a4118
| 18 |
|---|
...Ένα στοιχείο gp της ομάδας Poincaré Gp ορίζεται από ένα σύνολο παραμέτρων {pi}, του οποίου ο αριθμός, από τον ορισμό, είναι η *διάσταση της ομάδας *. Η μήτρα dg (g=e) κατασκευάζεται από το σύνολο {dpi} . Έτσι, η προηγούμενη εφαρμογή αντιστοιχεί στην αντίπαλη δράση:
(242) AA : {dpi} --> {dpi'}
Για να εισαγάγουμε τη δυϊκότητα και να κατασκευάσουμε τη δυϊκή εφαρμογή, υποθέτουμε τη σταθερότητα του βαθμωτού:
(243)
Η διάσταση της ομάδας Poincaré είναι 10, οπότε έχουμε δέκα βαθμωτά { Ji }, συνιστώσες του ροπού Jp** **.
Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Αποφασίζουμε να το χωρίσουμε σε δύο αντικείμενα:
(244) Jp** **= { M , P }
Το πρώτο, M , είναι μια αντισυμμετρική μήτρα (4,4).
P είναι το τετραδιάστατο διάνυσμα (4,1)
(245)
Τότε:
(246) Jp= { M , P } = { M , p , E} Γράψτε το βαθμωτό γινόμενο ως εξής:
(247)
Tr σημαίνει ίχνος. Η σταθερότητα του βαθμωτού γινομένου δίνει (248)
με:
(249)
(249b)
(249c)
αλλά GG = 1 . Τότε:
(250)
(250b) (251)
δηλαδή:
(252) (252b)
(252c)
(253)
Αυτή η συζυγής δράση μπορεί να πάρει μορφή μήτρας:
Το στοιχείο της ομάδας Poincaré είναι:
(254)
Η ανάστροφή του είναι:
(255)
Θεωρήστε τη μήτρα:
(256)
γράψτε:
(257)
(258)
(259)
που θα αναγνωριστεί ως η μήτρα:
(260)
Τότε Jp είναι ο ροπός της ομάδας Poincaré, μετατραπεί σε μορφή μήτρας και η συζυγής δράση είναι:
(261)
Άσκηση: επαληθεύστε ότι είναι πράγματι μια δράση.
Η μήτρα ροπής αντιστοιχεί στην:
(262)
Η διαγώνιος μιας αντισυμμετρικής μήτρας M αποτελείται από μηδενικά.
(263)
Εξαρτάται από έξι παραμέτρους.
(264) ( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Γράψτε τη μήτρα:
(265)
Οι τρεις τελευταίες συνιστώσες ( fx , fy , fz) αποτελούν αυτό που ο Σουριάου ονομάζει το **διάνυσμα περάσιμου f **:
(266)
Οι πρώτες ( lx , ly , lz) είναι οι ανεξάρτητες συνιστώσες μιας αντισυμμετρικής μήτρας (3,3), που ο Σουριάου ονομάζει τη μήτρα σπιν. (267)
Οπότε:
(268)
Το διάνυσμα P είναι το *τετραδιάστατο διάνυσμα ορμής-ενέργειας *:
(269)
Ο ροπός της ομάδας Poincaré μπορεί τότε να εκφραστεί στην πιο γενική του μορφή:
(270)
Έχει δέκα συνιστώσες:
(271)
Jp = { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E** , p , f , l** }
Δείκτης Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
a4118
| 18 |
|---|
...An element gp of the Poincaré's group Gp is defined by a set of parameters {pi}, whose number is, by definition the *dimension of the group *. The matrix dg (g=e) is built from the set {dpi} . So that the precedent mapping corresponds to the anti action :
(242) AA : {dpi} --> {dpi'}
To introduce duality and build the dual mapping, we assume the constancy of the scalar :
(243)
The dimension of the Poincaré's group is 10, whence we have ten scalars { Ji }, components of the moment Jp** **.
Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
We decide to split this into two objects :
(244) Jp** **= { M , P }
The first, M , is a (4,4) antisymmetrical matrix.
P is the four-vector (4,1)
(245)
Then :
(246) Jp= { M , P } = { M , p , E} Write the scalar product as :
(247)
Tr means trace. The constancy of the scalar product gives (248)
with :
(249)
(249b)
(249c)
but GG = 1 . Then :
(250)
(250b) (251)
i.e :
(252) (252b)
(252c)
(253)
This coadjoint action can be put into a matrix form :
The element of the Poincaré's group is :
(254)
Its transposed is :
(255)
Consider the matrix :
(256)
write :
(257)
(258)
(259)
which will be identified to the matrix :
(260)
Then Jp is the momentum of the Poincaré's group, put into a matrix and the coadjoint action is :
(261)
Exercice : check this is an action.
The momentum-matrix corresponds to :
(262)
The diagonal of an antisymmetrical matrix M is made of zeros.
(263)
It depends on six parameters.
(264) ( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Let us write the matrix :
(265)
The last three components ( fx , fy , fz) form what Souriau calls the **passage vector f **:
(266)
The first ( lx , ly , lz) are the independant component of an antisymmetric matrix (3,3), which Souriau calls the spin matrix. (267)
whence:
(268)
The vector P i the *impulsion-energy *four-vector :
(269)
Then the momentum of the Poincaré's group can be explicited in its more general form :
(270)
It owns ten components :
(271)
Jp = { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E** , p , f , l** }