσμα γραμμής. Άρα, τα δύο διανύσματα πρέπει να ορίζονται από τον ίδιο αριθμό βαθμωτών παραμέτρων:
(207)
στη συνέχεια αναζητούμε τη δυϊκή ενέργεια:
(208)
n' = Ag(n) έτσι ώστε το βαθμωτό γινόμενο:
(209)
να παραμένει αμετάβλητο. Πρέπει να ισχύει:
(210)
n' m' = n m Έχουμε:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
της οποίας η λύση είναι:
(213) Ag(n) = n x g⁻¹
Προς την κατασκευή της βασικής ενέργειας, ή της συζυγούς ενέργειας μίας ομάδας στον χώρο ορμής της (μετά τον Souriau).
Αναζητούμε μία ενέργεια της ομάδας στον «χώρο ορμής» της. Θα την κατασκευάσουμε ως τη δυϊκή μίας αντι-ενέργειας:
(214) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
...Στην προηγούμενη ενότητα, το m ήταν διάνυσμα. Αλλά στην (214) είναι μία μήτρα. Θα πάρουμε μία μήτρα που εξαρτάται από ένα συγκεκριμένο αριθμό παραμέτρων: { m₁, m₂, ..., mₙ }
Πρέπει να φανταστούμε ένα δυϊκό σύνολο βαθμωτών παραμέτρων: { n₁, n₂, ..., nₙ }
ώστε:
(215)
Σχηματικά:
(216)