a4117
| 17 |
|---|
Επιλογή του πίνακα m.
... Ένας ομάδα G μπορεί να συγκριθεί με μια συγκεκριμένη επιφάνεια. Εξαρτάται από ένα συγκεκριμένο αριθμό παραμέτρων. Έστω P αυτός ο χώρος των παραμέτρων της ομάδας και p ένα σημείο αυτού του χώρου. Ο αριθμός αυτών των παραμέτρων pi είναι η διάσταση της ομάδας.
(217)
Εμφανίζεται: το ουδέτερο στοιχείο e (η μοναδιαία πίνακας 1).
Μπορούμε να δώσουμε ένα αύξημα d p:
(218)
... Στη συνέχεια, παραγωγίζουμε τον πίνακα g, που είναι ένα στοιχείο της ομάδας. Παίρνουμε ένα τετραγωνικό πίνακα dg που δεν ανήκει στην ομάδα. Το ονομάζουμε το διάνυσμα εφαπτομένης της ομάδας. Αυτά τα διανύσματα εφαπτομένης αποτελούν αυτό που ονομάζεται άλγεβρα Lie της ομάδας (που δεν είναι πραγματικά μια άλγεβρα, επίσης).
Επιλέγουμε να παραγωγίσουμε κοντά στο ουδέτερο στοιχείο:
(219)
και επιλέγουμε την ακόλουθη αντίδραση:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Παρατήρηση:
Γιατί επιλέγουμε το διάνυσμα εφαπτομένης της ομάδας στο g = 1;
... Μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μια γενικότερη μορφή, ένα διάνυσμα εφαπτομένης dg σε οποιοδήποτε σημείο της ομάδας. Θα πάραμε το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά οι υπολογισμοί θα ήταν πολύ πιο κουραστικοί.
Η διάσταση της ομάδας είναι n. Ο πίνακας g εξαρτάται από n παραμέτρους { pi }.
Το στοιχείο της άλγεβρας Lie dg(g=e) εξαρτάται από τον ίδιο αριθμό παραμέτρων { d pi }.
Ο υπολογισμός της παραπάνω αντίδρασης θα μας δώσει την απεικόνιση:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Εισάγουμε τον ίδιο αριθμό βαθμων: { J i }
Το σύνολο αυτό το ονομάζουμε ορμή J της ομάδας. J = { J i }
Είναι ένα σύνολο n ποσοτήτων, n βαθμων. Συχνά μπορούμε να το τοποθετήσουμε σε μορφή πίνακα (ενέργεια του Poincaré στην ορμή του).
{ J i } είναι το δυϊκό διάνυσμα { d p i } στο διάνυσμα εφαπτομένης της ομάδας. Η δυϊκότητα δίνει:
(222)
Από αυτή τη διατήρηση του βαθμωτού γινομένου, αν γνωρίζουμε την απεικόνιση:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
μπορούμε να κατασκευάσουμε τη δυϊκή απεικόνιση:
(224) { J i } -----> { J 'i }
Αυτή είναι η ουσιαστική ενέργεια που αναζητούμε, και ο Souriau την ονομάζει αντισυζυγή ενέργεια της ομάδας στο χώρο της ορμής της.
Ο καλύτερος τρόπος για να εξηγήσουμε αυτή την έννοια είναι να δώσουμε ένα παράδειγμα:
Αντισυζυγής ενέργεια της ομάδας Poincaré στο χώρο ορμής Jp.
Παραπάνω, παρουσιάσαμε τη γενικευμένη ομάδα Lorentz. Επιλέγοντας:
(225)
παίρνουμε την ομάδα Lorentz L του οποίου το στοιχείο L υπακούει στο αξιωματικό ορισμό:
(226)
Ο διάνυσμα χώρου-χρόνου είναι (227)
Με c = 1, παίρνουμε τη βασική τετραγωνική μορφή, τη μετρική Minkowski:
(228)
Ο αντίστροφος πίνακας είναι (229)
Εισάγουμε τώρα μια μετάθεση χώρου-χρόνου:
(230)
κατασκευάζουμε το στοιχείο gp της ομάδας Poincaré Gp ως εξής:
(231)
Άσκηση: να δείξετε ότι αποτελεί ομάδα και να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα:
(232)
Το στοιχείο της άλγεβρας Lie είναι (233)
και η αντίδραση:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
Παρατηρούμε ότι
(235) G d L
είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Τον ονομάζουμε:
(236)
από το οποίο:
(237)
Ας είναι:
(238)
από αυτό, μπορούμε να κατασκευάσουμε την αντίδραση:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
που μας δίνει την απεικόνιση:
(240)
(240b) (240c)
είναι η απαιτούμενη απεικόνιση:
(241)
Δείκτης Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
a4117
| 17 |
|---|
Choice of the matrix m .
...A group G can be compared to a certain surface. It depends on certain number of parameters. Let P be this space of the parameters of the group and **p **a point of this space. The number of these parameters pi is the dimension of the group.
(217)
Shown : the neutral element **e **( the unity matrix **1 **).
We can give an increement d p :
(218)
...Then we differentiate the matrix g which is the element of the group. We get a square matrix** dg** which does not belong to the group. One calls it the "tangent vector to the group".These tangent vectors forms what one calls the "Lie-Algebra" of the group ( which not an algebra, by the way ).
We chose to differentiate at the vicinity of the neutral element :
(219)
and we choose the following anti-action :
(220) AAg(m) = g-1 x d**g(g=e) **x g
Remark :
Why do we choose the tangent vector to the group at g = 1 ?
...We could use a more general , a tangent vector d**g **at any point of the group. We would get the same result, but the calculation would be much more tedious.
The dimension of the group is n. The matrix g depends on n parameters** **{ pi }..
The element of the Lie Algebra d**g(g=e) depends on the same number of parameters { **d pi }.
The computation of the above anti-action will provide the mapping :
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
We introduce the same number of scalars : { J i }
We call this set the momentum **J **of the group. **J **= { J i }
It is a set of n quantities, n scalars. Sometimes we can put it into a matrix ( Poincaré's action on its momentum ).
{ J i } is the* cotangent vector *{ d p i } to the tangent vector of the group. The duality gives :
(222)
From this conservation of the scalar product, if we know the mapping :
(223) { d p i } -----> { d p' i }
we may build the dual mapping :
(224) { J i } -----> { J 'i }
This is the essential action we search, and Souriau calls it coadjoint action of the group on its momentum space.
The better way to illustrate this conceot is to give an example :
Coadjoint action of the Poincaré group on its momentum space Jp .
Above, we presented the generalized Lorentz group. Chosing :
(225)
we get the Lorentz group L whose element L obeys the axiomatic definition :
(226)
The space-time vector is (227)
With c = 1 we get the elementary quadratic form, the Minkowski metric :
(228)
The inverse matrix is (229)
Introduce now a space-time translation :
(230)
we build the element gp of the Poincaré group Gp as follows :
(231)
Exercise : show it forms a group an compute the inverse matrix :
(232)
The element of the Lie algebra is (233)
and the anti-action :
(234) dgp' = gp-1 x dgp x gp
We notice that
(235) G d L
is an antisymmetrical matrix. Call it :
(236)
whence :
(237)
Let :
(238)
from this, we can build the anti-action :
(239) dgp' = gp-1 x dgp x gp
which will give us the mapping :
(240)
(240b) (240c)
is the required mapping :
(241)